1994考研数二真题及解析

BornBorn toto winwin 19941994 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 若在上连续 则 2 sin21 0 0 ax xe x f x x ax a 2 设函数由参数方程所确定 则 yy x 32 ln 1 xtt ytt 2 2 d y dx 3 cos3 0 x d f t dt dx 4 2 3x x e dx 5 微分方程的通解为 2 4 0ydxxx dy 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有一项只有一项 符合题目要求符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内 1 设 则 2 2 0 ln 1 lim2 x xaxbx x A B 5 1 2 ab 0 2ab C D 5 0 2 ab 1 2ab 2 设 则在点处的 3 2 2 1 3 1 xx f x xx f x1x A 左 右导数都存在 B 左导数存在 但右导数不存在 C 左导数不存在 但右导数存在 D 左 右导数都不存在 3 设是满足微分方程的解 且 则在 yf x sin 0 x yye 0 0fx f x A 的某个领域内单调增加 B 的某个领域内单调减少 0 x 0 x C 处取得极小值 D 处取得极大值 0 x 0 x 4 曲线的渐近线有 2 1 2 1 arctan 1 2 x xx ye xx A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 BornBorn toto winwin 5 设 则 434 22 2 22 sin cos sincos 1 x Mxdx Nxx dx x 234 2 2 sincos Pxxx dx 有 A B NPM MPN C D NMP PMN 三 三 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 满分满分 2525 分分 1 设 其中具有二阶导数 且其一阶导数不等于 1 求 yf xy f 2 2 d y dx 2 计算 3 1 4 2 0 1 xxdx 3 计算 2 limtan 4 n n n 4 计算 sin22sin dx xx 5 如图 设曲线方程为 梯形的面积为 曲边梯形的面积为 2 1 2 yx OABCDOABC 点的坐标为 证明 1 DA 0 a0a 1 3 2 D D 四 四 本题满分本题满分 9 9 分分 设当时 方程有且仅有一个解 求的取值范围 0 x 2 1 1kx x k 五 五 本题满分本题满分 9 9 分分 设 3 2 4x y x 1 求函数的增减区间及极值 2 求函数图像的凹凸区间及拐点 3 求其渐近线 4 作出其图形 xO A B C y 2 1 2 yx BornBorn toto winwin 六 六 本题满分本题满分 9 9 分分 求微分方程的通解 其中常数 2 sinya yx 0a 七 七 本题满分本题满分 9 9 分分 设在上连续且递减 证明 当时 f x 0 1 01 1 00 f x dxf x dx 八 八 本题满分本题满分 9 9 分分 求曲线与轴围成的封闭图形绕直线旋转所得的旋转体体积 2 3 1 yx x3y BornBorn toto winwin 19941994 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 1 答案 2 解析 在时是初等函数 因而连续 要使在上 2 sin21 ax xe x 0 x f x 连续 在处也连续 这样必有 f x0 x 0 lim 0 x f xf 由极限的四则混合运算法则和等价无穷小 时 0 x sin xx 1x ex 22 00 sin21sin21 limlim axax xx xexe xxx 00 22 limlim22 xx xax aa xx 从而有 2a 2 答案 1 65 tt t 解析 dydy dtdydx dtdtdxdt dx 2 2 32 352 1 1 1 t t ytt tt x t 65 1 65 1 1 1 xt xx t yttt y xt t 相关知识点 复合函数求导法则 如果在点可导 而在点 ug x x yf x 可导 则复合函数在点可导 且其导数为 ug x yf g x x 或 dy f ug x dx dydy du dxdu dx 3 答案 3sin3 cos3 xfx 解析 原式 cos3 cos3 cos3 sin3 33sin3 cos3 fxxfxxxfx 相关知识点 对积分上限的函数的求导公式 若 均一阶可导 则 t t F tf x dx t t F ttfttft 4 答案 其中为任意常数 2 2 1 1 2 x xeC C BornBorn toto winwin 解析 本题利用不定积分的分部积分法求解 显然是先进入积分号 2 x e 原式 222 222 11 22 xxx x d ex ee d x 其中为任意常数 2 2 1 1 2 x xeC C 注 分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题 如果选择不当可能引起更繁杂的计 算 最后甚至算不出结果来 在做题的时候应该好好总结 积累经验 相关知识点 分部积分公式 假定与均具有连续的导函数 则 uu x vv x 或者 uv dxuvu vdx udvuvvdu 5 答案 为任意常数 4 4 xyCx C 解析 这是可分离变量的方程 分离变量得 两项分别对和对积分得到 0 4 dxdy x xy xy 1 14 lnln 4 x yC x 化简有 即 为任意常数 4 4x yC x 4 4 xyCx C 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 1 答案 A 解析 方法方法 1 1 将极限中的分子用泰勒 皮亚诺公式展开得 2 222 ln 1 2 x xaxbxxo xaxbx 22 1 1 2 a xb xo x 由假设 应该有 故由此 故应选 A 10 1 2 2 a b 5 1 2 ab 方法方法 2 2 用洛必达法则 为 型的极限未定式 又分子分母在 2 2 0 ln 1 lim x xaxbx x 0 0 点处导数都存在 所以 0 BornBorn toto winwin 0 1 2 1 lim 2 x abx x x 原式左边 若 则原式极限为 必有 2 0 1 2 2 lim 2 1 x aab xbx xx 10a 10a 12 2 2 b 5 1 2 ab 故应选 A 2 答案 B 解析 方法方法 1 1 因左可导 3 2 1 3 f xxxf x 3 1 2 1 2 3 x fx 又不右连续在的右导数不存在 2 11 lim lim1 1 xx f xxff x f x 1x 故选 B 方法方法 2 2 而 2 1 3 f 2 11 lim lim1 1 xx f xxf 所以 在点不连续 故不可导 但左 右导数可能存在 这只需要用左 右导数定义 f x1x 进行验证 2 11 3 11 2 1 3 1 limlim 11 22 1 33 1 limlim2 11 xx xx x f xf f xx x f xf f xx 故在点左导数存在 但右导数不存在 故应选 B f x1x 3 答案 C 解析 由于满足微分方程 当时 有 f x sin 0 x yye 0 xx 0 sin 00 x fxfxe 又由 有 因而点是的极小值点 应选 C 0 0fx 0 sin 0 0 x fxe 0 x f x 4 答案 B 解析 用换元法求极限 令 则当时 且有 1 t x x 0t 2 2 0 1 limlimarctan 1 12 4 t xt tt ye tt 0 lim x y BornBorn toto winwin 所以轴和是曲线的两条渐近线 y 4 y 而和并非曲线的渐近线 因当和时 分别趋向于和1x 2x 1x 2x y 2 e 故应选 B 14 2 e 相关知识点 渐近线的相关知识 水平渐近线 若有 则为水平渐近线 lim x f xa ya 铅直渐近线 若有 则为铅直渐近线 lim xa f x xa 斜渐近线 若有存在且不为 则为斜渐 lim lim xx f x abf xax x yaxb 近线 5 答案 D 解析 对于关于原点对称的区间上的积分 应该关注被积函数的奇偶性 由对称区间上奇偶函数积分的性质 被积函数是奇函数 积分区间关于原点对称 则积分 为 0 故 且0M 由定积分的性质 如果在区间上 被积函数 则 a b 0f x 0 b a f x dxab 所以 4 2 0 2cos0Nxdx 4 2 0 2cos0PxdxN 因而 应选 D PMN 三 三 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 满分满分 2525 分分 1 解析 方程两边对求导 得 两边再求导 得x 1 yfy 2 1 yfyfy 由于一阶导数不等于 1 所以 10 f 以代入并解出 得 1 f y f y 3 1 f y f 相关知识点 复合函数求导法则 如果在点可导 而在点可导 则复合函数 ug x x yf x ug x 在点可导 且其导数为 yf g x x 或 dy f ug x dx dydy du dxdu dx BornBorn toto winwin 2 解析 用换元积分法 观察被积函数的特点 可考虑引入三角函数化简 令 则 当时 当时 故 2 sinxt 2cosxdxtdt 0 x 0t 1x 2 t 原式 4 2 0 1 cos 2 tdt 13 13 24 2 232 相关知识点 定积分关于单三角函数的积分公式 22 00 1 2 sincos 1 nn n n n n Ixdxxdx n n n 为偶数 为奇数 注 对于双阶乘的定义如下 当为奇数时 当为偶数时 nn 1 3nn n 2 4nn 3 解析 方法方法 1 1 用三角函数公式将展开 再化为重要极限 2 tan 4n 的形式 利用等价无穷小因子替换 即时 从而求出极限 1 lim 1 x x e x 0 x tan xx 22 1tan2tan 2 limtan limlim 1 22 4 1tan1tan nn n nnn nn n nn 22 1 tan4tan 1 2 4tan 222 1 2tan1 tan lim 22 1 tan 4 2 2tan lim 1 2 1tan n nn n nnn nn n n ee n 方法方法 2 2 先取自然对数 求出极限后再用恒等式 lim ln lim x f x x ef x 因为 22 1tan2tan 2 limlntan lim lnlim ln 1 22 4 1tan1tan n nnn nn nn n nn 22 2tantan 4 limlim4 222 1tan1tan nn nn n nnn 于是 2 lntan 4 4 2 limtan lim 4 n n n nn ee n 4 解析 方法方法 1 1 利用三角函数的二倍角公式 并利用换元积分 sin22sincos 结合拆项法求积分 得 BornBorn toto winwin sin22sin2sin cos1 dxdx xxxx 22 sin11 cos 2sin cos1 2 1 1 xdx xudu xxuu 22 sin1 cosxx 22 1 1 1 1112 4 1 1 811 1 uu dudu uuuuu 12 ln 1 ln 1 8 1 uuC u 12 ln 1 cosln 1 cos 81 cos xxC x 其中为任意常数 C 方法方法 2 2 换元后 有cosxu 原式 22 sin1 2sin cos1 2sin cos1 2 1 1 dxxdxdu xxxxuu 用待定系数法将被积函数分解 22 1 1 1 11 1 ABD uuuuu 2 2 2 1 1 AB uAD uABD uu 0 11 20 42 1 AB ADABD ABD 于是 2 111212 ln 1ln 1 811 1 81 duuuC uuuu 原式 12 ln 1 cosln 1 cos 81 cos xxC x 5 解析 对梯形的面积为 可用梯形面积公式 其中为梯形的高 OABCD 2 h ab h 分别为上底和下底长度 对于曲边梯形的面积则用积分式求解 abOABC BornBorn toto winwin 2 2 2 23 1 0 11 1 22 22 111 32 2326 a a aa Da aa Dx dxaa 由于 所以 由此 22 3 1 2 aa 2 2 1 1 3 2 a a 2 22 22 2 1 1 3 1 3 13 2 3 32 3222 2 6 aa Daa aaDa a 四 四 本题满分本题满分 9 9 分分 解析 方程的解即为的零点 2 1 1kx x 32 1xkxx 要证明方程有且仅有一个解 只需要证明是单调函数 且它的函数图 2 1 1kx x x 像仅穿过轴一次就可以了 以下是证明过程 x 对求一阶导数 有 x 2 32 32 xkxxxkx 当时 单调减少 在有0k 0 x x 0 10 lim x x x 0 x 唯一的零点 当时 在单调减少 在单调增加 而0k x 2 0 3k 2 3k 2 24 1 327kk 当且仅当最小值时 才在有唯一零点 0 10 lim x x 2 0 3k x 0 x 这时应该有 2 3 9 k 总之 当或时 原方程有唯一实根 0k 2 3 9 k 五 五 本题满分本题满分 9 9 分分 解析 求函数的增减区间一般先求出函数的不连续点和驻点 根据这些点将函数的定义域 分成不同区间 然后根据在此区间上的正负来判断该区间上函数的增减性以及极值点 y 根据的正负判定区间的凹凸性 求渐近线时除判定是否存在水平或垂直渐近线外 还要 y 注意有没有斜渐近线 作函数图形时要能综合 1 2 3 所给出的函数属性 尤其注意渐 近线 拐点 极值点和零点 234 4824 1 0yxyy xxx BornBorn toto winwin 无定义点 驻点 0 x 2x 0 0 0 2 2 2 y 无定义 0 y 无定义 y 上升无定义下降极小上升 函数在单调增加 在单调减少 在凹 在取 0 2 0 2 0 0 2x 极小值 2 3 x y 由于 所以为垂直渐近线 0 lim x y 0 x 由于 所以是斜渐近线 2 4 lim1 lim lim0 xxx y yx xx yx 粗略草图如下 相关知识点 渐近线的相关知识 水平渐近线 若有 则为水平渐近线 lim x f xa ya 铅直渐近线 若有 则为铅直渐近线 lim xa f x xa 斜渐近线 若有存在且不为 则为斜渐 lim lim xx f x abf xax x yaxb 近线 六 六 本题满分本题满分 9 9 分分 解析 所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程 对应的齐次方程的特征方程 有两个根为 22 0ra 12 r rai 当时 非齐次方程的特解应设为 1a sincosYAxBx 代入方程可以确定 22 1sin 0 11 x ABY aa 当时 应设 1a sincosYxAxxBx 3 x y O2 yx BornBorn toto winwin 代入方程可以确定 1 0 cos 22 x ABYx 由此 所求的通解为 当时 1a 12 2 sin cossin 1 x ycaxcax a 当时 1a 12 cossincos 2 x ycxcxx 相关知识点 1 二阶线性非齐次方程解的结构 设是二阶线性非齐次方程 yx 的一个特解 是与之对应的齐次方程 yP x yQ x yf x Y x 的通解 则是非齐次方程的通解 0yP x yQ x y yY xyx 2 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法 对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解 可用特征方程法求解 即中的 均是常数 方 Y x 0yP x yQ x y P x Q x 程变为 其特征方程写为 在复数域内解出两个特征根0ypyqy 2 0rprq 12 r r 分三种情况 1 两个不相等的实数根 则通解为 12 r r 12 12 rxr x yC eC e 2 两个相等的实数根 则通解为 12 rr 1 12 rx yCC x e 3 一对共轭复根 则通解为其中 1 2 ri 12 cossin x yeCxCx 为常数 12 C C 3 对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解 可用待定 yP x yQ x yf x yx 系数法 有结论如下 如果则二阶常系数线性非齐次方程具有形如 x m f xP x e kx m yxx Qx e 的特解 其中是与相同次数的多项式 而按不是特征方程的根 是特征方 m Qx m P xk 程的单根或是特征方程的重根依次取 0 1 或 2 如果 则二阶常系数非齐次线性微分方程 cos sin x ln f xeP xxP xx 的特解可设为 yp x yq x yf x 1 2 cos sin kx