08第八章 非线性控制系统

自动控制理论学习指导 63 第八章第八章 非线性控制系统非线性控制系统 一 基本要求 一 基本要求 1 了解非线性控制系统与线性控制系统最重要的区别 2 掌握自动控制系统中常见的典型非线性特性 3 了解分析非线性控制系统的常用两种方法 描述函数法和相平面法 4 掌握分析非线性控制系统的方法 描述函数法 5 熟练掌握应用描述函数分析法分析系统的稳定性 6 掌握应用描述函数分析法 分析系统自振荡产生的条件及振幅和频率的确定 二 本章要点 二 本章要点 1 常见的典型非线性特性 饱和特性 死区特性 回环特性 继电器特性 变放大 系数特性等 2 非线性系统的特性 非线性控制系统与线性控制系统相比 有如下特点 1 非线性控制系统的稳定性 不仅取决于系统的结构和参数 而且与输入信号的 幅值和初始条件有关 2 在非线性控制系统中 如果输入是正弦信号 输出就不一定是正弦信号 而是 一个畸变的波形 它可以分解为正弦波和无穷多谐波的叠加 3 叠加原理不适用于非线性控制系统 4 非线性控制系统常常产生自振荡 在非线性控制系统中 即使没有外加的输入 信号 系统自身产生一个有一定频率和幅值的稳定振荡 称为自振荡 自持振荡 自振 荡是非线性控制系统的特有运动模式 它的振幅和频率由系统本身的特性所决定 3 非线性控制系统的分析研究方法 目前分析非线性控制系统的常用方法之一描述函数法 是一种基于频率域的分析方 法 这种方法主要用于研究非线性系统的稳定 性和自振荡问题 如系统产生自振荡 如何求 XN jG rc 第八章 非线性控制系统 64 出其振荡的频率和幅值 以及寻求消除自振荡的方法等 非线性控制系统经过变换和归化可表示为图 8 1 所示的典型结构 其中函数称为该 XN 非线性元件的描述函数 为系统的线性环节 此描述函数是正弦输入信号 jG XN 幅值的函数 这时线性系统中的频率法就可用来研X 8 1 非线性控制系统典型结构图 究非线性系统的基本特性 而称为 1XN 描述函数的负倒特性 4 用描述函数法分析非线性控制系统稳定性 仿效线性系统用奈氏判据来判定非线性系统的稳定性 不再是参考点 而是 0 1 j 一条的轨迹线 因此 对非线性系统进行稳定分析时 首先要在复平面上分别 1XN 绘制出以频率为变量的幅相特性曲线和以幅值为变量的曲线 然后 jGX 1XN 根据它们的相对位置来判定该系统的稳定性 1 如果的轨迹没有被曲线所包围 则非线性系统是稳定的 而且两 1XN jG 曲线相距愈远 系统愈稳定 2 如果的轨迹被曲线所包围 则相应的非线性系统是不稳定的 1XN jG 3 如果的轨迹与曲线相交 则系统的输出有可能产生自持振荡 1XN jG 为简便判断交点处产生的自持振荡是否稳定 我们以曲线为界把复平面划分 jG 为稳定区和不稳定区 若曲丝沿箭头方向由不稳定区经交点进入稳定区 则在 1XN 该交点处产生的自持振荡是稳定的 若曲线沿箭头方向由稳定区经交点进入不 1XN 稳定区 该交点产生的自持振荡就是不稳定的 三 典型例题分析 三 典型例题分析 例例 8 1 8 1 非线性系统的及的轨迹如图 8 2 所示 试判断该系统是否 jG 1XN 自动控制理论学习指导 65 稳定 Im Re 0 Q P 1 N G jw 1 X 1 N 0 jG Im Re 图 8 2 非线性系统框图 图 8 3 非线性系统框图 解 解 因为由图可知 曲线包围了曲线 所以不论幅值如何变化 jG 1XN X 该非线性系统都是不稳定的 例例 8 2 8 2 非线性系统的及的轨迹如图 8 3 所示 试判断该系统有几 jG 1XN 个点存在自振荡 解 解 因为由图可知 在复平面上曲线与相交 系统可能发生自持振 jG 1XN 荡 图中曲线沿箭头方向由稳定区经交点P进入不稳定区 所以P点不存在自 1XN 持振荡 而曲线沿箭头方向从不稳定区经交点Q进入到稳定区 所以交点Q处 1XN 存在自持振荡 例例 8 3 8 3 具有理想继电型非线性元件的非线性控制系统如图 8 4 a 所示 试确定系 统自振荡的幅值和频率 第八章 非线性控制系统 66 12 0 11 0 15 sss 2 2 0 x y x y r c 图 8 4 a 非线性控制系统结构 图 解 解 1 在复平面上分别绘制曲线和曲线 1XN jG 绘制曲线 由理想继电型非线性特性可知 1XN X M XN 4 由图 8 4 a 的系统结构图知 则得负倒数描述函数 2 M 84 1X M X XN 当从变化时 曲线起始于坐标原点 并随X 0 0 1XN 1XN 0 0 着幅值的增大沿着复平面的复实轴向左移动 终止于 如图 8 4 b 所示 X 绘制曲线 jG 由于与实轴相交 jG 0 0004 0 05 0 1 02 0 1 15 42 2 jImG 解得 代入求得 50 jReG 1 0004 0 05 0 1 5 4 50 4250 jReG 图 8 4 b 与 则曲线示于图 8 4 b jG 1XN jG 2 确定系统自振荡的幅值和频率 由图 8 4 b 可见 点为曲线与负实轴的交点 亦是和 0 1 j jG 1XN 的交点 因穿出 故交点为自持振荡点 jG 1XN jG j 0 jG 1XN 1 自动控制理论学习指导 67 自振频率 自振振幅由下列方程解出 50 即 1 Re 1 50 jG XN 1 8 X 55 2 8 X 例例 8 4 8 4 非线性系统的及的轨迹如图 8 5 所示 该非线性系统相对 jG 1XN 负倒数描述函数曲线重合于实轴 为了清晰起见 画成了双线 其中交点 1XN 处的振幅为 交点处的振幅为 1 M76 0 1 X 2 M83 1 2 X 频率为 试确定系统是否存在自持振荡 若有自持200 振荡 求出系统自持振荡的幅值和频率 解 解 的轨迹与 1XN 曲线相交 则系统的输出 jG 有可能产生自持振荡 在交点处 曲线沿箭头 1 M 1XN 方向从稳定 图 8 5 非线性系统 区进入了不稳定区 点产生的自持振荡就是不稳定的 1 M 而在交点处 曲线沿箭头方向是由不稳定区进 2 M 1XN 入到了稳定区 故在该交点处产生的自持振荡是稳定的 即 点是自振荡点 所以系统自持振荡的幅值为 2 M83 1 2 X 频率为 200 四四 习题习题 8 1 如图 8 6 所示的非线性系统 非线性部分的描述函数为 M 1 线性 X M XN 4 2 M 1 M j 0 jG 1XN 第八章 非线性控制系统 68 部分的传递函数为 试用描述函数法讨论 2 15 0 4 ss jG 1 该系统是否存在稳定的自持振荡点 2 确定其自持振荡的幅值和频率 M M 0 y x rcxy jG 图 8 6 非线性控制系统 框图 8 2 非线性系统如图 8 7 所示 1 该系统是否存在稳定的自持振荡点