二面角大小求法的归类分析

P QM N B O D A B 二面角大小的求法的归类分析二面角大小的求法的归类分析 二面角大小的求法中知识的综合性较强 方法的灵活性较大 一般而言 二面角的大小往往转化为其平面角的大小 从而又化归为三角形的内角大小 在其求解过程中 主要是利用平面几何 立体几何 三角函数等重要知识 求 二面角大小的关键是 根据不同问题给出的几何背景 恰在此时当选择方法 作出二面角的平面角 有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小 现 将二二面角大小的求法归类分析如下 一 定义法 直接在二面角的棱上取一点 特殊点 分别在两个半平面内作 棱的垂线 得出平面角 用定义法时 要认真观察图形的特性 例 1 在四棱锥 P ABCD 中 ABCD 是正方形 PA 平面 ABCD PA AB a 求二面角 B PC D 的大小 二 三垂线法 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线 用三垂线定理 或逆定理作出二面角的平面角 例 2 在四棱锥 P ABCD 中 ABCD 是平 行四边形 PA 平面 ABCD PA AB a ABC 30 求二面角 P BC A 的大小 三 垂面法 已知二面角内一点到两个面的垂线时 过两垂线作平面与两 个半平面的交线所成的角即为平面角 由此可知 二面角的平面角所在的 平面与棱垂直 例 3 在四棱锥 P ABCD 中 ABCD 是正方形 PA 平面 ABCD PA AB a 求 B PC D 的大小 四 射影法 利用面积射影公式 S射 S原cos 其中为平面角的大小 此方法不必在图形中画出平面角 例 3 在四棱锥 P ABCD 中 ABCD 为正方形 PA 平面 ABCD PA AB a 求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小 五 对于一类没有给出棱的二面角 应先延伸两个半平面 使之相交出现棱 然后再选用上述方法 尤其要考虑射影法 例 5 在四棱锥 P ABCD 中 ABCD 为正方形 PA 平面 ABCD PA AB a 求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角 的大小 补形化为定义法 由此可见 二面角的类型和求法可用框图展现如下 p A BC D L H j A B C D P H j A B C D P H l A B C D P 基础练习基础练习 1 二面角是指 A 两个平面相交所组成的图形 B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形 C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形 D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 2 平面 与平面 都相交 则这三个平面可能有 A 1 条或 2 条交线 B 2 条或 3 条交线 C 仅 2 条交线 D 1 条或 2 条或 3 条交线 3 在 300的二面角的一个面内有一个点 若它到另一个面的距离是 10 则它 到棱的距离是 A 5 B 20 C D210 2 25 4 在直二面角 l 中 Rt ABC 在平面 内 斜边 BC 在棱 l 上 若 AB 与面 所成的角为 600 则 AC 与平面 所成的角为 A 300 B 450 C 600 D 1200 5 如图 射线 BD BA BC 两两互相垂直 AB BC 1 BD 2 6 则弧度数为的二面角是 3 A D AC B B A CD B C A BC D D A BD C 6 ABC 在平面 的射影是 A1B1C1 如果 ABC 所在平面和平面 成 角 有 A S A1B1C1 S ABC sin B S A1B1C1 S ABC cos C S ABC S A1B1C1 sin D S ABC S A1B1C1 cos 7 如图 若 P 为二面角 M l N 的面 N 内一点 PB l B 为垂足 A 为 l 上一点 且 PAB PA 与平面 M 所成角为 二面 角 M l N 的大小为 则有 A sin sin sin B sin sin sin C sin sin sin D 以上都不对 8 在 600的二面角的棱上有两点 A B AC BD 分别是在这个二面角的两个面 内垂直于 AB 的线段 已知 AB 6 AC 3 BD 4 则 CD 9 已知 ABC 和平面 A 300 B 600 AB 2 AB 且平面 ABC 与 所成角为 300 则点 C 到平面 的距离为 10 正方体 ABCD A1B1C1D1中 平面 AA1C1C 和平面 A1BCD1所成的二面角 锐角 为 11 已知菱形的一个内角是 600 边长为 a 沿菱形较短的对角线折成大小为 600的二面角 则菱形中含 600角的两个顶点间的距离为 12 如图 ABC 在平面 内的射影为 ABC1 若 ABC1 BC1 a 且 平面 ABC 与平面 所成的角为 求点 C 到平面 的距离 13 在二面角 AB 的一个平面 内 有一直线 AC 它与棱 AB 成 450角 AC 与平面 成 300角 求二面角 AB 的度数 深化练习深化练习 14 若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为 a 和 到棱的距离为a2 2a 则此二面角的度数是 15 把等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折成一个二面角 若 BAC 600 则此二面角的度数是 16 如图 已知正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在平面成 600的二面角 求直线 BD 与平面 ABEF 所成角的正弦值 17 如图 在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 求 1 面 A1ABB1与面 ABCD 所成角的大小 2 二面角 C1 BD C 的正切值 A BC D A B M N P l A B C1 C A F EB D C AB C D A 1 D 1 C 1 B 1 P QM N B O D A B 二面角大小的求法答案二面角大小的求法答案 1 AB AD a PAAB PAADPBPD ABADa PBPD BCDCPBDPDC PCPC 过 B 作 BH PC 于 H 连结 DH DH PC 故 BHD 为二面角 B PC D 的平面角 因 PB a BC a PC a PB BC S PBC PC BH23 1 2 1 2 则 BH DH 又 BD 3 a 2a 在 BHD 中由余弦定理 得 cos BHD 22 2 222 66 2 33 1 2266 2 33 aaa BHDHBD BH BD aa A 又 0 BHD 则 BHD 二面角 B PC D 的大小是 2 3 2 3 2 解 三垂线法 如图 PA 平面 BD 过 A 作 AH BC 于 H 连结 PH 则 PH BC 又 AH BC 故 PHA 是二面角 P BC A 的平面角 在 Rt ABH 中 AH ABsin ABC aSin30 2 a 在 Rt PHA 中 tan PHA PA AH 则 PHA arctan2 2 2 a a 3 解 垂面法 如图 PA 平面 BD BD AC BD BC 过 BD 作平面 BDH PC 于 H PC DH BH BHD 为二面角 B PC D 的平面角 因 PB a BC a PC a PB BC S PBC PC BH23 1 2 1 2 则 BH DH 又 BD 在 BHD 中由余弦定理 得 3 a 2a cos BHD 又 22 2 222 66 2 33 1 2266 2 33 aaa BHDHBD BH BD aa A 0 BHD 则 BHD 二面角 B PC D 的大小是 2 3 2 3 4 解 面积法 如图 ADPA ADABADPBAA PAABA 于 同时 BC 平面 BPA 于 B 故 PBA 是 PCD 在平面 PBA 上的射影 设平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角大小为 则 cos 45 2 2 PBA PCD s S 5 解 补形化为定义法 如图 将四棱锥 P ABCD 补形得正方体 ABCD PQMN 则 PQ PA PD 于是 APD 是两面所成二面角的平面角 在 Rt PAD 中 PA AD 则 A