二元一次方程解法大全

二元一次方程解法大全 1 直接开平方法 直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法 用直接开平方法解形如 x m 2 n n 0 的方程 其解为 x 根号下 n m 例 1 解方程 1 3x 1 2 7 2 9x2 24x 16 11 分析 1 此方程显然用直接开平方法好做 2 方程左边是完全平方式 3x 4 2 右边 11 0 所以此方程也可用直接开平方法解 1 解 3x 1 2 7 3x 1 2 5 3x 1 注意不要丢解 x 原方程的解为 x1 x2 2 解 9x2 24x 16 11 3x 4 2 11 3x 4 x 原方程的解为 x1 x2 2 配方法 用配方法解方程 ax2 bx c 0 a 0 先将常数 c 移到方程右边 ax2 bx c 将二次项系数化为 1 x2 x 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方 x2 x 2 2 方程左边成为一个完全平方式 x 2 当 b 2 4ac 0 时 x x 这就是求根公式 例 2 用配方法解方程 3x 2 4x 2 0 注 X 2 是 X 的平方 解 将常数项移到方程右边 3x 2 4x 2 将二次项系数化为 1 x2 x 方程两边都加上一次项系数一半的平方 x2 x 2 2 配方 x 2 直接开平方得 x x 原方程的解为 x1 x2 3 公式法 把一元二次方程化成一般形式 然后计算判别式 b2 4ac 的值 当 b2 4ac 0 时 把各项系数 a b c 的值代入求根公式 x b b 2 4ac 1 2 2a b 2 4ac 0 就可得到方程的根 例 3 用公式法解方程 2x2 8x 5 解 将方程化为一般形式 2x2 8x 5 0 a 2 b 8 c 5 b 2 4ac 8 2 4 2 5 64 40 24 0 x b b 2 4ac 1 2 2a 原方程的解为 x1 x2 4 因式分解法 把方程变形为一边是零 把另一边的二次三项式分解成两个一次因式 的积的形式 让两个一次因式分别等于零 得到两个一元一次方程 解这两个一元一次方 程所得到的根 就是原方程的两个根 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 例 4 用因式分解法解下列方程 1 x 3 x 6 8 2 2x2 3x 0 3 6x2 5x 50 0 选学 4 x2 2 x 4 0 选学 1 解 x 3 x 6 8 化简整理得 x2 3x 10 0 方程左边为二次三项式 右边为零 x 5 x 2 0 方程左边分解因式 x 5 0 或 x 2 0 转化成两个一元一次方程 x1 5 x2 2 是原方程的解 2 解 2x2 3x 0 x 2x 3 0 用提公因式法将方程左边分解因式 x 0 或 2x 3 0 转化成两个一元一次方程 x1 0 x2 是原方程的解 注意 有些同学做这种题目时容易丢掉 x 0 这个解 应记住一元二次方程有两个解 3 解 6x2 5x 50 0 2x 5 3x 10 0 十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错 2x 5 0 或 3x 10 0 x1 x2 是原方程的解 4 解 x2 2 x 4 0 4 可分解为 2 2 此题可用因式分解法 x 2 x 2 0 x1 2 x2 2 是原方程的解 小结 一般解一元二次方程 最常用的方法还是因式分解法 在应用因式分解法时 一般要 先将方程写成一般形式 同时应使二次项系数化为正数 直接开平方法是最基本的方法 公式法和配方法是最重要的方法 公式法适用于任何一元二次方程 有人称之为万能 法 在使用公式法时 一定要把原方程化成一般形式 以便确定系数 而且在用公式前 应先计算判别式的值 以便判断方程是否有解 配方法是推导公式的工具 掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了 所 以一般不用配方法 解一元二次方程 但是 配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用 是初中要求掌 握的三种重要的数学方法之一 一定要掌握好 三种重要的数学方法 换元法 配方法 待定系数法 二元一次方程练习题 一 判断 1 是方程组的解 2 方程组的解是方程 3x 2y 13 的一个解 3 由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组 4 方程组 可以转化为 5 若 a2 1 x2 a 1 x 2a 3 y 0 是二元一次方程 则 a 的值为 1 6 若 x y 0 且 x 2 则 y 的值为 2 7 方程组有唯一的解 那么 m 的值为 m 5 8 方程组有无数多个解 9 x y 5 且 x y 的绝对值都小于 5 的整数解共有 5 组 10 方程组的解是方程 x 5y 3 的解 反过来方程 x 5y 3 的解也是方程组的 解 11 若 a 5 5 a b 1 则 12 在方程 4x 3y 7 里 如果用 x 的代数式表示 y 则 二 选择 13 任何一个二元一次方程都有 A 一个解 B 两个解 C 三个解 D 无数多个解 14 一个两位数 它的个位数字与十位数字之和为 6 那么符合条件的两位数的个数 有 A 5 个 B 6 个 C 7 个 D 8 个 15 如果的解都是正数 那么 a 的取值范围是 A a 2 B C D 16 关于 x y 的方程组的解是方程 3x 2y 34 的一组解 那么 m 的值是 A 2 B 1 C 1 D 2 17 在下列方程中 只有一个解的是 A B C D 18 与已知二元一次方程 5x y 2 组成的方程组有无数多个解的方程是 A 15x 3y 6 B 4x y 7 C 10 x 2y 4 D 20 x 4y 3 19 下列方程组中 是二元一次方程组的是 A B C D 20 已知方程组有无数多个解 则 a b 的值等于 A a 3 b 14 B a 3 b 7 C a 1 b 9 D a 3 b 14 21 若 5x 6y 0 且 xy 0 则的值等于 A B C 1 D 1 22 若 x y 均为非负数 则方程 6x 7y 的解的情况是 A 无解 B 有唯一一个解 C 有无数多个解 D 不能确定 23 若 3x y 5 2x 2y 2 0 则 2x2 3xy 的值是 A 14 B 4 C 12 D 12 24 已知与都是方程 y kx b 的解 则 k 与 b 的值为 A b 4 B b 4 C b 4 D b 4 三 填空 25 在方程 3x 4y 16 中 当 x 3 时 y 当 y 2 时 x 若 x y 都是正整数 那么这个方程的解为 26 方程 2x 3y 10 中 当 3x 6 0 时 y 27 如果 0 4x 0 5y 1 2 那么用含有 y 的代数式表示的代数式是 28 若是方程组的解 则 29 方程 a b 2 的自然数解是 30 如果 x 1 y 2 满足方程 那么 a 31 已知方程组有无数多解 则 a m 32 若方程 x 2y 3z 0 且当 x 1 时 y 2 则 z 33 若 4x 3y 5 0 则 3 8y x 5 x 6y 2 的值等于 34 若 x y a x y 1 同时成立 且 x y 都是正整数 则 a 的值为 35 从方程组中可以知道 x z y z 36 已知 a 3b 2a b 15 1 则代数式 a2 4ab b2 3 的值为 四 解方程组 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 五 解答题 47 甲 乙两人在解方程组时 甲看错了 式中的 x 的系数 解得 乙看错了方程 中的 y 的系数 解得 若两人的计算都准确无误 请写出这个方程组 并求出此方程组的 解 48 使 x 4y a 成立的 x y 的值 满足 2x y 1 2 3y x 0 又 a a 0 求 a 的值 49 代数式 ax2 bx c 中 当 x 1 时的值是 0 在 x 2 时的值是 3 在 x 3 时的值是 28 试求出这个代数式 50 要使下列三个方程组成的方程组有解 求常数 a 的值 2x 3y 6 6a 3x 7y 6 15a 4x 4y 9a 9 51 当 a b 满足什么条件时 方程 2b2 18 x 3 与方程组都无解 52 a b c 取什么数值时 x3 ax2 bx c 程 x 1 x 2 x 3 恒等 53 m 取什么整数值时 方程组的解 1 是正数 2 是正整数 并求它的所有正整数解 54 试求方程组的解 六 列方程 组 解应用题 55 汽车从甲地到乙地 若每小时行驶 45 千米 就要延误 30 分钟到达 若每小时行 驶 50 千米 那就可以提前 30 分钟到达 求甲 乙两地之间的距离及原计划行驶的时间 56 某班学生到农村劳动 一名男生因病不能参加 另有三名男生体质较弱 教师安 排他们与女生一起抬土 两人抬一筐土 其余男生全部挑土 一根扁担 两只筐 这样 安排劳动时恰需筐 68 个 扁担 40 根 问这个班的男女生各有多少人 57 甲 乙两人练习赛跑 如果甲让乙先跑 10 米 那么甲跑 5 秒钟就可以追上乙 如 果甲让乙先跑 2 秒钟 那么甲跑 4 秒钟就能追上乙 求两人每秒钟各跑多少米 58 甲桶装水 49 升 乙桶装水 56 升 如果把乙桶的水倒入甲桶 甲桶装满后 乙桶 剩下的水 恰好是乙桶容量的一半 若把甲桶的水倒入乙桶 待乙桶装满后则甲桶剩下的 水恰好是甲桶容量的 求这两个水桶的容量 59 甲 乙两人在 A 地 丙在 B 地 他们三人同时出发 甲与乙同向而行 丙与甲 乙相向而行 甲每分钟走 100 米 乙每分钟走 110 米 丙每分钟走 125 米 若丙遇到乙后 10 分钟又遇到甲 求 A B 两地之间的距离 60 有两个比 50 大的两位数 它们的差是 10 大数的 10 倍与小数的 5 倍的和的是 11 的倍数 且也是一个两位数 求原来的这两个两位数 参考答案 一 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二 13 D 14 B 15 C 16 A 17 C 18 A 19 C 20 A 21 A 22 B 23 B 24 A 三 25 8 26 2 27 28 a 3 b 1 29 30 31 3 432 1 33 20 34 a 为大于或等于 3 的奇数 35 4 3 7 936 0 四 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 五 47 48 a 149 11x2 30 x 19 50 51 b 352 a 6 b 11 c 6 53 1 m 是大于 4 的整数 2 m 3 2 0 54 或 六 55 A B 距离为 450 千米 原计划行驶 9 5 小时 56 设女生 x 人 男生 y 人 57 设甲速 x 米 秒 乙速 y 米 秒 58 甲的容量为 63 升 乙水桶的容量为 84 升 59 A B 两地之间的距离为 52875 米 60 所求的两位数为 52 和 62 二元一次方程组练习题二元一次方程组练习题 100100 道 卷二 道 卷二 一 选择题 1 下列方程中 是二元一次方程的是 A 3x 2y 4zB 6xy 9 0C 4y 6D 4x 2 下列方程组中 是二元一次方程组的是 A 3 二元一次方程 5a 11b 21 A 有且只有一解 B 有无数解 C 无解 D 有且只有两解 4 方程 y 1 x 与 3x 2y 5 的公共解是 A 5 若 x 2 3y 2 2 0 则的值是 A 1B 2C 3D 6 方程组的解与 x 与 y 的值相等 则 k 等于 7 下列各式 属于二元一次方程的个数有 xy 2x y 7 4x 1 x y y 5 x y x2 y2 2 6x 2y x y z 1 y y 1 2y2 y2 x A 1B 2C 3D 4 8 某年级学生共有 246 人 其中男生人数 y 比女生人数 x 的 2 倍少 2 人 则下面所 列的方程组中符合题意的有 A 二 填空题 9 已知方程 2x 3y 4 0 用含 x 的代数式表示 y 为 y 用含 y 的代数式表 示 x 为 x 10 在二元一次方程 x 3y 2 中 当 x 4 时 y 当 y 1 时 x 11 若 x3m 3 2yn 1 5 是二元一次方程 则 m n 12 已知是方程 x ky 1 的解 那么 k 13 已知 x 1 2y 1 2 0 且 2x ky 4 则 k 14 二元一次方程 x y 5 的正整数解有 15 以为解的一个二元一次方程是 16 已知的解 则 m n 三 解答题 17 当 y 3 时 二元一次方程 3x 5y 3 和 3y 2ax a 2 关于 x y 的方程 有 相同的解 求 a 的值 18 如果 a 2 x b 1 y 13 是关于 x y 的二元一次方程 则 a b 满足什么条 件 19 二元一次方程组的解 x y 的值相等 求 k 20 已知 x y 是有理数 且 x 1 2 2y 1 2 0 则 x y 的值是多少 21 已知方程 x 3y 5 请你写出一个二元一次方程 使它与已知方程所组成的方程 组的解为 22 根据题意列出方程组 1 明明到邮局买 0 8 元与 2 元的邮票共 13 枚 共花去 20 元钱 问明明两种邮票 各买了多少枚 2 将若干只鸡放入若干笼中 若每个笼中放 4 只 则有一鸡无笼可放 若每个笼 里放 5 只 则有一笼无鸡可放 问有多少只鸡 多少个笼 23 方程组的解是否满足 2x y 8 满足 2x y 8 的一对 x y 的值是否是方程组的解 24 开放题 是否存在整数 m 使关于 x 的方程 2x 9 2 m 2 x 在整数范围内 有解 你能找到几个 m 的值 你能求出相应的 x 的解吗 答案 一 选择题 1 D 解析 掌握判断二元一次方程的三个必需条件 含有两个未知数 含有未知 数的项的次数是 1 等式两边都是整式 2 A 解析 二元一次方程组的三个必需条件 含有两个未知数 每个含未知数的 项次数为 1 每个方程都是整式方程 3 B 解析 不加限制条件时 一个二元一次方程有无数个解 4 C 解析 用排除法 逐个代入验证 5 C 解析 利用非负数的性质 6 B 7 C 解析 根据二元一次方程的定义来判定 含有两个未知数且未知数的次数不超 过 1 次的整式方程叫二元一次方程 注意 整理后是二元一次方程 8 B 二 填空题 9 10 10 11 2 解析 令 3m 3 1 n 1 1 m n 2 12 1 解析 把代入方程 x ky 1 中 得 2 3k 1 k 1 13 4 解析 由已知得 x 1 0 2y 1 0 x 1 y 把代入方程 2x ky 4 中 2 k 4 k 1 14 解 解析 x y 5 y 5 x 又 x y 均为正整数 x 为小于 5 的正整数 当 x 1 时 y 4 当 x 2 时 y 3 当 x 3 y 2 当 x 4 时 y 1 x y 5 的正整数解为 15 x y 12 解析 以 x 与 y 的数量关系组建方程 如 2x y 17 2x y 3 等 此题答案不唯一 16 14 解析 将中进行求解 三 解答题 17 解 y 3 时 3x 5y 3 3x 5 3 3 x 4 方程 3x 5y 3 和 3x 2ax a 2 有相同的解 3 3 2a 4 a 2 a 18 解 a 2 x b 1 y 13 是关于 x y 的二元一次方程 a 2 0 b 1 0 a 2 b 1 解析 此题中 若要满足含有两个未知数 需使未知数的系数不为 0 若系数为 0 则该项就是 0 19 解 由题意可知 x y 4x 3y 7 可化为 4x 3x 7 x 1 y 1 将 x 1 y 1 代入 kx k 1 y 3 中得 k k 1 3 k 2 解析 由两个未知数的特殊关系 可将一个未知数用含另一个未知数的代数式 代替 化 二元 为 一元 从而求得两未知数的值 20 解 由 x 1 2 2y 1 2 0 可得 x 1 0 且 2y 1 0 x 1 y 当 x 1 y 时 x y 1 当 x 1 y 时 x y 1 解析 任何有理数的平方都是非负数 且题中两非负数之和为 0 则这两非负数 x 1 2 与 2y 1 2 都等于 0 从而得到 x 1 0 2y 1 0 21 解 经验算是方程 x 3y 5 的解 再写一个方程 如 x y 3 22 1 解 设 0 8 元的邮票买了 x 枚 2 元的邮票买了 y 枚 根据题意得 2 解 设有 x 只鸡 y 个笼 根据题意得 23 解 满足 不一定 解析 的解既是方程 x y 25 的解 也满足 2x y 8 方程组的解一定满足其中的任一个方程 但方程 2x y 8 的解有无数组 如 x 10 y 12 不满足方程组 24 解 存在 四组 原方程可变形为 mx 7 当 m 1 时 x 7 m 1 时 x 7 m 7 时 x 1 m 7 时 x 1 二元一次方程应用题 题型一 配套问题题型一 配套问题 1 某服装厂生产一批某种款式的秋装 已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或 衣袖 5 只 现计划用 132 米这种布料生产这批秋装 不考虑布料的损耗 应分别用多少布料 才能使做的衣身和衣袖恰好配套 题型二 年龄问题题型二 年龄问题 2 甲对乙说 当我的岁数是你现在的岁数时 你才 4 岁 乙对甲说 当我的岁 数是你现在的岁数时 你将 61 岁 请你算一算 甲 乙现在各多少岁 题型三 百分比问题题型三 百分比问题 3 有甲乙两种铜和银的合金 甲种合金含银 25 乙种合金含银 37 5 现在要熔制 含银 30 的合金 100 千克 甲 乙两种合金各应取多少 题型四 数字问题题型四 数字问题 4 有一个两位数 个位上的数字比十位上的数字大 5 如果把这两个数字的位置对换 那么所得的新数与原数的和是 143 求这个两位数 题型五 古算术问题题型五 古算术问题 5 巍巍古寺在山林 不知寺内几多僧 364 只碗 看看用尽不差争 三人共食一碗饭 四人共吃一碗羹 请问先生明算者 算来寺内几多僧 诗句的意思是 寺内有三百六十四 只碗 如果三个和尚共吃一碗饭 四个和尚共吃一碗羹 刚好够用 寺内共有和尚多少个 题型六 行程问题题型六 行程问题 6 甲乙两地相距 160 千米