高考数学常考题型的总结(必修五)

高考数学常考题型的总结 必修五 对高三理科来说 必修五是高考的必考内容 它不仅要考查基础知识点 而且还要考查解题方法和解题思 路的问题 同学们在复习过程中 一定要明白什么是重要 什么是难点 什么是常考知识点 对重难点要了如 指掌 能做到有的放矢 同学们不仅要掌握课本上的知识点 更重要的要对知识点理解的有深度 对经典题型 或高考常考题型掌握到相当熟练的程度 人们常说 只有你多于一桶水的能力 在考试过程中才能发挥出一桶 水的水平来 否则 基本不可能考出相对理想的成绩来 必修五主要包括三大部分内容 解三角形 数列 不等式 高考具体要考查那些内容呢 这是我们师生共 同研究的问题 虽然高考题不能面面俱到 但是我们在复习的时候 一定要不留死角 对常考题型的知识点和 方法能倒背如流 下面具体对必修五常考的型作一分解 解三角形 解三角形是高考的必考知识点 每年都有考题 一般考查分数为 5 12 分 考查的时候 可 能是选择题 填空题 或解答题 有时单独考查 有时会与三角函数 平面向量等知识点进行综 合考查 难度一般不是很大 如果出解答题 一般是第 17 题 属于拿分题 知识点 正弦定理 余弦定理和三角形的面积的公式 正弦定理 为的外接圆半径 R C c B b A a 2 sinsinsin RABC 余弦定理 Cabcbacos2 222 Bacbcacos2 222 Abcacbcos2 222 变形后 C ab cba cos 2 222 B ac bca cos 2 222 A cb abc cos 2 222 三角形的面积的公式 AbcBacCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 知识点分解 1 两边一角 求另外两角一边 可以用正弦定理 也可以用余弦定理 特别注意两种三角形的情况 2 两角一边 求另外一角和两边 肯定是正弦定理 3 等式两边都有边或通过转化等式两边都有边 用正弦定理 4 知道三边的关系用余弦定理 5 求三角形的面积 或和向量结合用向量的余弦公式 6 正余弦定理与其他知识的综合 必须具备的知识点 三角函数的定义 同角三角函数 诱导公式和三角恒等变换 可能综合的知识点 三角函数以及正余弦定理的模块内部综合 和与数列的综合 与平面向量的 综合 以及与基本不等式的综合 解三角形常考的题型有 考点一 正弦定理的应用 例 在ABC 中 则 60 10 15 Aba Bcos 答案 6 3 知识点 正弦定理和三角同角关系 思路 方法不唯一 利用正弦定理先求出 然后利用同角三角函数的关系可求出 BsinBcos 考点二 余弦定理的应用 例 在ABC 中 已知 求的值 32 a26 c 60 Bb 答案 22 b 知识点 余弦定理 思路 直接利用余弦定理 即可求出的值 Bacbcacos2 222 b 考点三 正 余弦定理的混合应用 例 设的内角所对边的长分别为 若 则则角 ABC A B C a b c2bca 3sin5sin AB C 答案 3 2 知识点 正余弦定理 思路 方法不唯一 先通过正弦定理求出三边的关系 然后再用余弦定理求角 C 考点四 三角形的面积问题 例 在中 角所对应的边分别为 若 且求的值ABC CBA cba BCA2 3 1 ba ABC S 答案 2 3 知识点 三角形的面积 思路 先求出 然后由三角形面积公式即可 B 考点五 最值问题 例 在中 60 3BAC 则2ABBC 的最大值为ABC 答案 72 知识点 正弦定理和三角恒等变换 思路 方法不唯一 先利用正弦定理 然后利用恒等变换 转化为正弦函数 求正弦函数的值域问题 考点六 三角形形状的判断 例 已知中 判断三角形的形状ABC BbAacoscos 答案 等腰三角形或直角三角形 知识点 正弦定理和二倍角公式 思路 先由正弦定理化解 然后利用二倍角公式讨论即可 考点七 三角形个数的判断 例 在中 角所对应的边分别为 若 且求的值ABC CBA cba 30 A 3 1 bac 答案 1 或 2 知识点 正余弦定理 思路 分类讨论或两种情况 60 B 120 B 考点八 基本不等式在解三角形上的应用 例 在中 角所对应的边分别为 若 求的面积的最大值 ABC CBA cba 2 4 ba ABC 答案 12 知识点 三角形面积公式 余弦定理和基本不等式 思路 先利用三角形面积公式 然后用余弦定理 最后基本不等式求最值 例 设的内角所对的边长分别为 且 求的最ABC ABC abc 3 coscos 5 aBbAc tan AB 大值 答案 3 4 知识点 正弦定理 正切差公式和基本不等式 思路 先通过正弦定理 得到 然后正切差公式 最后应用基本不等式 BAtan4tan 考点九 平面向量在解三角形上的应用 例 在中 的面积 求ABC 6 AC AB ABC 3 3A 答案 3 知识点 三角形面积公式和平面向量中的余弦公式 思路 先利用三角形面积公式 然后平面向量中的余弦公式即可 例 在中 边所对的角为 向量 且向量与的夹角是ABC cC 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos CC n CC m mn 3 求角的大小C 答案 3 C 知识点 向量中的坐标运算和余弦公式 思路 先利用向量的坐标运算和余弦公式转化 然后求解 考点十 数列在解三角形上的应用 例 设的内角所对的边长分别为 若依次成等比数列 角的取值范围 ABC ABC abc abc B 答案 3 0 知识点 余弦定理 等比数列和基本不等式 思路 先用等比数列 然后余弦定理 最后用基本不等式求最值 考点十一 解三角形的实际应用 例 如图 都在同一个与水平面垂直的平面内 为两岛DCBA DB 上的两座灯塔的塔顶 测量船于水面处测得点和点的仰角分别为ABD 于水面处测得点和点的仰角均为 试探究图中间距离与另 75 30CBD 60kmAC1 0 DB 外哪两点间距离相等 然后求的距离 计算结果精确到 DB km01 0 414 1 2 449 2 6 答案 0 33km 知识点 正弦定理和三角形的相关知识 思路 先通过三角形的相关知识进行转化 然后利用正弦定理就可以求出长度 考点十二 解三角形的综合题型 例 已知分别为三个内角的对边 a b cABC A B Ccos3 sin0aCaCbc 1 求 2 若 的面积为 求 A2a ABC 3 b c 答案 1 2 60 A2bc 知识点 正余弦定理 三角形面积公式 三角恒等变换和诱导公式 思路 1 先通过正弦定理和诱导公式转化 转化完之后 利用三角恒等变换求出 A 2 利用角 再通过余弦定理 就可以求出的值 A b c 数列 数列是高考的必考知识点 每年都有考题 一般考查分数为 10 17 分 考查的时候 可 能是选择题 填空题 或解答题 有时单独考查 有时会与不等式 函数等知识点进行综合考查 以前考题比较难一些 现在多数比较简单 但是常用的方法还是比较经典的 知识点 数列的递推公式 数列的求通项公式 数列的求和 等差数列和等比数列 知识点分解 1 递推公式 建立前项和和的关系 n n S n a 2 等差数列的通项公式 公式 性质 等差中项以及前项和等问题 n n S 3 等比数列的通项公式 公式 性质 等比中项以及前项和等问题 n n S 4 数列求通项公式的几种方法 5 数列求和的几种方法 6 数列的综合问题 必须具备的知识点 函数 导数 不等式 平面向量 三角函数等相关知识 可能综合的知识点 数列的内部综合 与三角函数的综合 与导数的综合 以及与不等式的综合 数列的常见题型 考点一 和的关系 n S n a 1 2 1 1 na nSS a nn n 例 数列 n a的前n项和为 n S 已知 求的值 以及数列 n a的表达式 2 nSn 8 a 答案 15 8 a12 nan 知识点 递推公式 思路 已知项数 求具体值 未知项数 求表达式 nn 考点二 等差数列 1 等差数列的公差和通项公式 等差数列的通项公式 知三求一 如果已知 那么求的是数列的通项公式 dnaan 1 1 da 1 n a 等差数列通项公式的变形公式 dmnaa mn 例 已知等差数列中 求数列的公差以及数列的通项公式 n a3 1 31 aad n a 答案 2 dnan23 知识点 等差的公差和通项公式 思路 利用数列的通项公式先求出公差 然后求数列的通项公式 d n a 2 等差数列的性质 都是正整数 都是正整数 是和qpmn qpmn aaaa qpn 2 qpn aaa 2 n a p a 的等差中项 q a 例 已知等差数列中 求以及的值 n a7 1 95 aa 131 aa 7 a 答案 6 131 aa3 7 a 知识点 等差数列的性质 思路 等差数列的性质和等差中项可得到 3 等差数列的求和 知三求一 如果已知 那么求的是的表达式 2 1 2 11 dnn naaa n S nn da 1n S 为奇数 或 2 1 nn naSn mm amS 12 12 例 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 36 324SS 则的值 9 S 答案 63 知识点 等差数列的求和 思路 方法不唯一 通过等差数列前n项和为 n S 先求出和 然后再利用等差数列前n项和 求 1 ad 9 S 4 等差数列求和中的最值问题 类似于二次函数 当时 有最小值 当时 有n d an ddnn naSn 2 22 1 1 2 1 0 d n S0 d n S 最大值 例 设等差数列 的前 n 项和为 已知 求中的最大值 n a n S2 9 3 da n S 答案 49 知识点 等差数列的和或二次函数的知识 思路 先利用等差数列的前n项和 n S表达式 然后利用二次函数的知识求最大值 例 设等差数列 的前 n 项和为 已知 求中的最小值 n a n S2 9 3 da n S 答案 36 知识点 等差数列的和或二次函数的知识 思路 先利用等差数列的前n项和 n S表达式 然后利用二次函数的知识求最小值 5 等差数列的证明 等差数列的定义表达式 daa nn 1 例 设数列的前 n 项和为 求证 是等差数列 n a n S109 10 11 nn Saa lg n a 答案 首项为 1 公差也为 1 的等差数列 知识点 对数函数的知识和等差数列 思路 先求出 然后利用等差数列的定义表达式 证明等差数列 1lg 1 adaa nn 1 6 已知等差数列 n a 中 0 16 6473 aaaa求数列 n a 前 n 项和 n S 答案 或nnSn9 2 nnSn9 2 知识点 解方程和等差数列的和 思路 先利用等差数列的知识求出首项和公差 然后再求前 n 项和 n S 考点三 等比数列 1 等比数列的公比和通项公式 等比数列的通项公式 知三求一 如果已知 那么求的是数列的通项公式 0 1 1 qqaa n n qa 1 n a 等比数列通项公式的变形公式 mn mn n q a a 例 已知等比数列中 求等比数列的公比和数列的通项公式 n a8 2 31 aaq n a 答案 2 q n n a 2 知识点 等比数列的公比和通项公式 思路 利用等比数列的通项公式即可求出 2等比数列的性质 都是正整数 都是正整数 是和的qpmn qpmn aaaa qpn 2 qpn aaa 2 n a p a q a 等比中项 例 设等比数列 已知 求值 n a18 93 aa 6 a 答案 23 知识点 等比中项 思路 利用等比中项即可 例 设等比数列 已知 求值 n a12 3 73 aa 654 aaa 答案 216 知识点 等比数列的性质 思路 利用等比的性质即可 3等比数列求和 用错位相减法推导 1 1 11 1 11 qna q q qaa q qaa S n n n 例 设等比数列 n a的公比 1 2 q 前n项和为 n S 则 4 4 S a 答案 15 知识点 等比数列的求和 思路 利用等比数列的求和和通项公式即可 4 等比数列的证明 等比数列的定义表达式 q a a n n 1 例 在数列中 设 证明 数列是等比数列 n a1 1 a n nn aa32 1 n nn ab3 n b 答案 数列是公比 2 首项 2 的等比数列 n b 知识点 等比数列的定义 思路 先化解 再利用等比数列的定义来证明 5 等比数列的综合 例 设 n S为数列 n a的前n项和 2 n Sknn nN 其中k是常数 若对于任意的 mN m a 2m a 4m a成等比数列 求k的值 答案 或0 k1 k 知识点 等比数列的等比中项和递推公式 思路 先通过递推公式化解 然后再利用等比数列的等比中项 即可求出 考点四 等差和等比数列的综合问题 例 已知实数列 n a是等比数列 其中成等差数列 求数列的通项公式 5547 1 1aaaa 且 n a 答案 n n a 7 2 知识点 等比数列的通项公式和等差中项 思路 先利用等比数列的知识 然后再利用等差数列的等差中项 即可求出 例 等比数列 n a中 已知 14 2 16aa 若 35 a a分别为等差数列 n b的第 3 项和第 5 项 求数列 n b的 通项公式及前n项和 n S 答案 nnSn226 2 知识点 等比数列的通项公式和等差的通项公式 思路 通过等比数列的知识来转化为等差数列 即可 考点五 求数列的通项公式 1 观察法 等差数列和等比数列的通项公式 上述已有 2 累加法 形式为 利用累加法求通项 1 nfaa nn 1 2 1 1 nfffaan 例 已知数列满足 求数列的通项公式 n anaa nn 1 1 1 a n a 答案 2 2 2 nn an 知识点 累加法求数列的通项公式 思路 由得则 即可 naa nn 1 naa nn 1112211 aaaaaaaa nnnnn 3 累乘法 形式为 利用累乘法求数列通项 1 nf a a n n 1 1 2 2 1 1 a a a a a a a a n n n n n 答案 n an 3 2 知识点 累加法求数列的通项公式 思路 由条件知 即可 1 1 n n a a n n n n n a a a a a a a a a a 13 4 2 3 1 2 1 4 待定系数法 1 其中 p q 均为常数 把原递推公式转化为 qpaa nn 1 0 1 ppq 1 tapta nn 其中 再转化为等比数列求通项公式 p q t 1 2 其中均为常数 或 其中 n nn qpaa 1 qp 0 1 1 qppq 1 n nn aparq 均为常数 等式两边同除以得 若 再利用上述的方法 转化为等比数列rqp n q1 1 1 n n n n q a q p q a qp 的形式 利用等比数列通项公式 若 将转化为等差数列的形式 再利用等差数列求通项公式 qp 例 已知数列中 求 n a1 1 a32 1 nn aa n a 答案 32 1 n n a 知识点 待定系数法求数列的通项公式 思路 设递推公式可以转化为 然后利用等比数列求通项公式 32 1 nn aa 2 1 nn aa 例 已知数列中 求 n a3 1 a n nn aa32 1 n a 答案 nn n a23 知识点 待定系数法求数列的通项公式 思路 方法不唯一 根据 两边除以得 令 转化成上面例题 n nn aa32 1 n 31 3 2 3 1 n nn n a a 1 3 n n n a b 的形式 然后再利用上面例题的方法求解 5 配凑法 构造法 建立等差数列或等比数列的形式 例 已知数列满足求数列的通项公式 n a 1221 1 3 32 nnn aaaaa nN n a 答案 12 n n a 知识点 构造成等比数列 思路 方法不唯一 还可以利用特征根的方法求解 构造等比数列 或利用特征根的方法 求出两根 然后利用等比数列的知识求解 21 32 nnn aaa 2 112nnnn aaaa 6 递推法 解决既有又有的问题 2 1 1 1 nSS na a nn nn a n S 例 设数列 n a的前n项和为 n S 已知 1 1 a 1 42 nn Sa 求数列 n a的通项公式 答案 2 31 2n n an 知识点 利用递推公式 再利用等比数列的通项公式 思路 先利用递推公式化解 然后等比数列求通项公式 7 不动点法 换元法 数学归纳法等求通项公式 内蒙古高考现在已经不是重要的方法了 考点六 数列求和 1 公式法 等差数列和等比数列求和 略 2 裂项相消法 裂项相消的常见形式 1 11 1 1 nnnn 11 11 2 22n nnn 12 1 12 1 2 1 12 12 1 nnnn 例 已知数列满足求数列的求和 n a 1111 1 3 2 4 3 5 2 n n n a n S 答案 2 1 2 32 4 3 nn n Sn 知识点 利用裂项相消求数列的和 思路 利用求和即可 2 11 2 1 2 1 nnnn an 例 已知数列满足 求数列的求和 n a 1 1 n a nn n a n S 答案 11 nSn 知识点 分母有理化 利用裂项相消求数列的和 思路 进行分母有理化得 然后裂项相消求和 nnan 1 3 错位相减法 课本上推导等比数列求和公式的方法 由等差数列和等比数列构成的新数列 用错位相减 例 已知数列满足 求数列的求和 n a n n na2 n a n S 答案 22 1 1 n n nS 知识点 错位相减法求和 思路 错位相减法求和 例 设数列满足 设 求数列的前项和 n a 21 123 333 3 n n n aaaa a N n n n b a n bn n S 答案 11 13 33 244 nn n n S 知识点 错位相减法求和 思路 错位相减法求和 4 分组求和法 将新数列分成已学过的数列 然后求和 例 设数列的前 n 项和为 且 求的表达式 n a n Sna n n 32 n S 答案 2 2332 21 nn S n n 知识点 利用等差数列和等比数列求和 思路 根据数列的特点 等差数列和等比数列的求和公式可以得到 5 相加求和法 数学归纳法求和 内蒙古高考现在已经不是重要的方法了 考点七 数列中的不等式问题 例 设数列的前项和为 已知 若 求的取 n an n S 1 aa 1 3n nn aS n N 1nn aa n Na 值范围 答案 9 知识点 递推公式 构造法求的通项公式 数列的单调性 n a 思路 通过递推公式 构造法求的通项公式 再利用数列的单调性求的取值范围 n aa 考点八 数列中的放缩法 例 已知数列 满足 证明 n a13 1 11 nn aaa 123 11113 2 n aaaa 答案 如下 知识点 发缩放证明数列中的不等式 思路 由构造法求的通项公式 然后利用放缩法 转化为等比数列求和 最后证明不等式 n a 1 3 1 1 3 21 nn n a 考点九 数列中的不等式问题 最值问题 是正整数 n 例 已知等差数列的前项和为 若 则的最小值为 n an n S25 0 1510 SS n nS 答案 49 知识点 等差数列的求和 导数 思路 通过等差数列的知识求出 然后再通过导数求出 n S n nS 不等式 不等式是高考的重要知识点 但是它会和其他知识融合在一起考查 有时是一道小题 有时 会和其他知识综合在一起以大题的形式出现 分数范围为 5 10 分 现在线性规划 几乎每年 必考 虽然不是很难 但是大家一定要掌握好 不等式小题一般不会很难 综合题重点主要是汇 入其他知识点进行 对数是取值范围或值域问题 知识点 不等关系 解不等式 不等数组的线性规划和基本不等式 不等关系 1 不等关系与不等式 比差法 问题的关键是判定差的符号 正 负 零 0 0 0 babababababa 方法通常是配方或因式分解 2 不等式的性质 基本性质有 1 对称性 2 传递性 3 abba cacbba cbcaba 4 时 时 0 cbcacba 0 cbcacba 运算性质有 1 2 3 dbcadcba nn baba 0 nn baba 0 4 5 6 d b c a cdba 0 0dbcacdba bdaccdba 0 0 3 基本不等式 同号 当且仅当时成立等号 abbaabba2 2 ba ba 同号 等号成立 当且仅当时成立等号 abba2 22 ba 2 2 ba ab ba 当且仅当时成立等号 22 2 22 ababab ab ab Rba ba 必须具备的知识点 函数 导数 三角函数 数列等相关知识 可能综合的知识点 不等式的内部综合 与三角函数的综合 与导数的综合 以及与数列的综合 不等式的常见题型 考点一 解一元二次不等式 解一元二次不等式一般与二次函数和一元二次方程结合起来研究 讨论的情况 0 a 0 0 0 0 2 cbxax 两不等实根 21 xx 两相等实根 a b xx 2 21 无实根 0 2 cbxax 21 xxxxx 或 2 a b xx R 0 2 cbxax 21 xxxx 讨论的情况 只需将不等式两边同乘以 1 改变不等式方向加以研究 0 a 1 最基本的一元二次不等式 略 2 含参数的一元二次不等式 需要分类讨论 例 解不等式 0 1 1 xax0 a 答案 当或时 解集为 当时 解集为 0 a1 a 1 1 x a xx或01 a 1 1 a xxx 或 知识点 解含参数的一元二次不等式 思路 用分类讨论法解一元二次不等式 3 高次不等式 数轴标根法 已不再是高考的重点 4 分式不等式 1 0 0 dcxbax bax dcx 0 bax 2 剩下的同上 注意 如果已经确定 即0011 bax baxdcx bax dcx bax dcx 0 bax 有 baxdcx 5 单绝对值不等式 1 2 cbaxcbaxacbax 或 0 cbaxcacbax 0 6 双绝对值不等式 可分解为 当时 当时 c d a b tdcxbax 设 a b x tdcxbax a b x c d 当时 具体解根据实际情况即可 注意 tdcxbax c d x tdcxbax 含参数的双绝对值需要先确定参数的范围再分类讨论 或根据实际情况看是哪一类bababa 问题具体确定 含参数的双绝对值不等式恒成立问题 会涉及到最值问题 需要根据函数的单调性求取值 例 已知函数 求不等式的解集 23 xxxf 3f x 答案 14 xxx或 知识点 双绝对值不等式 思路 分类讨论解双绝对值不等式 例 函数 若的解集包含 求的取值范围 2f xxax 4f xx 1 2 a 答案 03 a 知识点 双绝对值不等式中含参数的问题 思路 由给出的解集 可去双绝对值 然后确定的取值范围 a 例 关于的不等式在上恒成立 则实数的最大值是xaaxx22 Ra 答案 3 2 a 知识点 双绝对值不等式中含参数的问题 思路 方法不唯一 分类讨论可以解出不等式的取值范围 然后求出的最大值 a 考点二 不等式的证明 常用的方法 做差法 分析法 综合法 放缩法 数学归纳法 柯西不等式 22222 bdacdcba 例 已知 求证10 x 2 22 1 ba x b x a 答案 如下 知识点 柯西不等式 思路 由 然后构造柯西不等式 1 1 xx 例 已知 求证 1 1 ba1 1 ba ab 答案 如下 知识点 绝对值不等式 作差法 思路 作差 讨论的正负 22 1baab 例 若 求证acbcba ac 答案 如下 知识点 绝对值不等式 不等式的性质 思路 通过解绝对值不等式 和不等式的性质即可 考点三 不等式组的线性规划 不等式组的线性规划的解题思路是 所取的点是否在约束的范围内 1 最大值和最小值 例 设变量满足约束条件则目标函数的最大值和最小值分别为yx 08 10105 02 yx yx yx yxz43 答案 3 11 知识点 不等式组的线性规划 最大值和最小值 思路 三条直线的交点 构成三角形区域 代入目标函数中 即一个最大值和一个最小值 2 最值范围 例 设满足约束条件 则的取值范围为 x y 0 1 3 x y xy xy 2zxy 答案 3 3 知识点 不等式组的线性规划 思路 画图 找出区域 求出的交点代入目标函数中 即一个最大值和一个最小值 3 面积问题 例 不等式组表示的平面区域的面积为 260 30 2 xy xy y 答案 1 知识点 不等式组的线性规划 思路 找出三角形区域 然后用三角形面积公式求面积 4 目标函数中含参数 例 已知满足以下约束条件 使取得最小值的最优解有无数个 yx 5 50 3 xy xy x 0 aayxz 则的值为a 答案 1 知识点 不等式组的线性规划 思路 找出可行域 做目标函数的平行线 即可 5 求非线性目标函数的最值 例 已知 x y 满足以下约束条件 则 z x2 y2的最大值和最小值分别是 220 240 330 xy xy xy 答案 1 13 3 4 5 知识点 不等式组的线性规划 思路 找出可行域 求出三个交点的坐标代入目标函数中 即可 6 约束条件中含函数的最值 范围 例 已知 0 满足约束条件 若的最小值是 1 则 a x y 3 3 1 xay yx x yxz 2a 答案 2 1 知识点 不等式组的线性规划 思路 找出可行域 求出三个交点的坐标代入目标函数中 即可 7 比值问题 例 已知变量满足约束条件 则 的取值范围是 x y 07 1 02 yx x yx x y 答案 6 5 9 知识点 不等式组的线性规划 思路 找出可行域 求出三个交点的坐标代入目标函数中 即可 8 双边约束条件 例 若变量满足约束条件 则的最小值是 x y 329 69 xy xy 2zxy 答案 6 知识点 不等式组的线性规划 思路 找出可行域 是平行四边形区域 求出四个交点的坐标代入目标函数中 即可 考点四 基本不等式 1 直接法 例 求函数的最小值 0 1 x x xy 答案 2 知识点 基本