数学归纳法——四种类型题导学案

数学归纳法 数学归纳法 1 等式证明等式证明 一 知识梳理 1 证明与正整数有关的命题 可按下列步骤进行 1 2 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立 这种证明方法叫做数学归纳法 2 注意 1 适用范围 2 3 二 典例分析 例 1 数学归纳法证明 13 23 33 n3 n2 n 1 2 4 1 例 2 用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 三 巩固加强 1 已知等式 以下说法正确的是 2 222 574 12 2 nn n A 仅当时等式成立 B 仅当时等式成立1n 1 2 3 C 仅当时等式成立 D 为任何自然数时等式都成立1 2n n 2 设 f n n N 那么 f n 1 f n 等于 1 1 n2 1 n3 1 nn2 1 A B C D 12 1 n22 1 n12 1 n22 1 n12 1 n22 1 n 3 用数学归纳法证明 1 n n N n 1 时 由 n k k 1 不等式成立 2 1 3 1 12 1 n 推证 n k 1 时 左边应增加的项数是 A 2k 1 B 2k 1 C 2k D 2k 1 4 用数学归纳法证明 1 x x2 xn 1 成立时 验证 n 1 的过程中 N nx x xn 1 1 1 2 左边的式子是 A 1 B 1 x C 1 x x2 D 1 x x2 x3 x2 5 在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间 某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆 正三棱锥 形的展品 其中第 1 堆只有 1 层 就一个球 第堆最2 3 4 底层 第一层 分别按图 4 所示方式固定摆放 从第二层开始 每层的小球自然垒放在下一层之上 第堆第层就放一个乒nn 乓球 以表示第堆的乒乓球总数 则 f nn 3 f 答案用表示 f n n 6 用数学归纳法证明 1 3 6 n n 1 2 n n 1 n 2 6 7 用数学归纳法证明 1 1 2 1 3 1 4 1 2n 1 1 2n 1 n 1 1 n 2 1 2n 8 用数学归纳法证明 1 2 3 2 3 4 n n 1 n 2 n 1 n 2 n 3 n 4 数学归纳法 数学归纳法 2 猜想 归纳 证明猜想 归纳 证明 例 1 是否存在常数 a b c 使等式 对一切自然数 n 都成立 1223341 1 12 222 2 2 n n n n anbnc 并证明你的结论 例 2 在各项为正的数列中 数列的前 n 项和 Sn满足 n a 1 2 1 n nn a aS 1 求 2 由 1 猜想数列的通项公式 并且用数学归纳法证明你的猜想 321 aaa n a 巩固加强 1 用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n N 时 从 k 到 k 1 左边需增 乘的代数式是 A 2k 1 B C D 2k 1 k 1 2 2k 1 2k 3 k 1 2 3 2 1 2 1 3 1 2 1 1 1 k kkkk Sk 则 Sk 1 A Sk 1 2 1 k B Sk 1 1 22 1 kk C Sk 22 1 12 1 kk D Sk 22 1 12 1 kk 3 若把正整数按下图所示的规律排序 则从 2002 到 2004 年的箭头方向依次为 A B D C 1 23 45 67 89 1011 12 4 观察下表 设第 n 行的各数之和为 Sn 则 Sn 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 5 猜想 1 1 1 4 1 2 1 4 9 1 2 3 第 n 个式子为 6 已知 f x 记 f1 x f x n 2 时 fn x f fn 1 x 则 f2 x f3 x 2 1 x x f4 x 由此得 fn x 7 如图 第 n 个图形是由正 n 2 边形 扩展 而来 n 1 2 3 则第 n 2 个图形中共有 个顶点 8 数列中 猜想并证明之 n a 13 23 1 107 1 74 1 41 1 nn整整 整整 4321 SSSSSn 9 数列 n a的前n项和2 nn Sna 先计算数列的前 4 项 后猜想 n a并证明之 数学归纳法 数学归纳法 3 不等式证明不等式证明 例 1 数学归纳法证明 n 1 且 3 1 2 1 1 1 nnnn3 1 10 9 N n 例 2 数学归纳法证明 111 1 2 n nN 23n 例 3 数学归纳法证明 222 1111 1 1 23nn 且 1 已知 1 2 3 3 32 4 33 n 3n 1 3n na b c 对于一切 n N 都成立 那么 a b c 的值为 A a 1 2 b c 1 4 B a b c 1 4 C a 0 b c 1 4 D 不存在这样的 a b c 2 已知 证明不等式时 比 多的项数为 111 1 23 f nnN n 2 n f n 1 2kf 2kf A B C D 1 2k 1 2k 2k21 k 3 某个与自然数 n 有关的命题 若 n k 时 该命题成立 那么可推得当 n k 1 时该命题也成立 现 已知当 n 5 时该命题不成立 那么可推得 A 当 n 6 时命题不成立 B 当 n 6 时该命成立 C 当 n 4 时命题不成立 D 当 n 4 时命题成 立 4 用数学归纳法证明 1 2 1 3 1 2 1 2 1 1 1 2 1 12 1 4 1 Nn nnnnn 则从 k 到 k 1 时 左边应添加的项为 A 12 1 k B 42 1 22 1 kk C 22 1 k D 12 1 k 22 1 k 5 若要用数学归纳法证明 2n n2 n N 则仅当 n 取值范围是 时不等式才成立 6 数学归纳法证明 111113 nNn 1 1n 2n 32n24n 且 7 用数学归纳法证明 11121 1 1 1 nN n 1 352n 12 n 数学归纳法 数学归纳法 4 整除证明整除证明 例题一 用数学归纳法证明 3 2 n 2 8 n 9能被 64 整除 N n 例题二 用数学归纳法证明 整整整整yxNnyx nn 1212 巩固提高 1 用数学归纳法证明命题 当 n 是正奇数时 xn yn能被 x y 整除 在第二步时 正确的证法是 A 假设 n k k N 证明 n k 1 命题成立 B 假设 n k k 是正奇数 证明 n k 1 命题成立 C 假设 n 2k 1 k N 证明 n k 1 命题成立 D 假设 n k k 是正奇数 证明 n k 2 命题成立 2 对于不等式 n 1 n N 某同学用数学归纳法的证明过程如下 n2 n 1 当 n 1 时 1 1 不等式成立 12 1 2 假设当 n k k N 时 不等式成立 即 k 1 则当 n k 1 时 k2 k k 1 2 k 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 3 1 2 1 3 1 7 3 2 1 2 1 3 1 15 1 2 1 3 1 31 5 2 由此猜测第 n 个不等式为 n N 6 已知整数对的序列如下 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1