数学必修5期末测试2

1 模块综合测评模块综合测评 二二 本栏目内容 在学生用书中以活页形式分册装订 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 在 ABC 中 a b A 30 则 c 等于 515 A 2 B 55 C 2或 D 3 555 解析 由余弦定理 cos A b2 c2 a2 2bc 即 c2 3c 10 0 3 2 15 c2 5 2 15 c 5 c 或 2 经检验 a b c 能构成三角形 故选 C 55 答案 C 2 当 0 a b 1 a b B 1 a a 1 b b 1 b C 1 a b 1 a D 1 a a 1 b b b 2 解析 特值法 取 a b 1 4 1 2 则 1 a 2 2 1 b 1 1 4 3 4 9 16 1 a b 1 1 4 1 2 3 2 1 a 1 a b 故排除 A 1 b 同理可排除 B C 答案 D 3 已知点 3 1 和 4 6 在直线 3x 2y a 0 的两侧 则 a 的取值范围是 A a24 B a 7 或 a 24 C 7 a 24 D 24 a 7 解析 3 3 2 1 a 3 4 2 6 a 0 7 a 6 4 1 2 A 30 则 BB a b 答案 A 8 设变量 x y 满足约束条件Error 则 z 3x 2y 的最大值为 A 0 B 2 C 4 D 6 解析 作出可行域如图所示 目标函数 y x z 3 2 1 2 易知过 A 0 2 时 zmax 4 答案 C 9 函数 f x ln 的定义域为 1 xx2 3x 2 x2 3x 4 A 4 2 B 4 0 0 1 C 4 0 0 1 D 4 0 0 1 解析 由已知得 Error Error x 4 0 0 1 答案 D 10 已知 x 则 f x 有 5 2 x2 4x 5 2x 4 A 最小值 B 最大值 5 4 5 4 4 C 最小值 1 D 最大值 1 解析 f x x 2 2 1 2 x 2 x 2 2 1 2 x 2 x x 2 0 5 2 f x 2 1 1 4 当且仅当 x 2 2 1 2 x 2 即 x 3 时 取等号 答案 C 11 已知 an 是首项为 1 的等比数列 Sn是 an 的前 n 项和 且 9S3 S6 则数列的 1 an 前 5 项和为 A 或 5 B 或 5 15 8 31 16 C D 31 16 15 8 解析 9S3 S6 而 S6 S3 a4 a5 a6 8 a1 a2 a3 a4 a5 a6 即 q3 8 q 2 数列是以 1 为首项 为公比的等比数列 1 an 1 2 S 5 1 1 1 2 5 1 1 2 31 16 答案 C 12 已知各项均为正数的等差数列 an 的前 20 项和为 100 那么 a3 a18的最大值是 A 50 B 25 C 100 D 2 20 解析 由题可知 S20 100 所以 a3 a18 10 故 20 a1 a20 2 20 a3 a18 2 a3 a18 2 25 故选 B a3 a18 2 5 答案 B 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 请把正确答案填在题中横线上 13 在 ABC 中 已知 a 4 b 6 C 120 则 sin A 的值是 解析 根据余弦定理 c2 a2 b2 2abcos C 42 62 2 4 6cos120 76 所以 c 2 19 根据正弦定理 得 sin A asin C c 4sin 120 2 19 57 19 答案 57 19 14 设 Sn为等差数列 an 的前 n 项和 若 S3 3 S6 24 则 a9 解析 由Error 知Error 即Error Error a9 1 8 2 15 答案 15 15 某公司租地建仓库 每月土地占用费 y1与仓库到车站的距离成反比 而每月库存 货物的运费 y2与仓库到车站的距离成正比 如果在距离车站 10 km 处建仓库 这两项费用 y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元 那么要使两项费用之和最小 仓库应建在离车站 处 解析 由已知得 y1 y2 0 8x x 为仓库与车站的距离 20 x 费用之和 y y1 y2 0 8x 2 8 当且仅当 0 8x 即 x 5 时等号成 20 x 0 8x 20 x 20 x 立 答案 5 km 16 已知关于 x 的不等式 a2 4 x2 a 2 x 1 0 的解集为空集 则实数 a 的取值范 围是 解析 当 a 2 时 原不等式可化为 0 x2 0 x 1 0 解集为空集 符合题意 当 a 2 时 原不等式可化为 0 x2 4x 1 0 解集不能为空集 当Error 不等式的解集为空集 2 a 6 5 综上 2 a 6 5 答案 2 6 5 6 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或 演算步骤 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 a b c 分别是 A B C 的对边 且sin A 2 3cos A 1 若 a2 c2 b2 mbc 求实数 m 的值 2 若 a 求 ABC 面积的最大值 3 解析 1 将sin A 两边平方 得 2sin2A 3cos A 23cos A 即 2cos A 1 cos A 2 0 解得 cos A 0 1 2 0 A A 60 2 a2 c2 b2 mbc 可以变形得 b2 c2 a2 2bc m 2 即 cos A m 1 m 2 1 2 2 cos A b2 c2 a2 2bc 1 2 bc b2 c2 a2 2bc a2 即 bc a2 故 S ABC sin A bc 2 a2 2 3 2 3 3 4 ABC 面积的最大值为 3 4 3 18 本小题满分 12 分 数列 an 中 a1 前 n 项和 Sn满足 1 3 Sn 1 Sn n 1 n N 1 3 1 求数列 an 的通项公式 an以及前 n 项和 Sn 2 若 S1 t S1 S2 3 S2 S3 成等差数列 求实数 t 的值 解析 1 由 Sn 1 Sn n 1得 1 3 an 1 n 1 n N 1 3 又 a1 故 an n n N 1 3 1 3 从而 Sn n N 1 3 1 1 3 n 1 1 3 1 2 1 1 3 n 7 2 由 1 可得 S1 S2 S3 1 3 4 9 13 27 从而由 S1 t S1 S2 3 S2 S3 成等差数列可得 3 2 t 1 3 4 9 13 27 1 3 4 9 解得 t 2 19 本小题满分 12 分 已知全集 U R 集合 A x x2 a 1 x a 0 B x x a x b 0 a b M x x2 2x 3 0 1 若 UB M 求 a b 的值 2 若 1 b a 1 求 A B 3 若 3 a0 UB x x a x b 0 M x x 1 x 3 0 1 若 UB M 则 x a x b x 1 x 3 所以 a 1 b 3 或 a 3 b 1 2 若 1 b a 1 则 1 a b 1 所以 A x x1 B x x b 故 A B x x a 或 x 1 3 若 3 a 1 则 1 a 3 所以 A x x a UA x 1 x a 又由 a2 1 UA 得 1 a2 1 a 即Error 解得 a 1 5 22 20 本小题满分 12 分 某人有楼房一幢 室内面积共 180 m2 拟分隔成两类房间作为 旅游客房 大客房每间面积为 18 m2 可住游客 5 名 每名游客每天住宿费为 40 元 小房 间每间 15 m2 可住游客 3 名 每名游客每天住宿费为 50 元 装修大房间每间需 1 000 元 装修小房间每间需 600 元 如果他只能筹款 8 000 元用于装修 且游客能住满客房 他应 隔出大房间和小房间各多少间 才能获得最大收益 解析 设隔出大房间 x 间 小房间 y 间 获得收益为 z 元 则Error 即Error 目标函数为 z 200 x 150y 画出可行域如图阴影部分所示 作出直线 l 200 x 150y 0 即直线 4x 3y 0 当 l 经过平移过可行域上的点 A 时 z 有最大值 由于 A 的坐标不是整数 而 x y N 所以 A 不是最优解 20 7 60 7 调整最优解 由 x y N 知 z 4x 3y 37 令 4x 3y 37 即 y 代入约束条件 37 4x 3 8 可解得 x 3 5 2 由于 x N 得 x 3 但此时 y N 25 3 再次调整最优解 令 4x 3y 36 即 y 代入约束条件 36 4x 3 可解得 0 x 4 x N 当 x 0 时 y 12 当 x 1 时 y 10 当 x 2 时 y 9 当 x 3 时 y 8 当 2 3 1 3 x 4 时 y 6 2 3 所以最优解为 0 12 和 3 8 这时 z max 36 zmax 1 800 所以应隔出小房间 12 间或大房间 3 间 小房间 8 间 可以获得最大收益 21 本小题满分 12 分 森林失火 火势以每分钟 100 m2的速度顺风蔓延 消防站接到 报警后立即派消防员前去 在失火 5 分钟到达现场开始救火 已知消防员在现场平均每人 每分钟可灭火 50 m2 所消耗的灭火材料 劳务津贴等费用平均每人每分钟 125 元 所消 耗的车辆 器械和装备等费用平均每人 100 元 而每烧毁 1 m2的森林损失费为 60 元 设 消防队派 x 名消防队员前去救火 从到现场把火完全扑灭共用 n 分钟 1 求出 x 与 n 的关系式 2 求 x 为何值时 才能使总损失最少 解析 1 由已知可得 50nx 100 n 5 所以 n x 2 10 x 2 2 设总损失为 y 元 则 y 6 000 n 5 100 x 125nx 6 000 100 x 10 x 2 5 1 250 x x 2 100 x 2 31 450 62 500 x 2 2 31 450 36 450 6250 000 当且仅当 100 x 2 即 x 27 时 y 取最小值 62 500 x 2 答 需派 27 名消防员 才能使总损失最小 最小值为 36 450 元 22 本小题满分 14 分 已知等差数列 an 满足 a3 7 a5 a7 26 an 的前 n 项和为 Sn 1 求 an及 Sn 9 2 令 bn n N 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 1 an2 1 解析 1 设等差数列 an 的首项为 a1 公差为 d 由于 a3 7 a5