高考一轮数列复习教案

1 数数 列列 第一节数列的概念与简单表示法第一节数列的概念与简单表示法 基础知识梳理 基础知识梳理 1 数列的定义 分类与通项公式数列的定义 分类与通项公式 1 数列的定义 数列的定义 数列 按照数列 按照 排列的一列数 排列的一列数 数列的项 数列中的数列的项 数列中的 2 数列的分类 数列的分类 分类标准分类标准类型类型满足条件满足条件 有穷数列有穷数列项数项数 项数项数 无穷数列无穷数列项数项数 递增数列递增数列an 1 an 递减数列递减数列an 1 an项与项间的大小关系项与项间的大小关系 常数列常数列an 1 an 其中其中 n N 3 数列的通项公式 如果数列数列的通项公式 如果数列 an 的第的第 n 项与项与 之间的关系可以用一个式子之间的关系可以用一个式子 来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 2 数列的递推公式 数列的递推公式 如果已知数列如果已知数列 an 的首项的首项 或前几项或前几项 且 且任一项任一项 an与它的与它的 前一项前一项 an 1 n 2 或前几项或前几项 间的关系可用一个公式来表示 那么这个公式叫数间的关系可用一个公式来表示 那么这个公式叫数 列的递推公式 列的递推公式 1 数列是按一定 数列是按一定 次序次序 排列的一列数 一个数列不仅与构成它的排列的一列数 一个数列不仅与构成它的 数数 有关 有关 而且还与这些而且还与这些 数数 的排列顺序有关 的排列顺序有关 2 易混项与项数两个不同的概念 数列的项是指数列中某一确定的数 而项数 易混项与项数两个不同的概念 数列的项是指数列中某一确定的数 而项数 是指数列的项对应的位置序号 是指数列的项对应的位置序号 试一试试一试 1 已知数列 已知数列 an 的前的前 4 项为项为 1 3 7 15 写出数列 写出数列 an 的一个通项公式为的一个通项公式为 2 已知数列 已知数列 an 的通项公式是的通项公式是 an Error Error 则则a4 a3 2 1 1 辨明数列与函数的关系 辨明数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数 即数列是一个定义在非零数列是一种特殊的函数 即数列是一个定义在非零 自然数集或其子集上的函数 当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数自然数集或其子集上的函数 当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数 值 就是数列 值 就是数列 2 2 明确 明确a an n与与S Sn n的关系 的关系 an Error Error 练一练练一练 1 若数列若数列 an 的前的前 n 项和项和 S n2 10n n 1 2 3 则此数列的通项公式为则此数列的通项公式为 an 2 已知数列 已知数列 an 的通项公式为的通项公式为 an pn 且 且 a2 a4 则 则 a8 q n 3 2 3 2 考点一考点一 由数列的前几项求数列的通项公式由数列的前几项求数列的通项公式 1 下列公式可作为数列下列公式可作为数列 an 1 2 1 2 1 2 的通项公式的是的通项公式的是 A an 1 B an C an 2 D an 1 n 1 2 sin n 2 1 n 1 3 2 2 根据数列的前几项 写出各数列的一个通项公式 根据数列的前几项 写出各数列的一个通项公式 1 4 6 8 10 2 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 3 a b a b a b 其中其中 a b 为实数为实数 4 9 99 999 9 999 类题通法类题通法 用观察法求数列的通项公式的技巧用观察法求数列的通项公式的技巧 1 根据数列的前几项求它的一个通项公式 要注意观察每一项的特点 观察出根据数列的前几项求它的一个通项公式 要注意观察每一项的特点 观察出 项与项与 n 之间的关系 规律 可使用添项 通分 分割等办法 转化为一些常见之间的关系 规律 可使用添项 通分 分割等办法 转化为一些常见 数列的通项公式来求 对于正负符号变化 可用数列的通项公式来求 对于正负符号变化 可用 1 n或或 1 n 1来调整 来调整 2 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法 它蕴含着根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法 它蕴含着 从从 特殊到一般特殊到一般 的思想 的思想 考点二考点二 由由 an与与 Sn的关系求通项的关系求通项 an 典例典例 已知下面数列已知下面数列 an 的前的前 n 项和项和 Sn 求 求 an 的通项公式 的通项公式 1 Sn 2n2 3n 2 Sn 3n b 3 类题通法类题通法 已知数列已知数列 an 的前的前 n 项和项和 Sn 求数列的通项公式 其求解过程分为三步 求数列的通项公式 其求解过程分为三步 1 先利用先利用 a1 S1求出求出 a1 2 用用 n 1 替换替换 Sn中的中的 n 得到一个新的关系 利用得到一个新的关系 利用 an Sn Sn 1 n 2 便可求便可求 出当出当 n 2 时时 an的表达式 的表达式 3 对对 n 1 时的结果进行检验 看是否符合时的结果进行检验 看是否符合 n 2 时时 an的表达式 如果符合 则的表达式 如果符合 则 可以把数列的通项公式合写 如果不符合 则应该分可以把数列的通项公式合写 如果不符合 则应该分 n 1 与与 n 2 两段来写 两段来写 针对训练针对训练 已知各项均为正数的数列已知各项均为正数的数列 an 的前的前 n 项和满足项和满足 Sn 1 且 且 6Sn an 1 an 2 n N 求 求 an 的通项公式 的通项公式 考点三考点三 由递推关系式求数列的通项公式由递推关系式求数列的通项公式 角度一角度一 形如形如 an 1 anf n 求求 an 1 2012 大纲全国卷大纲全国卷 已知数列已知数列 an 中 中 a1 1 前 前 n 项和项和 Sn an n 2 3 1 求求 a2 a3 2 求求 an 的通项公式 的通项公式 角度二角度二 形如形如 an 1 an f n 求 求 an 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法 它们都可以确定数列中的任意一项 只递推公式和通项公式是数列的两种表示方法 它们都可以确定数列中的任意一项 只 是由递推公式确定数列中的项时 不如通项公式直接是由递推公式确定数列中的项时 不如通项公式直接 归纳起来常见的命题角度有 归纳起来常见的命题角度有 1 形如形如 an 1 anf n 求 求 an 2 形如形如 an 1 an f n 求 求 an 3 形如形如 an 1 Aan B A 0 且且 A 1 求 求 an 4 2 已知已知 a1 2 an 1 an 3n 2 求 求 an 角度三角度三 形如形如 an 1 Aan B A 0 且且 A 1 求 求 an 3 已知数列 已知数列 an 满足满足 a1 1 an 1 3an 2 求 求 an 类题通法类题通法 由数列的递推公式求通项公式时 若递推关系为由数列的递推公式求通项公式时 若递推关系为 an 1 an f n 或或 an 1 f n an 则可以分别通过累加 累乘法求得通项公式 另外 通过迭代 则可以分别通过累加 累乘法求得通项公式 另外 通过迭代 法也可以求得上面两类数列的通项公式 法也可以求得上面两类数列的通项公式 如角度二如角度二 注意 有的问题也可利 注意 有的问题也可利 用构造法 即通过对递推式的等价变形 用构造法 即通过对递推式的等价变形 如角度三如角度三 转化为特殊数列求通项 转化为特殊数列求通项 课堂练通考点课堂练通考点 1 数列 数列 1 的一个通项公式的一个通项公式 an是是 2 3 3 5 4 7 5 9 A B C D n 2n 1 n 2n 1 n 2n 3 n 2n 3 2 数列 数列 an 的前的前 n 项积为项积为 n2 那么当 那么当 n 2 时 时 an A 2n 1 B n2 C D n 1 2 n2 n2 n 1 2 3 已知数列 已知数列 an 满足满足 ast asat s t N 且 且 a2 2 则 则 a8 4 已知数列 已知数列 an 中 中 a1 1 an 1 1 n an 1 记 记 Sn为为 an 前前 n 项的和 项的和 则则 S2 013 5 已知数列 已知数列 an 的前的前 n 项和项和 Sn 2n2 2n 数列 数列 bn 的前的前 n 项和项和 Tn 2 bn 求数求数 列列 an 与与 bn 的通项公式 的通项公式 6 在数列 在数列 1 0 中 中 0 08 是它的第是它的第 项 项 1 9 1 8 n 2 n2 5 第二节等差数列及其前第二节等差数列及其前 n 项和项和 1 等差数列的有关概念等差数列的有关概念 1 定义 如果一个数列从定义 如果一个数列从 每一项与它的前一项的 每一项与它的前一项的差差都等于同一个都等于同一个 常数 那么这个数列就叫做等差数列 符号表示为常数 那么这个数列就叫做等差数列 符号表示为 n N d 为常为常 数数 2 等差中项 数列等差中项 数列 a A b 成等差数列的充要条件是成等差数列的充要条件是 A 其中 其中 a b 2 叫做叫做 a b 的的 2 等差数列的有关公式等差数列的有关公式 1 通项公式 通项公式 an 2 前前 n 项和公式 项和公式 Sn 1 要注意概念中的要注意概念中的 从第从第 2 项起项起 如果一个数列不是从第 如果一个数列不是从第 2 项起 而是从第项起 而是从第 3 项或第项或第 4 项起 每一项与它前一项的差是同一个常数 那么此数列不是等差数项起 每一项与它前一项的差是同一个常数 那么此数列不是等差数 列 列 2 注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别 注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别 试一试试一试 1 在等差数列 在等差数列 an 中 已知中 已知 a4 a8 16 则该数列前 则该数列前 11 项和项和 S11 A 58 B 88 C 143 D 176 2 已知 已知 an 是等差数列 是等差数列 a1 1 公差 公差 d 0 Sn为其前为其前 n 项和 若项和 若 a1 a2 a5 成等比数列 则成等比数列 则 S8 1 等差数列的四种判断方法等差数列的四种判断方法 1 定义法 定义法 an 1 an d d 是常数是常数 an 是等差数列 是等差数列 2 等差中项法 等差中项法 2an 1 an an 2 n N an 是等差数列 是等差数列 3 通项公式 通项公式 an pn q p q 为常数为常数 an 是等差数列 是等差数列 4 前前 n 项和公式 项和公式 Sn An2 Bn A B 为常数为常数 an 是等差数列 是等差数列 2 巧用等差数列的常用性质巧用等差数列的常用性质 1 通项公式的推广 通项公式的推广 an am n m d n m N 6 2 若若 an 为等差数列 且为等差数列 且 k l m n k l m n N 则 则 ak al am an 3 若若 an 是等差数列 公差为是等差数列 公差为 d 则 则ak ak m ak 2m k m N 是公差是公差 为为 md 的等差数列 的等差数列 4 数列数列 Sm S2m Sm S3m S2m 也是等差数列也是等差数列 3 活 活用方程思想和化归思想用方程思想和化归思想 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为 a1和和 d 等基本量 通过建立方程等基本量 通过建立方程 组组 获获 得解 得解 练一练练一练 1 设 设 Sn为等差数列为等差数列 an 的前的前 n 项和 项和 S8 4a3 a7 2 则 则 a9 A 6 B 4 C 2 D 2 2 已知等差数列已知等差数列 an 的前的前 n 项和为项和为 Sn a4 15 S5 55 则数列 则数列 an 的公差是的公差是 A B 4 C 4 D 3 1 4 考点一考点一 等差数列的基本运算等差数列的基本运算 1 2013 全国卷全国卷 设等差数列设等差数列 an 的前的前 n 项和为项和为 Sn 若 若 Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 则 则 m A 3 B 4 C 5 D 6 2 已知已知 an 为等差数列 为等差数列 Sn为其前为其前 n 项和 若项和 若 a1 S2 a3 则 则 1 2 a2 Sn 3 已知等差数列 已知等差数列 an 中 中 a1 1 a3 3 1 求数列求数列 an 的通项公式 的通项公式 2 若数列若数列 an 的前的前 k 项和项和 Sk 35 求 求 k 的值 的值 类题通法类题通法 1 等差数列的通项公式及前 等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量项和公式共涉及五个量 a1 an d n Sn 知其中三个就能求另外两个 体现了用方程组解决问题的 知其中三个就能求另外两个 体现了用方程组解决问题的 思想 思想 2 数列的通项公式和前 数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换的作用 而项和公式在解题中起到变量代换的作用 而 a1和和 d 是等差数列的两个基本量 用它们表示已知和未知是常用方法 是等差数列的两个基本量 用它们表示已知和未知是常用方法 7 考点二考点二 等差数列的判断与证明等差数列的判断与证明 典例典例 已知数列已知数列 an 的前的前 n 项和为项和为 Sn 且满足 且满足 a1 an 2SnSn 1 n 2 且且 1 2 n N 1 求证 数列求证 数列是等差数列 是等差数列 2 求求 Sn和和 an 1 Sn 若将条件改为若将条件改为 a1 2 Sn n 2 如何求解 如何求解 Sn 1 2Sn 1 1 类题通法类题通法 1 判断等差数列的解答题 判断等差数列的解答题 常用定义法和等差中项法 而通项公式法和前常用定义法和等差中项法 而通项公式法和前 n 项项 和公式法主要适用于选择题 填空题中的简单判断和公式法主要适用于选择题 填空题中的简单判断 2 用定义证明等差数列时 常采用两个式子 用定义证明等差数列时 常采用两个式子 an 1 an d 和和 an an 1 d 但 但 它们的意义不同 后者必须加上它们的意义不同 后者必须加上 n 2 否则 否则 n 1 时 时 a0无定义 无定义 针对训练针对训练 在数列在数列 an 中 中 a1 3 an 2an 1 2n 3 n 2 且 且 n N 1 求求 a2 a3的值 的值 2 设设 bn n N 证明 证明 bn 是等差数列 是等差数列 an 3 2n 考点三考点三 等差数列的性质及最值等差数列的性质及最值 典例典例 1 2014 武昌联考武昌联考 已知数列已知数列 an 是等差数列 是等差数列 a1 a3 a5 105 a2 a4 a6 99 an 的前的前 n 项和为项和为 Sn 则使得 则使得 Sn达到最大达到最大 的的 n 是是 A 18 B 19 C 20 D 21 8 2 设数列设数列 an bn 都是等差数列 若都是等差数列 若 a1 b1 7 a3 b3 21 则 则 a5 b5 类题通法类题通法 1 等差数列的性质等差数列的性质 1 项的性质 在等差数列项的性质 在等差数列 an 中 中 am an m n d d m n 其几 其几 am an m n 何意义是点何意义是点 n an m am 所在直线的斜率等于等差数列的公差 所在直线的斜率等于等差数列的公差 2 和的性质 在等差数列和的性质 在等差数列 an 中 中 Sn为其前为其前 n 项和 则项和 则 S2n n a1 a2n n an an 1 S2n 1 2n 1 an 2 求等差数列前求等差数列前 n 项和项和 Sn最值的两种方法最值的两种方法 1 函数法 利用等差数列前函数法 利用等差数列前 n 项和的函数表达式项和的函数表达式 Sn an2 bn 通过配方或借 通过配方或借 助图像求二次函数最值的方法求解 助图像求二次函数最值的方法求解 2 邻项变号法 邻项变号法 a1 0 d 0 时 满足时 满足Error Error 的项数的项数 m 使得使得 Sn取得最大值为取得最大值为 Sm 当当 a10 时 满足时 满足Error Error 的项数的项数 m 使得使得 Sn取得最小值为取得最小值为 Sm 针对训练针对训练 1 设数列 设数列 an 是公差是公差 d0 的的 最小正整数最小正整数 n 的值是的值是 A 8 B 9 C 10 D 11 3 已知数列 已知数列 an 为等差数列 为等差数列 Sn为其前为其前 n 项和 项和 a7 a5 4 a11 21 Sk 9 则则 k 4 已知一等差数列的前四项和为 已知一等差数列的前四项和为 124 后四项和为 后四项和为 156 各项和为 各项和为 210 则此 则此 9 等差数列的项数是等差数列的项数是 5 各项均为正数的数列 各项均为正数的数列 an 满足满足 a 4Sn 2an 1 n N 其中 其中 Sn为为 an 的前的前 2 n n 项和 项和 1 求求 a1 a2的值 的值 2 求数列求数列 an 的通项公式 的通项公式 第三节第三节 等比数列及其前等比数列及其前 n 项和项和 1 等比数列的有关概念等比数列的有关概念 1 定义 如果一个数列从第定义 如果一个数列从第 项起 每一项与它的前一项的比等项起 每一项与它的前一项的比等 于于 不为零不为零 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列 的的 通常用字母 通常用字母 q 表示 定义的表达式为表示 定义的表达式为 2 等比中项 如果等比中项 如果 a G b 成等比数列 那么成等比数列 那么 叫做叫做 a 与与 b 的等比中项 即 的等比中项 即 G 是是 a 与与 b 的等比中项的等比中项 a G b 成等比数列成等比数列 2 等比数列的有关公式等比数列的有关公式 1 通项公式 通项公式 an 2 前前 n 项和公式 项和公式 Sn Error Error 1 在等比数列中易忽视每项与公比都不为 在等比数列中易忽视每项与公比都不为 0 2 在运用等比数列的前 在运用等比数列的前 n 项和公式时 必须对项和公式时 必须对 q 1 与与 q 1 分类讨论 防止因分类讨论 防止因 忽略忽略 q 1 这一特殊情形导致解题失误 这一特殊情形导致解题失误 试一试试一试 1 2013 江西高考江西高考 等比数列等比数列 x 3x 3 6x 6 的第四项等于的第四项等于 A 24 B 0 C 12 D 24 2 若等比数列 若等比数列 an 满足满足 a2 a4 20 a3 a5 40 则公比 则公比 q 前前 n 项和项和 Sn 1 等比数列的三种判定方法等比数列的三种判定方法 10 1 定义 定义 q q 是不为零的常数 是不为零的常数 n N an 是等比数列 是等比数列 an 1 an 2 通项公式 通项公式 an cqn 1 c q 均是不为零的常数 均是不为零的常数 n N an 是等比数列 是等比数列 3 等比中项法 等比中项法 a an an 2 an an 1 an 2 0 n N an 是等比数列 是等比数列 2n 1 2 等比数列的常见性质等比数列的常见性质 1 若若 m n p q 2k m n p q k N 则 则am an ap aq a 2 k 2 若数列若数列 an bn 项数相同项数相同 是等比数列 则是等比数列 则 an a an bn 1 an 2 n 0 仍然是等比数列 仍然是等比数列 an bn 3 在等比数列在等比数列 an 中 等距离取出若干项也构成一个等比数列 即中 等距离取出若干项也构成一个等比数列 即 an an k an 2k an 3k 为等比数列 公比为为等比数列 公比为 qk 4 公比不为 公比不为 1 的等比数列的等比数列 an 的前的前 n 项和为项和为 Sn 则 则 Sn S2n Sn S3n S2n仍仍 成等比数列 其公比为成等比数列 其公比为 qn 当公比为 当公比为 1 时 时 Sn S2n Sn S3n S2n不一定构不一定构 成等比数列 成等比数列 3 求解等比数列的基本量常用的思想方法 求解等比数列的基本量常用的思想方法 1 方程的思想 等比数列的通项公式 前方程的思想 等比数列的通项公式 前 n 项和的公式中联系着五个量 项和的公式中联系着五个量 a1 q n an Sn 已知其中三个量 可以通过解方程 已知其中三个量 可以通过解方程 组组 求出另外两个量 其求出另外两个量 其 中基本量是中基本量是 a1与与 q 在解题中根据已知条件建立关于 在解题中根据已知条件建立关于 a1与与 q 的方程或者方程组 的方程或者方程组 是解题的关键 是解题的关键 2 分类讨论思想 在应用等比数列前分类讨论思想 在应用等比数列前 n 项和公式时 必须分类求和 当项和公式时 必须分类求和 当 q 1 时 时 Sn na1 当 当 q 1 时 时 Sn 在判断等比数列单调性时 也必须 在判断等比数列单调性时 也必须 a1 1 qn 1 q 对对 a1与与 q 分类讨论 分类讨论 练一练练一练 1 已知等比数列 已知等比数列 an 满足满足 a1 2 a3a5 4a 则 则 a3的值为的值为 2 6 A B 1 C 2 D 1 2 1 4 2 已知数列已知数列 an 是公比是公比 q 1 的等比数列 则在的等比数列 则在 an an 1 an 1 an nan 这四个数列中 是等比数列的有这四个数列中 是等比数列的有 an an 1 11 A 1 个个 B 2 个个 C 3 个个 D 4 个个 考点一考点一 等比数列的基本运算等比数列的基本运算 1 在等比数列在等比数列 an 中 中 a3 7 前 前 3 项之和项之和 S3 21 则公比 则公比 q 的值为的值为 A 1 B C 1 或 或 D 1 或或 1 2 1 2 1 2 2 设首项为设首项为 1 公比为 公比为 的等比数列的等比数列 an 的前的前 n 项和为项和为 Sn 则 则 2 3 A Sn 2an 1 B Sn 3an 2 C Sn 4 3an D Sn 3 2an 3 设等比数列 设等比数列 an 的公比的公比 q0 n N 且 且 a3 a2 8 又 又 a1 a5的等比中项为的等比中项为 16 1 求数列求数列 an 的通项公式 的通项公式 2 设设 bn log4an 数列 数列 bn 的前的前 n 项和为项和为 Sn 是否存在正整数 是否存在正整数 k 使得 使得 1 S1 1 S2 k 对任意对任意 n N 恒成立 若存在 求出正整数恒成立 若存在 求出正整数 k 的最小值 不存在 的最小值 不存在 1 S3 1 Sn 请说明理由 请说明理由 角度二角度二 形如形如 an 型型 1 n k n 2 已知函数已知函数 f x xa的图像过点的图像过点 4 2 令 令 an n N 记数列记数列 an 1 f n 1 f n 的前的前 n 项和为项和为 Sn 则 则 S2 013 A 1 B 1 C 1 D 1 2 0122 0132 0142 014 角度三角度三 形如形如 an 型型 n 1 n2 n 2 2 3 正项数列 正项数列 an 的前的前 n 项和项和 Sn满足 满足 S n2 n 1 Sn n2 n 0 2 n 1 求数列求数列 an 的通项公式的通项公式 an 2 令令 bn 数列