立体几何专题讲座

1 立体几何专题讲座立体几何专题讲座 丹阳市第五中学 朱国良 第一部分第一部分 高考中的立体几何高考中的立体几何 高考立体几何试题一般共有 4 道 选择 填空题 3 道 解答题 1 道 共计总分 26 分左右 考查的知识点在 20 个以内 选择填空题主要考查立几中的计算型问题 而 解答题则着重考查立几中的逻辑推理型问题 当然 二者均应以正确的空间想象为前 提 随着新的课程改革的进一步实施 立体几何考题正朝着 多一点思考 少一点计 算 的方向发展 一 考试内容 一 考试内容 平面及其基本性质 平行直线 对应边分别平行的角 异面直线所成的角 异面直线的公垂线 异面 直线的距离 直线和平面平行的判定与性质 直线和平面垂直的判定与性质 点到平面的距离 斜线在平面上的射影 直线和平面所成的角 三垂线定理及其逆定理 平行平面的判定与性质 平行平面间的距离 二面角及其平面角 两个平面垂直 的判定与性质 多面体 棱柱 棱锥 正多面体 球 其中 从历年的考题变化看 重点考查的内容是以多面体为载体的线线 线面 面 面的平行与垂直的判定与性质 三垂线定理及逆定理 线线 线面 面面所成的角及 有关的距离计算 二 考试要求二 考试要求 1 掌握平面的基本性质 能够画出空间两条直线 直线和平面的各种位置关系 的图形 能够根据图形想象它们的位置关系 2 了解空间两条直线的位置关系 掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质 定理 掌握两条直线所成的角和距离的概念 对于异面直线的距离 只要求会计算已 给出公垂线时的距离 3 了解空间直线和平面的位置关系 掌握直线和平面平行的判定定理和性质定 理 理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理 掌握斜线在平面上的射影 直线和 平面所成的角 直线和平面的距离的概念 了解三垂线定理及其逆定理 丹阳市 2005 年全员培训专 题讲座材料 2 4 了解平面与平面的位置关系 掌握两个平面平行的判定定理和性质定理 掌 握二面角 二面角的平面角 两个平面间的距离的概念 掌握两个平面垂直的判定定 理和性质定理 5 会用反证法证明简单的问题 6 了解多面体的概念 了解凸多面体的概念 7 了解棱柱的概念 掌握棱柱的性质 会画直棱柱的直观图 8 了解棱锥的概念 掌握正棱锥的性质 会画正棱锥的直观图 9 了解正多面体的概念 了解多面体的欧拉公式 10 了解球的概念 掌握球的性质 掌握球的表面积 体积公式 高考试题的特点是 试题以中等难度为主 兼有少量容易题 融线面关系与立体 图形之中 以线面关系的分析为主 融推理论证与几何量的计算之中 以推理论证为 主 试题在考查四个能力 空间想象能力 推理判断能力 逻辑表达能力及计算能 力的同时 非常重视对数学素质和基本的数学思想方法的考查 试题主要体现了立体 几何的通性通法 突出了化归思想 转化思想 以及反证法 模型法 等积变换等思 想和方法 考题主要分为两类 一类是空间线面关系的判断 推理 一类是几何量 如角度 距离 面积 体积等 的计算 前者应画图或识图 借助图形分析思考 应充分 熟练地运用相关的判定定理和性质定理 要能从文字语言 符号语言 图形 语言全方位准确理解 要广泛联想 合理转化 从整体上把握与处理 后者一般分三 个步骤 作图 证明 计算 尤其是证明必不可少 应引起学生高度重视 三 学习目标三 学习目标 1 在掌握直线与平面的位置关系 包括直线与直线 直线与平面 平面与平面间 的位置关系 的基础上 研究有关平行和垂直的的判定依据 定义 公理和定理 判定 方法及有关性质的应用 在有关问题的解决过程中 进一步了解和掌握相关公理 定 理的内容和功能 并探索立体几何中论证问题的规律 在有关问题的分析与解决的过 程中提高逻辑思维能力 空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用 2 在掌握空间角 两条异面直线所成的角 平面的斜线与平面所成的角及二面角 概念的基础上 掌握它们的求法 其基本方法是分别作出这些角 并将它们置于某个 三角形内通过计算求出它们的大小 在解决有关空间角的问题的过程中 进一步巩 固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用 掌握作平行线 面 和垂直线 面 的技能 通过有关空间角的问题的解决 进一步提高学生的空间想象能力 逻辑推理 能力及运算能力 3 通过学习 使学生更好地掌握多面体有关概念 性质 并能够灵活运用到解 题过程中 通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧 发掘不同 问题之间的内在联系 提高解题能力 4 使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法 提高空间想象能力 推理能力和计算能力 3 四 双基透视四 双基透视 1 有关平行与垂直 线线 线面及面面 的问题 是在解决立体几何问题的过程中 大量的 反复遇到的 而且是以各种各样的问题 包括论证 计算角 与距离等 中不 可缺少的内容 因此在主体几何的总复习中 首先应从解决 平行与垂直 的有关问 题着手 通过较为基本问题 熟悉公理 定理的内容和功能 通过对问题的分析与概 括 掌握立体几何中解决问题的规律 充分利用线线平行 垂直 线面平行 垂直 面面平行 垂直 相互转化的思想 以提高逻辑思维能力和空间想象能力 2 判定两个平面平行的方法 1 根据定义 证明两平面没有公共点 2 判定定理 证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面 3 证明两平面同垂直于一条直线 3 两个平面平行的主要性质 由定义知 两平行平面没有公共点 由定义推得 两个平面平行 其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那 么它们的交线平行 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面 它也垂直于另一个平面 夹在两个平行平面间的平行线段相等 经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行 以上性质 在课文中虽未直接列为 性质定理 但在解题过程中 均可直接作为性质定理引用 4 空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系 空间的角主要研究射影以 及与射影有关的定理 空间两直线所成的角 直线和平面所成的角 以及二面角和二 面角的平面角等 解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决 空间的角 是对由点 直线 平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系 进行定量分析的一个重要概念 由它们的定义 可得其取值范围 如两异面直线所成 的角 0 直线与平面所成的角 二面角的大小 可用它们的平面 2 0 2 角来度量 其平面角 0 对于空间角的计算 总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角 并把它置 于一个平面图形 而且是一个三角形的内角来解决 而这种转化就是利用直线与平面 的平行与垂直来实现的 因此求这些角的过程也是直线 平面的平行与垂直的重要应 用 通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力 逻辑推理能力及空间想象能力 如求异面直线所成的角常用平移法 转化为相交直线 求直线与平面所成的角 4 常利用射影转化为相交直线所成的角 而求二面角 l 的平面角 记作 通常有 以下几种方法 1 根据定义 2 过棱 l 上任一点 O 作棱 l 的垂面 设 OA OB 则 AOB 图 1 3 利用三垂线定理或逆定理 过一个半平面 内一点 A 分别作另一个平面 的 垂线 AB 垂足为 B 或棱 l 的垂线 AC 垂足为 C 连结 AC 则 ACB 或 ACB 图 2 4 设 A 为平面 外任一点 AB 垂足为 B AC 垂足为 C 则 BAC 或 BAC 图 3 5 利用面积射影定理 设平面 内的平面图形 F 的面积为 S F 在平面 内的射 影图形的面积为 S 则 cos S S 图 1 图 2 图 3 5 空间的距离问题 主要是求空间两点之间 点到直线 点到平面 两条异面直 线之间 限于给出公垂线段的 平面和它的平行直线 以及两个平行平面之间的距 离 求距离的一般方法和步骤是 一作 作出表示距离的线段 二证 证明它就 是所要求的距离 三算 计算其值 此外 我们还常用体积法求点到平面的距离 6 棱柱的概念和性质 理解并掌握棱柱的定义及相关概念是学好这部分知识的关键 要明确 棱柱 直棱柱 正棱柱 这一系列中各类几何体的内在联系和区别 平行六面体是棱柱中的一类重要的几何体 要理解并掌握 平行六面体 直 平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体 这一系列中各类几何体的内在联系和 区别 须从棱柱的定义出发 根据第一章的相关定理对棱柱的基本性质进行分析推导 以求更好地理解 掌握并能正确地运用这些性质 关于平行六面体 在掌握其所具有的棱柱的一般性质外 还须掌握由其定义导 出的一些其特有的性质 如长方体的对角线长定理是一个重要定理并能很好地掌握和 应用 还须注意 平行六面体具有一些与平面几何中的平行四边形相对应的性质 恰 当地运用平行四边形的性质及解题思路去解平行六面体的问题是一常用的解题方法 AB O A B C C A B A B C A B C 5 多面体与旋转体的问题离不开构成几何体的基本要素点 线 面及其相互关系 因此 很多问题实质上就是在研究点 线 面的位置关系 与 直线 平面 简单几 何体 第一部分的问题相比 唯一的差别就是多了一些概念 比如面积与体积的度量 等 从这个角度来看 点 线 面及其位置关系仍是我们研究的重点 多面体与旋转 体的体积问题是 直线 平面 简单几何体 课程当中相对独立的课题 体积和面积 长度一样 都是度量问题 常用 分割与补形 算出了这些几何体的体积 7 欧拉公式 如果简单多面体的顶点数为 V 面数 F 棱数 E 那么 V F E 2 计算棱数 E 常见方法 1 E V F 2 2 E 各面多边形边数和的一半 3 E 顶点数与共顶点棱数积的一半 8 经纬度及球面距离 根据经线和纬线的意义可知 某地的经度是一个二面角的度数 某地的纬度是 一个线面角的度数 设球 O 的地轴为 NS 圆 O 是 0 纬线 半圆 NAS 是 0 经线 若某地 P 是在东经 120 北纬 40 我们可以作出过 P 的经线 NPS 交赤道于 B 过 P 的纬线圈圆 O1交 NAS 于 A 那么则应有 AO1P 120 二面角的平面角 POB 40 线面角 两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长 因此 求两点间的 球面距离的关键就在于求出过这两点的球半径的夹角 例如 可以循着如下的程序求 A P 两点的球面距离 线段 AP 的长 AOP 的弧度数 大圆劣弧 AP 的长 9 球的表面积及体积公式 S球表 4 R2 V球 R3 3 4 在应用球体积公式时要注意公式中给出的是球半径 R 而在实际问题中常给 出球的外径 直径 球与其它几何体的切接问题 要仔细观察 分析 弄清相关元素的位置关系和 数量关系 选择最佳角度作出截面 以使空间问题平面化 10 主要题型 以棱柱 棱锥为载体 考查线面平行 垂直 夹角与距离等问题 利用欧拉公式求解多面体顶点个数 面数 棱数 求球的体积 表面积和球面距离 解题方法 求球面距离一般作出相应的大圆 转化为平面图形求解 第二部分第二部分 高二立体几何高二立体几何 6 在高二教学中要注意 1 要给学生正确的观念 就是公理意识 推理意识 树立 先猜想 后证明 的思 维方式 2 要明确 直线 平面 简单几何体 中所述的两个平面 两条直线是指两个不重合 的平面 两条直线 3 从认识平面图形到认识立体图形是一次飞跃 建立空间观念要有一个过程 因此 教师可让学生自制一些空间几何模型并反复观察 有空就对一些立体图形进行观察 揣摩 并且判断其中的线线 线面 面面位置关系 探索各种角 各种垂线作法 4 要用图形 文字 符号三种语言形式表达概念 定理 公式 要及时不断地复习 前面学过的内容 要多用图表示概念和定理 多在头脑中 证明 定理和构造定理的 图 要学会用图 画图 分解图 变换图 帮助解决问题 5 在解答问题的过程中 注意培养他们的语言表述能力和 说话要有根据 的逻辑 思维的习惯 提高思维品质 如立体几何计算题三个步骤 作图 证明 计算中尤其 是证明必不可少 把应该写的话写出来 而且必须写对才行 如二面角的平面角等 这应引起学生高度重视 6 在解题中 要书写规范 如用平行四边形 ABCD 表示平面时 可以写成平面 AC 但 不可以把平面两字省略掉 要写出解题根据 不论对于计算题还是证明题都应该如此 不能想当然或全凭直观 对于提出的命题 不要轻易肯定或否定它 要多用几个特例 进行检验 最好做到否定举出反面例子 肯定给出证明 对于文字证明题 要写已知 和求证 要画图 用定理时 必须把题目满足定理的条件逐一交待清楚 自己心中有 数而不把它写出来是不行的 7 要使学生掌握转化思想 化归思想 特别是将立体几何问题转化为平面几何问题 的思想意识和方法 并提高空间想象能力 推理能力和计算能力 如将求点到平面距 离的问题 或转化为求直线到平面距离的问题 再继而转化为求点到平面距离的问题 或转化为体积的问题 8 要掌握求各种角 距离的基本方法和推理证明的基本方法 分析法 综合法 反证法 要不断提高分析问题 解决问题的水平 一方面从已知到未知 另一方面从 未知到已知 寻求正反两个方面的知识衔接点 一个固有的或确定的数学关系 要 不断提高反省认知水平 积极反思自己的学习活动 从经验上升到自动化 从感性上 升到理性 加深对理论的认识水平 提高解决问题的能力和创造性 7 9 选题时要把握好难度 别把学生吓住 要努力保持住好不容易调动起来的兴趣 附 附 立体几何学习口诀立体几何学习口诀 学好立几并不难 空间观念最关键 点线面体是一家 共筑立几百花园 点在线面用属于 线在面内用包含 四个公理是基础