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3 1 设系统的微分方程式如下 1 2 2 0trtc 2 24 0 04 0 trtctctc 试求系统闭环传递函数 s 以及系统的单位脉冲响应 g t 和单位阶跃响应 c t 已知 全部初始条件为零 解 1 因为 2 2 0sRssC 闭环传递函数 ssR sC s 10 单位脉冲响应 ssC 10 010 ttg 单位阶跃响应 c t 2 10 ssC 010 tttc 2 124 0 04 0 2 sRsCss 124 0 04 0 2 ss sR sC 闭环传递函数 124 0 04 0 1 2 sssR sC s 单位脉冲响应 124 0 04 0 1 2 ss sCtetg t 4sin 3 25 3 单位阶跃响应 h t 16 3 61 16 3 25 22 s s sss sC tetetc tt 4sin 4 3 4cos1 33 3 2 温度计的传递函数为 用其测量容器内的水温 1min 才能显示出该温度 1 1 Ts 的 98 的数值 若加热容器使水温按 10 C min 的速度匀速上升 问温度计的稳态指示误差 有多大 解法一 依题意 温度计闭环传递函数 1 1 Ts s 由一阶系统阶跃响应特性可知 因此有 得出 o o Tc98 4 min14 T min25 0 T 视温度计为单位反馈系统 则开环传递函数为 Tss s sG 1 1 1 1 v TK 用静态误差系数法 当 时 ttr 10 CT K ess 5 210 10 解法二 依题意 系统误差定义为 应有 tctrte 11 1 1 1 Ts Ts TssR sC sR sE s e CT sTs Ts ssRsse s e s ss 5 210 10 1 lim lim 2 00 3 3 已知二阶系统的单位阶跃响应为 1 536 1sin 5 1210 2 1ot tetc 试求系统的超调量 峰值时间 p 和调节时间 s 解 1sin 1 1 1 2 2 tetc n t n arccos 2 1 e n p t 2 1 n s t 5 3 6 0 1 53coscos 0 5 9 222 6 01 6 06 01 6 01 eee 96 1 6 1 1 2 st n p 92 2 2 1 5 35 3 st n s 或 先根据 c t 求出系统传函 再得到特征参数 带入公式求解指标 3 4 机器人控制系统结构图如图 T3 1 所示 试确定参数值 使系统阶跃响应 21 K K 的峰值时间s 超调量 5 0 p t 2 图 T3 1 习题 3 4 图 解 依题 系统传递函数为 22 2 121 2 1 21 1 2 1 1 1 1 1 nn n ss K KsKKs K ss sKK ss K s 由 联立求解得 5 0 1 02 0 2 1 2 n p o o t e 10 78 0 n 比较分母系数得 s 146 0 12 100 1 2 2 1 K K K n n 3 5 设图 T3 2 a 所示系统的单位阶跃响应如图 T3 2 b 所示 试确定系统参数 和 1 K 2 Ka 图 T3 2 习题 3 5 图 解 由系统阶跃响应曲线有 o o o o p t c 3 333 34 1 0 3 系统闭环传递函数为 1 22 2 2 1 2 21 2 nn n ss K Kass KK s 由 联立求解得 o o o o n p e t 3 33 1 0 1 2 1 2 28 33 33 0 n 由式 1 222 1108 2 1 n n a K 另外 3lim 1 lim 2 1 2 21 00 K Kass KK s ssc ss 3 6 已知单位反馈随动系统如图 T3 3 所示 K 16s 1 T 0 25s 试求 1 特征参数 和 n 2 计算 和 ts 3 若要求 16 当 T 不变时 K 应当取何值 图 T3 3 习题 3 6 图 解 1 求出系统的闭环传递函数为 TKs T s TK KsTs K s 1 2 2 因此有 25 0 2 1 2 1 8 25 0 16 1 KT T s T K n n 2 44 100e 2 1 2 2 825 0 44 st n s 3 为了使 16 由式 16 100e 2 1 可得 5 0 当 T 不变时 有 425 0 4 4 25 0 5 02 1 2 1 2 1 122 1 sTK s T T n n 3 7 系统结构图如图 T3 4 所示 已知系统单位阶跃响应的超调量 峰 3 16 值时间s 1 p t 图 T3 4 习题 3 7 图 1 求系统的开环传递函数 sG 2 求系统的闭环传递函数 s 3 根据已知的性能指标 确定系统参数及 p tK 4 计算等速输入时系统的稳态误差 sttr 5 1 解 1 110 10 1 10 1 1 10 ss K ss s ss KsG 2 22 2 2 210 110 10 1 nn n ssKss K sG sG s 3 由 联立解出 1 1 3 16 2 1 2 n p o o o o t e 263 0 63 3 5 0 n 由 2 得出 18 1363 3 10 22 n K 318 1 K 4 63 3 1263 0 10 18 13 110 10 lim 0 K ssGK s v 413 0 63 3 5 1 v ss K A e 3 8 已知单位反馈系统的单位阶跃响应为 求 1 开环传递函数 2 sn t 3 在 作用下的稳态误差 3 9 已知系统结构图如图 T3 5 所示 125 0 11 0 sss K sG 试确定系统稳定时的增益 K 的取值范围 图 T3 5 习题 3 9 图 解 3 10 已知单位反馈系统的开环传递函数为 22 4 1 7 2 ssss s sG 试分别求出当输入信号和时系统的稳态误差 tttr 1 2 t 解 22 4 1 7 2 ssss s sG 1 87 v K 由静态误差系数法 时 1 ttr 0 ss e 时 ttr 14 1 7 8 K A ess 时 2 ttr ss e 3 11 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 0 11 0 21 K G S sss 若 r t 2t 2 时 要求系统的稳态误差为 0 25 试求应取何值 K 3 12 设系统结构图如图 T3 6 所示 图 T3 6 习题 3 12 图 1 当时 求系统的动态性能指标和 0 25 0 f KK s t 2 若使系统 0 5 单位速度误差时 试确定和值 0 1 ss e 0 K f K 1 5 分分 2 5 分分 25 4 1 75ts 0 100 6 f KK 3 13 已知系统的特征方程 试判别系统的稳定性 并确定在右半 s 平面根的个数及纯虚 根 1 01011422 2345 ssssssD 2 0483224123 2345 ssssssD 3 022 45 ssssD 4 0502548242 2345 ssssssD 解 1 0 1011422 2345 ssssssD Routh S5 1 2 11 S4 2 4 10 S3 6 S2 10 124 S 6 S0 10 第一列元素变号两次 有 2 个正根 2 0 483224123 2345 ssssssD Routh S5 1 12 32 S4 3 24 48 S3 0 3 1224 3 4 32348 3 16 S2 48 4243 16 4 12 S 0 辅助方程 1216448 12 0 12480 2 s S 24 辅助方程求导 024 s S0 48 系统没有正根 对辅助方程求解 得到系统一对虚根 sj 1 2 2 3 022 45 ssssD Routh S5 1 0 1 S4 2 0 2 辅助方程 022 4 s S3 8 0 辅助方程求导 08 3 s S2 2 S 16 S0 2 第一列元素变号一次 有 1 个正根 由辅助方程可解出 022 4 s 1 1 222 4 jsjssss 1 1 2 22 45 jsjssssssssD 4 0502548242 2345 ssssssD Routh S5 1 24 25 S4 2 48 50 辅助方程 050482 24 ss S3 8 96 辅助方程求导 0968 3 ss S2 24 50 S 338 3 S0 50 第一列元素变号一次 有 1 个正根 由辅助方程可解出 050482 24 ss 5 5 1 1 250482 24 jsjsssss 5 5 1 1 2 502548242 2345 jsjssssssssssD 3 14 某控制系统方块图如图 T3 7 所示 试确定使系统稳定的值范围 K 图 T3 7 习题 3 14 图 解 由结构图 系统开环传递函数为 4 124 23 2 sss ssK sG 3 4 v KKk 系统型别 开环增益 0244 2345 KKsKsssssD Routh S5 1 4 2K S4 1 4K K S3 K 1 4K 1 K S2 K 1 4 1615 K KK 067 1 1516 K S 1 4 164732 2 K KK 933 0 536 0 K S0 K 0 K 使系统稳定的 K 值范围是 933 0 536 0 K 3 15 单位反馈系统的开环传递函数为 5 3 sss K sG 要求系统特征根的实部不大于 试确定开环增益的取值范围 1 解 系统开环增益 特征方程为 15KKk 0158 23 KssssD 做代换 有 1 ss 0 8 25 1 15 1 8 1 2323 KsssKssssD Routh S3 1 2 S2 5 K 8 S 5 18K 18 K S0 8 K8 K 使系统稳定的开环增益范围为 15 18 1515 8 K Kk 3 16 单位反馈系统的开环传递函数为 12 1 1 sTss sK sG 试确定使系统稳定的和的取值范围 TK 解 特征方程为 0 1 2 2 23 KsKsTTssD Routh S3 T2K 10 T S2 T 2K2 T S T TK K 2 2 1 1 4 2 K T S0 K0 K 综合所得 使系统稳定的参数取值 k 0 1 4 2 K T 3 17 船舶横摇镇定系统方块图如图 T3 8 所示 引入内环速度反馈是为了增加船只的 阻尼 图 T3 8 习题 3 17 图 1 求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传递函数 sM s N 2 为保证为单位阶跃时倾斜角的值不超过 0 1 且系统的阻尼比为 0 5 求 N M 2 K 和应满足的方程 1 K 3 K 3 取 1 时 确定满足 2 中指标的和值 2 K 1 K 3 K 解 1 5 01 5 02 0 5 0 12 0 5 0 12 0 5 0 1 12 0 5 0 2132 2 2 1 2 32 2 KKsKKs ss KK ss sKK ss sM s a N 2 令 1 0 5 01 5 0 1 lim lim 21 00 KKsM s s s sM s sMs N s N N s 得 由 有 可得8 21 KK sM s N 5 0 2 5 02 0 5 01 32 31 n n KK KK 2132 5 0125 0 2 0KKKK 3 时 可解出 1 2 K8 1 K525 0 2 0 3 K072 4 3 K 3 18 系统方块图如图 T3 9 所示 试求局部反馈加入前 后系统的静态位置误差系 数 静态速度误差系数和静态加速度误差系数 图 T3 9 习题 3 18 图 解 局部反馈加入前 系统开环传递函数为 1 12 10 2 ss s sG limsGK s p lim 0 ssGK s v 10 lim 2 0 sGsK s a 局部反馈加入后 系统开环传递函数为 20 12 10 1 20 1 1 10 12 2 sss s s ss s s sG lim 0 sGK s p 5 0 lim 0 ssGK s v 0 lim 2 0 sGsK s a 3 19 系统方块图如图 T3 10 所示 已知 试分别计算 1 21 ttntntr 作用时的稳态误差 并说明积分环节设置位置对减小输入和干扰作用下 21 tntntr和 的稳态误差的影响 图 T3 10 习题 3 19 图 解 1 1 21 sTsTs K sG 1v K 时 1 ttr 0 ssr e KsTsTs sT sTsTs K sTs sN sE s en 1 1 1 1 1 1 1 1 21 1 21 2 1 1 时 1 1 ttn Ks sssNsse en s en s ssn 11 lim lim 111 0 1 0 KsTsTs sTs sTsTs K sT sN sE s en 1 1 1 1 1 1 1 1 21 1 21 2 2 2 时 1 2 ttn 0 1 lim lim 212 0 2 0 s sssNsse en s en s ssn 在反馈比较点到干扰作用点之间的前向通道中设置积分环节 可以同时减小由输入和 干扰因引起的稳态误差 3 20 系统方块图如图 T3 11 所示 图 T3 11 习题 3 20 图 1 为确保系统稳定 如何取值 K 2 为使系统特征根全部位于平面的左侧 应取何值 s1 sK 3 若时 要求系统稳态误差 应取何值 22 ttr25 0 ss eK 解 5 10 50 sss K sG 1v K 1 KssssD505015 23 Routh 050 15 15 15 50 5015 501 0 1 2 3 KKs K K s Ks s 系统稳定范围 150 K 2 在中做平移变换 sD1 ss KssssD50 1 50 1 15 1 23 3650 2312 23 Ksss Routh 72 0 50 36 3650 24 6 50 312 12 50312 365012 231 0 1 2 3 KKs K K s Ks s 满足要求的范围是 24 6 72 0 K 3 由静态误差系数法 当 时 令 22 ttr25 0 2 K ess 得 8 K 综合考虑稳定性与稳态误差要求可得 158 K 3 21 宇航员机动控制系统方块图如图 T3 12 所示 其中控制器可以用增益来表示 2 K 宇航员及其装备的总转动惯量 2 25mkgI 图 T3 12 习题 3 21 图 1 当输入为斜坡信号m 时 试确定的取值 使系统稳态误差cm ttr 3 K ss e1 2 采用 1 中的值 试确定的取值 使系统超调量 限制在 10 以内 3 K 21 K K 解 1 系统开环传递函数为 321 21 321 21 I KKK ss I KK KKKsIs KK sE sC sG 1 1 3 v K K 时 令 可取 ttr 01 0 1 3 K K ess 3 0 01K 2 系统闭环传递函数为 I KK s I KKK s I KK sR sC s 213212 21 I KKK I KK n 2 213 21 由 可解出 取 进行设计 o o o o e10 2 1 592 0 6 0 将 代入表达式 可得25 I01 0 3 K6 0 2 213 I KKK 360000 21 KK 3 22 大型天线伺服系统结构图如图 T3 13 所示 其中 0 707 15 0 15s n 1 当干扰 输入时 为保证系统的稳态误差小于 0 01 试确 110 ttn 0 tr 定的取值 a K 2 当系统开环工作 0 且输入时 确定由干扰引起的 a K0 tr 110 ttn 系统响应稳态值 图 T3 13 习题 3 22 图 解 1 干扰作用下系统的误差传递函数为 222 2 2 1 1 nann n en Kssss s sN sE s 时 令 110 ttn a en s en s ssn K s s sssNse 10 10 lim lim 00 01 0 得 1000 a K 2 此时有 2 10 2 222 2 22 2 nn n nn n sss sN sss sCsE lim 0 ssEee s ss 3 23 控制系统结构图如图 T3 14 所示 其中 试分析 1 K0 2 K0 1 值变化 增大 对系统稳定性的影响 2 值变化 增大 对动态性能 的影响 s t 3 值变化 增大 对作用下稳态误差的影响 tatr 图 T3 14 习题 3 23 图 解 系统开环传递函数为 1 2 21 2 2 1 Kss KK sKs K KsG 1 1 v KK 212 2 21 KKsKs KK s 1 2 21 2 21 22K K KK K KK n 212 2 KKsKssD 1 由 表达式可知 当时系统不稳定 时系统总是稳定的 sD0 0 2 由 可知 1 2 2 1 K K 2 75 3 K t n s o o 10 3 1 K a K a ess 3 24 系统方块图如图T3 15所示 1 写出闭环传递函数表达式 s 2 要使系统满足条件 707 0 2 n 试确定相应的参数和 K 3 求此时系统的动态性能指标 s t 0 0 4 时 求系统的稳态误差 ttr2 ss e 5 确定 使干扰对系统输出无影响 sGn tn tc 图 T3 15 习题 3 24 图 解 1 闭环传递函数 22 2 2 2 2 2 1 nn n ssKsKs K s K s K s K sR sC s 2 对应系数相等得 222 422 2 n n K K 707 0 4 K 3 0 0 1 0 0 32 4 2 e 475 2 2 5 35 3 n s t 4 1 2 Kss K s K s K sG 1 1 v KK 414 1 2 K ss K A e 5 令 0 1 1 s sG ss K sN sC s n n 得 KssGn 3 25 复合控制系统方块图如图 T3 16 所示 图中 均为大于零的常 1 K 2 K 1 T 2 T 数 1 确定当闭环系统稳定时 参数 应满足的条件 1 K 2 K 1 T 2 T 2 当输入时 选择校正装置 使得系统无稳态误差 tVtr 0 sGC 图 T3 16 习题 3 25 图 解 1 系统误差传递函数 2121 1221 21 21 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 KKsTsTs sTsGKsTsTs sTsTs KK sG sTs K sR sE s c c e 21 2 21 3 21 KKssTTsTTsD 列劳斯表 21 0 21 2121211 2121 2 21 3 0 1 KKs TT KKTTTT s KKTTs TTs 因 均大于零 所以只要 即可满足稳定条件 1 K 2 K

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