05~08年高考数学试卷(广东理).doc

2005年广东省高考数学试卷参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P（A+B）P（A）+P（B） 如果事件A、B相互独立，那么P（AB）P（A）P（B）第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 若集合，则MN（ ） A. 3 B. 0 C. 0，2 D. 0，3 2. 若，其中，i是虚数单位，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 5 3. （ ） A. B. 0 C. D. 4. 已知高为3的直棱柱ABCABC的底面是边长为1的正三角形（如图1所示），则三棱锥BABC的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m（ ） A. B. C. D. 6. 函数是减函数的区间为（ ） A. B. C. D.（0，2） 7. 给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面、的四个命题： 若； 若m、l是异面直线，； 若； 若 其中为假命题的是（ ） A. B. C. D. 8. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象关于直线对称。现将的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 11. 函数的定义域是 。 12. 已知向量则x 。 13. 已知的展开式中的系数与的展开式中x3的系数相等，则 。 14. 设平面内有n条直线（n3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点。若用表示这n条直线交点的个数，则 ；当n4时， 。（用n表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分12分） 化简（，），并求函数的值域和最小正周期。 16.（本小题满分14分） 如图3所示，在四面体PABC中，已知PABC6，PCAB10，AC8，PB。F是线段PB上一点，点E在线段AB上，且EFPB。 （）证明：PB平面CEF； （）求二面角BCEF的大小。图3 17.（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AOBO（如图4所示）。 （）求AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程； （）AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。图4 18.（本小题满分12分） 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t。现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以表示取球结束时已取到白球的次数。 （）求的分布列； （）求的数学期望。 19.（本小题满分14分） 设函数，且在闭区间0，7上，只有 （）试判断函数的奇偶性； （）试求方程在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论。 20.（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）。将矩形折叠，使A点落在线段DC上。 （）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（）求折痕的长的最大值。试题答案一、选择题 1. B2. D3. A4. D5. B 6. D7. C8. C9. A10. B二、填空题 11. x|x2时，=0，所以m=220解：对任意,所以对任意的，所以0,令=，所以反证法:设存在两个使得,则由，得，所以，矛盾，故结论成立。，所以+2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学（理科）参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高 如果事件互斥，那么如果事件相互独立，那么 用最小二乘法求线性回归方程系数公式，一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1已知函数的定义域，的定义域为，则=（ ）ABCD2若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数），则（ ）A2BCD3若函数，则是（ ）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的偶函数4客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达内地下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程与时间之间关系的图象中，正确的是（）s(km)s(km)s(km)s(km)160160160160140120140120140120140120100100100100808080806060606000000321321321321DCBAt(h)t(h)t(h)t(h)5已知数列的前项和，第项满足，则（ ）A9B8C7D66图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为（如表示身高（单位：cm）在内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图现要统计身高在160180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（） 图1图2开始输入结束否是50100150200250300350400450500550600145150155160165170175180185190195人数/人身高/cm图37图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给四个维修点某种配件各50件在使用前发现需将四个维修点的这批配件分别调整为，件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为）为（）8设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对（），在中有唯一确定的元素与之对应）若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（ ）ABCD二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分其中1315题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分9甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率为 （答案用分数表示）10若向量满足，与的夹角为，则 图411在平面直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是 12如果一个凸多面体是棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条，这些直线中共有对异面直线，则 ； （答案用数字或的解析式表示）图513（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（参数），圆的参数方程为（参数），则圆的圆心坐标为 ，圆心到直线的距离为 14（不等式选讲选做题）设函数，则 ；若，则的取值范围是 15（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆的直径，为圆周上一点，过作圆的切线，过作的垂线，分别与直线、圆交于点，则 ，线段的长为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知顶点的直角坐标分别为，（1）若，求的值；（2）若是钝角，求的取值范围17（本小题满分12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据34562.5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）已知该厂技改前吨甲产品的生产能耗为吨标准煤试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：）18（本小题满分14分）在平面直角坐标系，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为（1）求圆的方程；（2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由19（本小题满分14分）图6PEDFBCA如图6所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积（1）求的表达式；（2）当为何值时，取得最大值？（3）当取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值20（本小题满分14分）已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求取值范围21（本小题满分14分）已知函数，是方程的两个根（），是的导数，设，（1）求的值；（2）证明：对任意的正整数，都有；（3）记，求数列的前项和2008年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理科) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（ C ）ABCD【解析】，而，即， 2记等差数列的前项和为，若，则（ D ）A16B24C36D48【解析】，故一年级二年级三年级女生373男生3773703某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）A24B18C16D12 表1【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为4若变量满足则的最大值是（ C ）A90 B80 C70 D40【解析】画出可行域,利用角点法易得答案C.5将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）EFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEABEBBECBED【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.6已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ）ABCD【解析】不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而上述叙述中只有 为真命题7设，若函数，有大于零的极值点，则（ B ）ABCD【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时,显然有,此时，由我们马上就能得到参数的范围为.8在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ B ）ABCD开始n整除a?是输入结束输出图3否【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出,然后利用向量的加减法则易得答案B.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（912题）9阅读图3的程序框图，若输入，则输出 ， （注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”）【解析】要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍数12，即此时有。10已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则 【解析】按二项式定理展开的通项为，我们知道的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1。11经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 【解析】易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为。12已知函数，则的最小正周期是 【解析】,此时可得函数的最小正周期。二、选做题（1315题，考生只能从中选做两题）13（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，则曲线与交点的极坐标为 【解析】我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为。14（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 【解析】方程即,利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数的取值范围为15（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，是圆的直径，与圆交于点，则圆的半径 【解析】依题意，我们知道,由相似三角形的性质我们有,即。三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本小题满分13分）已知函数，的最大值是1，其图像经过点（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值【解析】（1）依题意有，则，将点代入得，而，故；（2）依题意有，而，。17（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润（单位：万元）为（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【解析】的所有可能取值有6，2，1，-2；，故的分布列为：621-20.630.250.10.02（2）（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为依题意，即，解得 所以三等品率最多为18（本小题满分14分）设，椭圆方程为，抛物线方程为如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）【解析】（1）由得，AyxOBGFF1图4当得，G点的坐标为，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线