2014年干一镇初级中学数学竞赛优录培训22

试题来源 数学备课室 1 中国教育学会中学数学教学专业委员会中国教育学会中学数学教学专业委员会 数学周报数学周报 杯杯 2011 年全国初中数学竞赛试题年全国初中数学竞赛试题 一一二二三三 题题 号号 1 1011 1516171819 总总 分分 得得 分分 评卷人评卷人 复查人复查人 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 每小题小题 每小题 6 分 共分 共 60 分分 每道小题均给出了代号为每道小题均给出了代号为 A B C D 的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的 请将正确选项的代请将正确选项的代 号填入题后的括号里号填入题后的括号里 不填 多填或错填都得不填 多填或错填都得 0 分 分 1 设 则代数式的值为 71a 32 312612aaa A 24 B 25 C D 4 710 4 712 2 二次函数的图象如图所示 反比例函数与正比例函数 2 yaxbxc a y x 在同一坐标系中的大致图象可能是 ybc x 3 3 如图 将绕点旋转得到ABC 01 C 180 设点的坐标为 则点的坐标为A B C A ab A A B ab 1 ab C D 1 ab 2 ab 4 设 则代数式的值为 53 2 x 1 2 3 x xxx A 0 B 1 C 1 D 2 5 对于任意实数 定义有序实数对与之间的运算 abcd ab cd 为 如果对于任意实数 都有ab cd acbdadbc uv 那么 为 uv xy uv xy A 0 1 B 1 0 C 1 0 D 0 1 6 已知为实数 且满足 则xyz 253xyz 25xyz 的最小值为 222 xyz A B 0 C 5 D 1 11 54 11 7 若 且满足 则的值为 1x 0y 3yy x xyxx y xy A 1 B 2 C D 9 2 11 2 8 已知 A B 是两个锐角 且满足 则 22 5 sincos 4 ABt 222 3 cossin 4 ABt 实数 t 所有可能值的和为 A B C 1 D 8 3 5 3 11 3 9 点分别在 的边上 相交于点 设DE ABCABAC BECD F 则与的大小关系为 1234BDFBCFCEFEADF SSSSSSSS 四边形 13 S S 24 S S x y 1 1 O y x O C y x O A y x O B y x O D B A O y x A B C 试题来源 数学备课室 2 A B C D 不能确定 1324 S SS S 1324 S SS S 1324 S SS S 10 设 则的整数部分等于 3333 1111 1232011 S 4S A 4 B 5 C 6 D 7 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 每小题小题 每小题 6 分 共分 共 30 分 分 11 若关于的方程有三个根 且这三个根恰好可以作为一x 2 2 4 0 xxxm 个三角形的三条边的长 则的取值范围是 m 12 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1 2 2 3 3 4 另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1 3 4 5 6 8 同时 掷这两枚骰子 则其朝上的面两数字之和为 5 的概率是 13 如图 点为直线上的两点 过两点分AB yx AB 别作 y 轴的平行线交双曲线 于两点 1 y x x 0CD 若 则 的值为 2BDAC 22 4OCOD 14 若的最大值为 a 最小值为 b 1 1 2 yxx 则的值为 22 ab 15 如图 在 Rt ABC 中 斜边 AB 的长为 35 正方形 CDEF 内接于 ABC 且其边长为 12 则 ABC 的周长为 三 解答题 共三 解答题 共 4 题 每题题 每题 15 分 共分 共 60 分 分 16 已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程x 2 0 xcxa 的两个根都大 1 求的值 2 0 xaxb abc 17 如图 点为 的垂心 以为直径的 和 的外接圆HABCAB 1 OBCH 相交于点 延长交于点 2 ODADCHP 求证 点为的中点 PCH 18 如图 点为轴正半轴上一点 两点AyAB 关于 轴对称 过点任作直线交抛物线于 两点 xA 2 2 3 yx PQ 1 求证 ABPABQ 2 若点的坐标为 0 1 且 60 试求所有满足条件的直线APBQ 的函数解析式 PQ 19 如图 ABC 中 点 P 在 ABC 内 且60BAC 2ABAC 求 ABC 的面积 352PAPBPC 试题来源 数学备课室 3 2012 年全国初中数学竞赛试题年全国初中数学竞赛试题 一一二二三三 题题 号号 1 1011 151617 1819 总总 分分 得得 分分 评卷人评卷人 复查人复查人 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 每小题小题 每小题 6 分 共分 共 60 分分 每道小题均给出了代号为每道小题均给出了代号为 A B C D 的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的 请将正确选项的代请将正确选项的代 号填入题后的括号里号填入题后的括号里 不填 多填或错填都得不填 多填或错填都得 0 分 分 1 如果实数 a b c 在数轴上的位置如图所 示 那么代数式可以化 22 aabcabc 简为 A 2c a B 2a 2b C a D a 2 如果 那么的值为 22a 1 1 1 2 3a A B C 2 D 2 22 2 3 如果正比例函数 y ax a 0 与反比例函数 y b 0 的图象有 x b 两个交点 其中一个交点的坐标为 3 2 那么另一个交点的坐标为 A 2 3 B 3 2 C 2 3 D 3 2 4 在平面直角坐标系中 满足不等式 x2 y2 2x 2y 的整数点坐标xOy x y 的个数为 A 10 B 9 C 7 D 5 5 如果为给定的实数 且 那么这四ab 1ab 1121aabab 个数据的平均数与中位数之差的绝对值是 A 1 B C D 21 4 a 1 2 1 4 6 如图 四边形 ABCD 中 AC BD 是对角线 ABC 是等边三角形 AD 3 BD 5 30ADC 则 CD 的长为 A B 4 23 C D 4 552 7 小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币 小倩对小玲说 你 若给我 2 元 我的钱数将是你的 n 倍 小玲对小倩说 你若给我 n 元 我的 钱数将是你的 2 倍 其中 n 为正整数 则 n 的可能值的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 8 如果关于 x 的方程 是正整数 的正根小于 3 那么 2 0 xpxqpq 这样的方程的个数是 A 5 B 6 C 7 D 8 9 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1 2 3 4 5 6 掷两次骰子 设其朝上的面上的两个数字之和除以 4 的余数 分别是 0 1 2 3 的概率为 则中最大的是 0123 pppp 0123 pppp A B C D 0 p 1 p 2 p 3 p 10 黑板上写有共 100 个数字 每次操作先从黑板上的 111 1 23100 数中选取 2 个数 然后删去 并在黑板上写上数 则经过 99ab ab abab 次操作后 黑板上剩下的数是 A 2012 B 101 C 100 D 99 试题来源 数学备课室 4 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 每小题小题 每小题 6 分 共分 共 30 分 分 11 按如图的程序进行操作 规定 程 序运行从 输入一个值 x 到 结果是否 487 为一次操作 如果操作进行四次才 停止 那么 x 的取值范围是 12 如图 正方形 ABCD 的边长为 2 15 E F 分别是 AB BC 的中点 AF 与 DE DB 分别交于点 M N 则 DMN 的面积是 13 如果关于 x 的方程 x2 kx k2 3k 0 的两个实数根分别为 4 39 2 1 x 2 x 那么 的值为 2012 2 2011 1 x x 14 2 位八年级同学和 m 位九年级同学一起参加象棋比赛 比赛为单循环 即所有参赛者彼此恰好比赛一场 记分规则是 每场比赛胜者得 3 分 负者得 0 分 平局各得 1 分 比赛结束后 所有同学的得分总和为 130 分 而且平局数不 超过比赛局数的一半 则 m 的值为 15 如图 四边形 ABCD 内接于 O AB 是直径 AD DC 分别延长 BA CD 交点为 E 作 BF EC 并与 EC 的延长线 交于点 F 若 AE AO BC 6 则 CF 的 长为 三 解答题 共三 解答题 共 4 题 每题题 每题 15 分 共分 共 60 分 分 16 已知二次函数 当时 恒有 关 2 32yxmxm 13x 0y 于 x 的方程的两个实数根的倒数和小于 求的取 2 320 xmxm 9 10 m 值范围 17 如图 O 的直径为 O 过点 且与 O 内切于AB 1 OAO 点 为 O 上的点 与交于点 且 点在上 且BCOC 1 OADODCD EOD BE 的延长线与交于点 求证 BOC DCDE 1 OAF 1 DO F 18 已知整数 a b 满足 a b 是素数 且 ab 是完全平方数 当 a 2012 时 求 a 的最小值 19 求所有正整数 n 使得存在正整数 满足 122012 xxx 且 122012 xxx 122012 122012 n xxx 试题来源 数学备课室 5 中国教育学会中学数学教学专业委员会中国教育学会中学数学教学专业委员会 数学周报数学周报 杯杯 2013 年全国初中数学竞赛试题年全国初中数学竞赛试题 一一二二三三 题题 号号 1 56 101112 1314 总总 分分 得得 分分 评卷人评卷人 复查人复查人 答题时注意 1 用圆珠笔或钢笔作答 2 解答书写时不要超过装订线 3 草稿纸不上交 一 选择题 共一 选择题 共 5 小题 每小题小题 每小题 6 分 满分分 满分 30 分分 以下每道小题均给出了代号为以下每道小题均给出了代号为 A B C D 的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的 请将正确选项的代号填入题后请将正确选项的代号填入题后 的括号里的括号里 不填 多填或错填都得不填 多填或错填都得 0 分 分 1 已知实数满足 则的值为 xy 42 42 42 33yy xx 4 4 4 y x A 7 B C D 5 113 2 713 2 答 A 解 解 因为 0 由已知条件得 2 0 x 2 y 2 1244 4 3113 84x 2 114 3113 22 y 所以 7 4 4 4 y x 2 2 2 33y x 2 2 2 6y x 另解 由已知得 显然 以为根的一元 2 22 22 22 30 30 xx yy 2 2 2 y x 2 2 2 y x 二次方程为 所以 2 30tt 22 22 22 1 3yy xx 故 4 4 4 y x 2222 22 22 2 1 2 3 7yy xx 2 把一枚六个面编号分别为 1 2 3 4 5 6 的质地均匀的正方体骰子先 后投掷 2 次 若两个正面朝上的编号分别为 m n 则二次函数的图象与 x 2 yxmxn 轴有两个不同交点的概率是 A B C D 5 12 4 9 17 36 1 2 答 C 解 解 基本事件总数有 6 6 36 即可以得到 36 个二次函数 由题意知 0 即 4 2 4mn 2 mn 通过枚举知 满足条件的有 17 对 故 mn 17 36 P 3 有两个同心圆 大圆周上有 4 个不同的点 小圆周上有 2 个不同的点 则这 6 个点 可以确定的不同直线最少有 A 6 条 B 8 条 C 10 条 D 12 条 答 B 解 解 如图 大圆周上有 4 个不同的点 A B C D 两两连线可以确定 6 条不同的直线 小圆周上的两个点 E F 中 至少有一个不是四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点 则 它与 A B C D 的连线中 至少有两条不同于 A B C D 的两两连线 从而这 6 个点可 以确定的直线不少于 8 条 第 3 题 试题来源 数学备课室 6 第 8 题 F E D C O AB 当这 6 个点如图所示放置时 恰好可以确定 8 条直线 所以 满足条件的 6 个点可以确定的直线最少有 8 条 4 已知是半径为 1 的圆的一条弦 且 以为一边在圆内作正ABO1ABa ABO 点为圆上不同于点 A 的一点 且 的延长线交圆于点ABCDODBABa DCO 则的长为 EAE A B 1 C D a 5 2 a 3 2 答 B 解 解 如图 连接 OE OA OB 设 则 D 120ECAEAC 又因为 11 601802 22 ABOABD 120 所以 于是 ACE ABO 1AEOA 另解 如图 作直径 EF 连结 AF 以点 B 为圆心 AB 为半径 作 B 因为 AB BC BD 则点 A C D 都在 B 上 由 11 6030 22 FEDACBA 所以2301AEEFsim Fsim 5 将 1 2 3 4 5 这五个数字排成一排 最后一个数是奇数 且使得其中任意连续 三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除 那么满足要求的排法有 A 2 种 B 3 种 C 4 种 D 5 种 答 D 解 解 设是 1 2 3 4 5 的一个满足要求的排列 12345 aaaaa 首先 对于 不能有连续的两个都是偶数 否则 这两个之后都是偶 1234 aaaa 数 与已知条件矛盾 又如果 1 i 3 是偶数 是奇数 则是奇数 这说明一个偶数后面一定要 i a 1i a 2i a 接两个或两个以上的奇数 除非接的这个奇数是最后一个数 所以只能是 偶 奇 奇 偶 奇 有如下 5 种情形满足条件 12345 aaaaa 2 1 3 4 5 2 3 5 4 1 2 5 1 4 3 4 3 1 2 5 4 5 3 2 1 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 每小题小题 每小题 6 分 满分分 满分 30 分 分 6 对于实数 u v 定义一种运算 为 若关于 x 的方程u vuvv 有两个不同的实数根 则满足条件的实数 a 的取值范围是 1 4 xax 答 或 0a 1a 解 解 由 得 1 4 xax 2 1 1 1 0 4 axax 依题意有 2 10 1 1 0 a aa 解得 或 0a 1a 7 小王沿街匀速行走 发现每隔 6 分钟从背后驶过一辆 18 路公交车 每隔 3 分钟从迎 面驶来一辆 18 路公交车 假设每辆 18 路公交车行驶速度相同 而且 18 路公交车总站每隔 固定时间发一辆车 那么发车间隔的时间是 分钟 答 4 解 解 设 18 路公交车的速度是米 分 小王行走的速度是米 分 同向行驶的相邻两车xy 的间距为米 s 每隔 6 分钟从背后开过一辆 18 路公交车 则 syx 66 每隔 3 分钟从迎面驶来一辆 18 路公交车 则 syx 33 由 可得 所以 xs4 4 x s 即 18 路公交车总站发车间隔的时间是 4 分钟 第 4 题 试题来源 数学备课室 7 第 9 题答案 N E F MD B C A 8 如图 在 中 AB 7 AC 11 点 M 是 BC 的中点 ABC AD 是 BAC 的平分线 MF AD 则 FC 的长为 答 9 解 解 如图 设点 N 是 AC 的中点 连接 MN 则 MN AB 又 所以 MFADFMNBADDACMFN 所以 1 2 FNMNAB 因此 9 11 22 FCFNNCABAC 另解 如图 过点 C 作 AD 的平行线交 BA 的延长线为 E 延长 MF 交 AE 于点 N 则EBADDACACE 所以 又 所以四边形是等腰梯形 11AEAC FNCECENF 即 11 711 9 22 CFENBE 9 ABC 中 AB 7 BC 8 CA 9 过 ABC 的内切圆圆心 I 作 DE BC 分别与 AB AC 相交于点 D E 则 DE 的长为 答 16 3 解 解 如图 设 ABC 的三边长为 a b c 内切圆 I 的半径为 r BC 边上的高为 则 a h 11 22 aABC ahSabc r 所以 a ra habc 因为 ADE ABC 所以它们对应线段成比例 因此 a a hrDE hBC 所以 1 1 a aa hrra DEaaa hhabc a bc abc 故 87916 8793 DE 另解 ABC Srpp papbpc 1243512 5 这里 所以 2 abc p 12 5 5 12 r 22 12 5 3 5 8 ABC a S h a 由 ADE ABC 得 3 552 3 3 5 a a hrDE BCh 即 216 33 DEBC 10 关于 x y 的方程的所有正整数解为 22 208 xyxy 答 48160 3232 xx yy 解 解 因为 208 是 4 的倍数 偶数的平方数除以 4 所得的余数为 0 奇数的平方数除以 4 所得的余数为 1 所以 x y 都是偶数 设 则2 2xa yb 22 104 abab 同上可知 a b 都是偶数 设 则2 2ac bd 22 52 cdcd 所以 c d 都是偶数 设 则2 2cs dt 22 26 stst 第 8 题答案 试题来源 数学备课室 8 于是 22 13 13 st 2 2 13 其中 s t 都是偶数 所以 222 13 2 13 13 st 222 2 131511 所以可能为 1 3 5 7 9 进而为 337 329 313 289 257 故只13s 2 13 t 能是 289 从而 7 于是 2 13 t 13s 620 44 ss tt 因此 48160 3232 xx yy 另解 因为 则有 2 104 21632 y 222 104 104 2 10421632xy 又 y 正整数 所以 143y 令 22 104 104 21632axbyab 则 因为任何完全平方数的个位数为 1 4 5 6 9 由知的个位数只能是 1 和 1 或 6 和 6 22 21632ab 22 ab 当的个位数是 1 和 1 时 则的个位数字可以为 1 或 9 22 ab a b 但个位数为 1 和 9 的数的平方数的十位数字为偶数 与的十位数字为 3 矛盾 22 ab 当的个位数是 6 和 6 时 则的个位数字可以为 4 或 6 22 ab a b 由 取 106 114 116 124 126 134 136 144 146 代入105147b b 得 只有当 136 时 56 即 解得 22 21632ab ba 104 56 104 136 x y 48160 3232 xx yy 三 解答题 共三 解答题 共 4 题 每题题 每题 15 分 满分分 满分 60 分 分 11 在直角坐标系 xOy 中 一次函数的图象与轴 轴的正半轴bkxy 0k xy 分别交于 A B 两点 且使得 OAB 的面积值等于 3OAOB 1 用 b 表示 k 2 求 OAB 面积的最小值 解 解 1 令 得 令 得 0 x0ybb 0 y00 b xk k 所以 A B 两点的坐标分别为 于是 OAB 的面积为0 0 b ABb k 2 1 k b bS 由题意 有 3 2 1 b k b k b b 解得 5 分 3 2 2 2 b bb k2b 2 由 1 知 2 1 3 2 7 2 10 222 bb bbb Sb kbb 2 1010 27 2 72 10 22 bb bb 1027 当且仅当时 有 即当 时 不等式中的等 10 2 2 b b 7 2 10S 102 b1 k 号成立 所以 ABC 面积的最小值为 15 分1027 12 是否存在质数 p q 使得关于 x 的一元二次方程有有理数根 2 0pxqxp 解 解 设方程有有理数根 则判别式为平方数 令 222 4qpn 试题来源 数学备课室 9 其中 n 是一个非负整数 则 5 分 2 4qn qnp 由于 1 q n 且与同奇偶 故同为偶数 因此 有如下几种可能情形 qn qn qn 2 2 2 qn qnp 2 4qn qnp 4 qnp qnp 2 2 qnp qnp 2 4 qnp qn 消去 n 解得 22 2 5 1222 222 ppp qpqqqpq 10 分 对于第 1 3 种情形 从而 q 5 对于第 2 5 种情形 从而2p 2p q 4 不合题意 舍去 对于第 4 种情形 q 是合数 不合题意 舍去 又当 q 5 时 方程为 它的根为 它们都是2p 2 2520 xx 12 1 2 2 xx 有理数 综上所述 存在满足题设的质数 15 分 12 已知为正整数 关于的方程的两个实数根为 a bx 2 20 xaxb 12 xx 关于的方程的两个实数根为 且满足y 2 20yayb 12 y y 1122 2008x yxy AA 求的最小值 b 另解 由韦达定理 得 1212 2 xxax xb A 1212 2 yyay yb A 即 121212 1212 2 yyaxxxx y ybxx AA 解得 1112 2221 yxyx yxyx 或 把的值分别代入 12 y y 1122 2008x yxy AA 得 1122 2008xxxx AA 或 不成立 1221 2008xxxx AA 即 22 21 2008xx 2121 2008xxxx 因为 所以 1212 20 0 xxax xb A 12 0 0 xx 于是有 即 2 2442008aab A 2 5021 5022251aab A 因为 a b 都是正整数 所以 222222 15052251 50212514 aaaa abababab 或或或 分别解得 2222 15022251 1502502122512514 aaaa bbbb 或或或 经检验只有 符合题意 22 502251 50212514 aa bb 所以 b 的最小值为 2 2514 62997b 最小值 13 是否存在一个三边长恰是三个连续正整数 且其中一个内角等于另一个内角 2 倍的 ABC 证明你的结论 解 解 存在满足条件的三角形 当 ABC 的三边长分别为 时 5 分6 a4 b5 cBA 2 如图 当时 延长 BA 至点 D 使 连接 CD 则 为等腰BA 2bACAD ACD 三角形 因为为 的一个外角 所以 由已知 BAC ACD2BACD 所以2BACB 所以 为等腰三角形 DB CBD 又为 与 的一个公共角 有 于是D ACDCBDACDCBD 即 BD CD CD AD cb a a b 第 13 A 题答案 试题来源 数学备课室 10 a c b r D E F I G A B C 所以 cbba 2 而 所以此三角形满足题设条件 2 64 45 故存在满足条件的三角形 15 分 说明 说明 满足条件的三角形是唯一的 若 可得 有如下三种情形 BA 2 cbba 2 i 当时 设 为大于 1 的正整数 bca 1 nanc 1 nbn 代入 得 解得 有 cbba 2 2 1121nnn 5 n6 a4 b5 c 当时 设 为大于 1 的正整数 bac 1 ncna 1 nbn 代入 得 解得 有 此时不 cbba 2 nnn21 2 2 n2 a1 b3 c 能构成三角形 当时 设 为大于 1 的正整数 cba 1 nanb 1 ncn 代入 得 即 此方程无整数解 cbba 2 121 2 nnn013 2 nn 所以 三边长恰为三个连续的正整数 且其中一个内角等于另一个内角的 2 倍的三角 形存在 而且只有三边长分别为 4 5 6 构成的三角形满足条件 13 如图 ABC 的三边长都是整数 BCaACbABca b c 且的最大公约数是 2 点 G 和点 I 分别为 ABC 的重心和内心 且 求 a b90GIC ABC 的周长 另解 如图 连结 GA GB 过 G I 作直线交 BC AC 于点 E F 作 ABC 的内切圆 I 切 BC 边于点 D 记 ABC 的半周长为 P 内切圆半径为 r BC AC 边上的高线长为 ab h h ABC Srpp papbpc papbpc r p 易知 在中 CDpc Rt CIE 2 r DE pc 即 papb DE p papbab CECDDEpc pp 又 所以 CE CF CIEF CIACB 平分 由 GEGFGFEABCABBAC SSSSS 得 ABC S111 2 323232 ab ABC hhababab Sr ppp a b 即 ABC 2 S11 32323 ABCab pbpaab Shhrp ppp ab 整理得 即 2 23pcpab 2 32 2 abpcpppcP ab 设 ABC 的周长为 则为整数 m 6 2 ab mp ab 由已知 设 代入上式 2a b 2 2 1 as bts ts t 且都是正整数 得 12st m st 1 1s stt st 是 12 的约数 即 1 2 3 4 6 12st st 不妨设 则 st 1st 试题来源 数学备课室 11 得 1235117 1 1 1 1 1 5 689101135 ssssss tttttt mmmmmm 经检验 只有符合题意 7 5 35 s t m 所以 或 即所求 ABC 的周长为14 10 11abc 10 14 11abc 35 14 从 1 2 9 中任取 n 个数 其中一定可以找到若干个数 至少一个 也可以 是全部 它们的和能被 10 整除 求 n 的最小值 解 解 当 n 4 时 数 1 3 5 8 中没有若干个数的和能被 10 整除 5 分 当 n 5 时 设是 1 2 9 中的 5 个不同的数 若其中任意若干个 125 aaa 数 它们的和都不能被 10 整除 则中不可能同时出现 1 和 9 2 和 8 3 和 125 aaa 7 4 和 6 于是中必定有一个数是 5 125 aaa 若中含 1 则不含 9 于是不含 4 4 1 5 10 故含 6 于是不含 125 aaa 3 3 6 1 10 故含 7 于是不含 2 2 1 7 10 故含 8 但是 5 7 8 20 是 10 的 倍数 矛盾 若中含 9 则不含 1 于是不含 6 6 9 5 20 故含 4 于是不含 125 aaa 7 7 4 9 20 故含 3 于是不含 8 8 9 3 10 故含 2 但是 5 3 2 10 是 10 的 倍数 矛盾 综上所述 n 的最小值为 5 15 分 14 已知有 6 个互不相同的正整数 且 从这 6 个数中 126 aaa 126 aaa 任意取出 3 个数 分别设为 其中 记 ijk aaa ijk 123 ijk f i j k aaa 证明 一定存在 3 个不同的数组 其中 使得对应着的 3 个 i j k16ijk 两两之差的绝对值都小于 0 5 f i j k 中国教育学会中学数学教学专业委员会中国教育学会中学数学教学专业委员会 数学周报数学周报 杯杯 2010 年全国初中数学竞赛试题参考答案年全国初中数学竞赛试题参考答案 一 选择题一 选择题 1 B 2 D 3 4 C 5 C 6 D 7 B 8 BD 二 填空题二 填空题 9 众数 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 10 1 或或 1 11 等边三角形等边三角形 12 033 13 15 14 15 16 111 33 yx 2 15 9 三 解答题三 解答题 17 解 解 1 因为点 A 1 4 在双曲线上 所以 k 4 故双曲线的函 k y x 数表达式为 x y 4 设点 B t AB 所在直线的函数表达式为 则有 4 t 0t ymxn 试题来源 数学备课室 12 4 4 mn mtn t 解得 4 m t 4 1 t n t 于是 直线 AB 与 y 轴的交点坐标为 故 4 1 0 t t 141 13 2 AOB t St t 整理得 2 2320tt 解得 或 t 舍去 所以点 B 的坐标为 2t 2 1 2 2 因为点 A B 都在抛物线 a0 上 所以 2 yaxbx 4 422 ab ab 解得 8 分 1 3 a b 2 如图 因为 AC x 轴 所以 C 4 4 于是 CO 4 2 又 BO 2 所以 22 BO CO 设抛物线 a0 与 x 轴负半轴相交 2 yaxbx 于点 D 则点 D 的坐标为 0 3 因为 COD BOD 所以 COB 45 90 i 将 绕点 O 顺时针旋转 得到 这时 点 2 是BOA90 1 B OA B 2 CO 的中点 点的坐标为 4 1 A1 延长到点 使得 这时点 8 是符合条件的点 1 OA 1 E 1 OE 1 2OA 1 E2 ii 作 关于 x 轴的对称图形 得到点 1 延长BOA 2 B OA 2 A4 到点 使得 这时点 E 2 是符合条件的点 2 OA 2 E 2 OE 2 2OA8 所以 点的坐标是 8 或 2 15 分 E2 8 18 解 解 由 22 31085100aabbab 可得 23450abab 所以 或 4 分 20ab 3450ab i 当时 20ab 2 22 97223672236134uabbbb 于是时 的最小值为 此时 10 分 1b u34 2a 1b ii 当时 3450ab 2 22 972216322716111uabbbb 于是时 的最小值为 此时 1b u113a 1b 综上可知 的最小值为 15 分 u34 第 11 A 题 试题来源 数学备课室 13 19证明 证明 如图 连接 ED FD 因为 BE 和 CF 都是直径 所以 ED BC FD BC 因此 D E F 三点共线 5 分 连接 AE AF 则 AEFABCACBAFD 所以 ABC AEF 10 分 作 AH EF 垂足为 H 则 AH PD 由 ABC AEF 可得 EFAH BCAP 从而 EFPD BCAP 所以 20 分 tan PDEF PAD APBC 20 解解 1 由方程 知 且 y 所以 当时 0 x x x 1 0 x y 2 当时 y 故0 x 2 2 5 分 y 2 将代入方程 得 所以 2 1xxy 2 0 x yayb 2 0yayb 因为方程组有实数解 所以方程在 y 2 或 y 2 的范围内0 2 bayy 至少有一个实根 i 当 4 时 有a 或 2 2 4 2 aab 2 2 4 2 aab 所以 或 2 4ab 4a 2 4ab 4a 即 或 2a4b 2a 4 b 若 0 即 时 由此得4b b4 2a4b 2 a 2 24 4 b b 所以 a2 b2 2b 4 2 4 5 b 2 5 4 4 5 b 5 16 5 16 当 b 时 上式等号成立 此时 a 4 5 5 8 若时 对于满足 或 的任意实数404bb 即2a4b 2a 4 b a 均有 a2 b2 15 5 16 分 ii 当时 a2 b2 4a 5 16 综上可知 a2 b2的最小值为 20 5 16 第 12B 题 第 12 B 题 试题来源 数学备课室 14 2011 年全国初中数学竞赛试题参考答案年全国初中数学竞赛试题参考答案 一 选择题一 选择题 1 A 解 解 因为 所以71a 17a 2 62aa 32 2 31261236212 62612 61260 6 62126024 aaaaaaa aa aa 2 B 解 略 解 略 3 D 解 略 解 略 4 C 解 解 由已知得 于是 2 310 xx 22 22 1 2 3 3 32 31 11 x xxxxxxx xx 5 B 解 解 依定义的运算法则 有即对任何实数 uxvyu vxuyv 1 0 1 0 u xvy v xuy 都成立 由于实数的任意性 得uv uv 1 0 xy 6 D 解 解 由 253 25 xyz xyz 可得 31 2 xz yz 于是 2222 1125xyzzz 因此 当时 的最小值为 1 11 z 222 xyz 54 11 7 C 解 解 由题设可知 于是 1y yx 341yy xyxx 所以 411y 故 从而 于是 1 2 y 4x 9 2 xy 8 C 解 解 两式相加 得 解得 或 舍去 2 358tt 1t 8 3 t 当时 满足等式 故 1t 4530AB 1t 所以 实数 t 的所有可能值的和为 1 9 C 解 解 如图 连接 设 则DE 1DEF SS 从而有 因为 所以 14 23 SSEF SBFS 1324 S SS S 11 SS 1324 S SS S 10 A 解 解 当 因为2 3 2011k 3 2 11111 2111kkkk kk k 所以 333 1111 115 111 2320112 22011 20124 S 于是有 故的整数部分等于 4 445S 4S 试题来源 数学备课室 15 二 填空题二 填空题 11 3 m 4 解 解 易知是方程的一个根 设方程的另外两个根为 则 2x 12 xx 12 4xx 显然 所以 12 x xm 12 42xx 0 12 2xx 164m 即 0 所以 2 1212 42xxx x 164m 0 1642m 164m 解之得 3 m 4 12 1 9 解 解 在 36 对可能出现的结果中 有 4 对 1 4 2 3 2 3 4 1 的和为 5 所以朝上的面两数字之和为 5 的概率是 41 369 13 6 解 解 如图 设点的坐标为 点的坐标为Cab D 则点的坐标为 点的坐标为 因为cd Aaa B cc 点在双曲线上 所以 CD 1 y x 11abcd 由于 又因为 于ACab BDcd 2BDAC 是 2222 2242cdabccddaabb 所以 2222 4826abcdabcd 即 22 4OCOD 6 14 3 2 解 解 由 0 且 0 得 1x 1 2 x 1 2 x1 222 131131 22 2222416 yxxx 由于 所以当时 取到最大值 1 故 13 1 24 0 由 1 可知PCa DQb ab ABP30ABQ BC3aBD3b 所以 AC32a AD23b 因为 所以 PCDQACPADQ 于是 即 PCAC DQAD 32 23 aa bb 所以 3abab 试题来源 数学备课室 17 由 1 中 即 所以 3 2 PQ x xt 3 2 ab 33 3 22 abab 于是可求得 23 ab 将代入 得到点的坐标 3 2 b 2 2 3 yx Q 3 2 1 2 再将点的坐标代入 求得 Q1ykx 3 3 k 所以直线的函数解析式为 PQ 3 1 3 yx 根据对称性知 所求直线的函数解析式为 或 PQ 3 1 3 yx 3 1 3 yx 解法二 设直线的函数解析式为 其中 PQykxt 1t 由 1 可知 所以 ABP30ABQ 2BQDQ 故 22 2 1 QQQ xxy 将代入上式 平方并整理得 2 2 3 QQ yx 即 42 41590 QQ xx 22 43 3 0 QQ xx 所以 或 3 2 Q x 3 又由 1 得 33 22 PQ x xt 3 2 PQ xxk 若代入上式得 从而 3 2 Q x 3 P x 23 33 PQ kxx 同理 若 可得 从而 3 Q x 3 2 P x 23 33 PQ kxx 所以 直线的函数解析式为 或 PQ 3 1 3 yx 3 1 3 yx 19 解 解 如图 作 ABQ 使得 则 ABQ ACP QABPACABQACP 由于 所以相似比为 2 2ABAC 于是 22 324AQAPBQCP 60QAPQABBAPPACBAPBAC 由知 于是 2 1AQ AP 90APQ 33PQAP 所以 从而 222 25BPBQPQ 90BQP 于是 222 288 3ABPQAPBQ 故 2 1367 3 sin60 282 ABC SAB ACAB 试题来源 数学备课室 18 2012 年全国初中数学竞赛试题参考答案年全国初中数学竞赛试题参考答案 一 选择题一 选择题 1 C 解 解 由实数 a b c 在数轴上的位置可知 且 0bac bc 所以 22 aabcabcaabcabc a 2 B 解 解 111 111 11 221 22 312a 1 11212 21 3 D 解解 由题设知 所以 2 3 a 3 2 b 2 6 3 ab 解方程组得 2 3 6 yx y x 3 2 x y 3 2 x y 所以另一个交点的坐标为 3 2 注 注 利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性 可知两个交点关于原 点对称 因此另一个交点的坐标为 3 2 4 B 解 解 由题设 x2 y2 2x 2y 得 0 2 22 1 1 xy 因为均为整数 所以有xy 2 2 1 0 1 0 x y 2 2 1 0 1 1 x y 2 2 1 1 1 0 x y 2 2 1 1 1 1 x y 解得 1 1 x y 1 2 x y 1 0 x y 0 1 x y 0 0 x y 0 2 x y 2 1 x y 2 0 x y 2 2 x y 以上共计 9 对 xy 5 D 解 解 由题设知 所以这四个数据的平均数为1112aabab 1 1 1 2 342 44 aababab 中位数为 1 1 442 24 aabab 于是 4423421 444 abab 6 B 解 解 如图 以 CD 为边作等边 CDE 连接 AE 由于 AC BC CD CE BCD BCA ACD DCE ACD ACE 所以 BCD ACE BD AE 又因为 所以 30ADC 90ADE 在 Rt 中 ADE53AEAD 于是 DE 所以 CD DE 4 22 4AEAD 7 D 解 解 设小倩所有的钱数为 x 元 小玲所有的钱数为 y 元 均为非xy 负整数 由题设可得 2 2 2 xn y ynxn 消去 x 得 2y 7 n y 4 2n 72 15 1 72 15 72 yy y 因为为正整数 所以 2y 7 的值分别为 1 3 5 15 所以 y 的值只 15 27y 能为 4 5 6 11 从而 n 的值分别为 8 3 2 1 x 的值分别为 试题来源 数学备课室 19 14 7 6 7 8 C 解 解 由一元二次方程根与系数关系知 两根的乘积为 故方程0q 的根为一正一负 由二次函数的图象知 当时 所以 2 yxpxq 3x 0y 即 由于都是正整数 所以 1 q 5 或 2 330pq 39pq pq 1p 1 q 2 此时都有 于是共有 7 组符合题意 2p 2 40pq pq 9 D 解 解 掷两次骰子 其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有 36 个 其和除以 4 的余数分别是 0 1 2 3 的有序数对有 9 个 8 个 9 个 10 个 所以 因此最大 0123 98910 36363636 pppp 3 p 10 C 解 解 因为 所以每次操作前和操作后 黑板1 1 1 ababab 上的每个数加 1 后的乘积不变 设经过 99 次操作后黑板上剩下的数为 则x 111 1 1 1 1 1 1 23100 x A A 解得 1101x 100 x 二 填空题二 填空题 11 7 x 19 解 解 前四次操作的结果分别为 3x 2 3 3x 2 2 9x 8 3 9x 8 2 27x 26 3 27x 26 2 81x 80 由已知得 27x 26 487 81x 80 487 解得 7 x 19 容易验证 当 7 x 19 时 487 487 故 x 的取值范围是32x 98x 7 x 19 12 8 解 解 连接 DF 记正方形的边长为 2 ABCDa 由题设易知 所以BFNDAN 2 1 ADANDN BFNFBN 由此得 所以 2ANNF 2 3 ANAF 在 Rt ABF 中 因为 所以2ABaBFa 22 5AFABBFa 于是 2 5 cos 5 AB BAF AF 由题设可知 ADE BAF 所以 AED