高中数学复习学案(第39讲) 两直线的位置关系.doc

题目 第七章直线和圆的方程两直线的位置关系高考要求 掌握两条直线相交、平行、垂直、重合等位置关系的判别方法，两条直线的夹角公式和到角公式，点到直线的距离公式及两条平行线间的距离公式 知识点归纳1特殊情况下的两直线平行与垂直当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90，另一条直线的倾斜角为0，两直线互相垂直2斜率存在时两直线的平行与垂直：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即=且 已知直线、的方程为：，：的充要条件是 两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是和，则这两条直线垂直的充要条件是已知直线和的一般式方程为：，：，则3直线到的角的定义及公式：直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的角,叫做到的角 到的角：0180， 如果如果， 4直线与的夹角定义及公式: 到的角是, 到的角是-,当与相交但不垂直时, 和-仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角当直线时,直线与的夹角是夹角：090如果如果， 5两条直线是否相交的判断两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：是否有惟一解6点到直线距离公式：点到直线的距离为：7两平行线间的距离公式已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为 8 直线系方程:若两条直线：，：有交点，则过与交点的直线系方程为或+ (为常数)题型讲解 例1 点关于直线的对称点是 A（6，8） B(8，6) C（6，8） D（6，8）解：设点关于直线的对称点为，由轴对称概念的中点在对称轴上，且与对称轴垂直，则有 解得，故选D点评：对称问题可化为点关于点对称，点关于直线对称的问题例2 在ABC中，BC边上的高所在的直线方程是x2y+1=0,A的平分线所在的直线方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标解：由A(1,0)又kAB=1, x轴是A的平分线, kAC=1,AC: y=(x+1), 又kBC=2, BC: y2=2(x1)由C(5,6)点评：分析出图形，是此题的要点例3 已知等腰直角三角形ABC中，C90，直角边BC在直线2+3y-6=0上，顶点A的坐标是(5，4)，求边AB和AC所在的直线方程解：直线BC的斜率kBC，直线AC与直线BC垂直，直线AC的方程为y4（5）即32y70ABC45，kAB5或kABAB边所在的直线方程为:y4（5）或y45（5）即5y150或5y290 说明：此题利用等腰直角三角形的性质，得出ABC45，再利用夹角公式，求得直线AB的斜率，进而求得了直线AB的方程例4 求证：不论为什么实数，直线都通过一定点证法一：取1，得直线方程；再取，得直线方程为x9从而得两条直线的交点为(9，），又当9，时，有即点(9，）在直线上，故直线都通过定点(9，）证法二：，（x21）（x5）0，则直线都通过直线210与50的交点由方程组，解得9，即过点(9，）所以直线经过定点(9，)证法三：（，（21）5由为任意实数，知关于的一元一次方程（21）5的解集为R，解得9，所以直线都通过定点(9，）例5 k为何值时，直线：yk3k2与直线：4y40的交点在第一象限解：由两直线的交点在第一象限k1即当k1时，两直线的交点在第一象限说明：k为何值时，两直线的交点在第一象限，可以解两直线的方程组成的方程组，求出交点坐标，让横坐标大于0，纵坐标大于0，而后解不等式组即得k的范围例6 若，求证直线必经过一个定点证明：由，且不同时为0，设0，则代入直线方程，得(）（1）0此方程可视为过直线0与10的交点的直线系方程解方程组得1，1即两直线交点为(1，1），故直线过定点(1，1)点评：以上例题是直线系的应用问题例7 光线由点射出，遇到直线：后被反射，已知其，求反射光线所在直线的方程解：设点A关于的对称点为，则即所求直线方程为，即 点评：以上例题是点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线的求解问题例8 求直线:2+-5=0,: +3-4=0的夹角，到的角，到的角 解：由两条直线的斜率=-2,=-，得tan=，tan1，=-点评:夹角是指两条直线所夹的锐角，不用考虑顺序一条直线到另一条直线的角(简称为“到角”)有直线的先后顺序问题，其范围应大于0且小于 例9 求经过点(2，3)且经过以下两条直线的交点的直线的方程：:+3y-4=0, :5+2y+6=0解法一：解方程组,所以与的交点是(-2,2)，由两点式得所求直线的方程为,即-4y+10=0解法二:可设所求直线方程为+3y-4+(5+2y+6)=0(R），点(2，3)在直线上2334（5223）0，所求直线方程为+3y-4+(-)(5+2y+6)=0即-4y+10=0例10 求点P（3，2）到下列直线的距离： (1)y；（2）y6；（3）y轴解：(1)把方程y写成34y10由点到直线的距离公式得d (2)因为直线y=6平行于轴，所以d6（2）8（3）d33说明：求点到直线的距离，一般先把直线的方程写成一般式，对于与坐标轴平行的直线，=a或y=b，求点到它们的距离，既可用点到直线的距离公式也可以直接写成dx0a或dy0b例11 求与直线：5-12y+6=0平行且到的距离为2的直线的方程解：设所求直线的方程为5-12y+c=0在直线5-12y+6=0上取一点P0（0，），点P0到直线5-12y+c=0的距离为d=，由题意得=2所以c=32或c=-20所以所求直线的方程为5-12y+32=0和5-12y-20=0说明：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离即把两平行线之间的距离，转化为点到直线的距离例12 已知正方形的中心为G（1，0），一边所在直线的方程为3y50，求其他三边所在直线方程解：正方形中心G(1，0)到四边距离均为设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为3yc10则，即c11解得c15或c17故与已知边平行的直线方程为+3y+7=0设正方形另一组对边所在直线方程为3yc20则，即c236解得c29或c23所以正方形另两边所在直线的方程为3-y+9=0和3-y-3=0综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为：+3y+7=0、3-y+9=0、3-y-3=0 说明：本例解法抓住正方形的几何性质，利用点到直线的距离公式，求得了正方形其他三边所在直线的方程小结： 1数形结合是解析几何的突出特点，在解解析几何题时应予以足够重视，并注意利用平面几何知识加以简化;2解析几何问题往往在解题时入手的地方较多，但不同的解法繁简程度则大有区别，故在平时训练中应注意采用一题多解的方法，这样做一可以训练基本技能，二有利于开拓思路，优化解题方案3直线的各种形式均有它的优越性，应在不同的题设下灵活运用，要注意当直线斜率不存在时的特殊情况4在解析几何中，设而不求往往是简化计算的重要方法之一5在两条直线的位置关系中，讨论最多的是平行与垂直，在两条直线的夹角公式中，当分子为0时，两条直线斜率相等，平行；当分母为0时，不存在，90，垂直学生练习 1到直线2x+y+1=0的距离为的点的集合是(D )A直线2x+y2=0 B直线2x+y=0C直线2x+y=0或直线2x+y2=0 D直线2x+y=0或直线2x+2y+2=02点P(mn,m)到直线=1的距离等于(A )A B C D3若A(sin，cos）、B（cos，sin）到直线xcos+ysin+p=0(p1)的距离分别为m、n，则m、n的大小关系是( A )Amn Bmn Cmn Dmn4已知点(3，m)到直线x+y4=0的距离等于1，则m等于(D )A B C D 或5直线l过点P(1，2)，且M(2，3)，N(4，5)到的距离相等，则直线的方程是(C )A4x+y6=0 Bx+4y6=0C3x+2y7=0或4x+y6=0 D2x+3y7=0或x+4y6=06点P(x,y)到直线5x12y+13=0和直线3x4y+5=0的距离相等，则点P的坐标应满足的是(A)A32x56y+65=0或7x+4y=0 Bx4y+4=0或4x8y+9=0C7x+4y=0 Dx4y+4=07已知直线：A1x+B1y+C10与直线：A2x+B2y+C20相交，则方程1（A1xB1yC1）2（A2x+B2y+C2）=0,(0)表示(A )A过与交点的一切直线B过与的交点，但不包括可包括的一切直线C过与的交点，但包括不包括的一切直线D过与的交点，但既不包括又不包括的一切直线8方程(a1)xy+2a+1=0(aR)所表示的直线(A )A恒过定点(2,3) B恒过定点(2，3)C恒过点(2,3)和点(2，3) D都是平行直线9点(3，9)关于直线x+3y10=0对称的点的坐标是( A )A(1,3) B(17,9) C(1,3) D(17,9)10下列直线中与直线y+1=x平行的直线是(A )A2x3y+m=0(m3) B2x3y+m=0(m1)C2x+3y+m=0(m3) D2x+3y+m=0(m1)11已知M(1，0)、N(1，0)，直线2x+y=b与线段MN相交，则b的取值范围是(A )A2,2 B1，1 C， D0，212已知两点A(0,1),B(1,0),若直线y=k(x+1)与线段AB总有公共点，则k的取值范围是( B )A1,1 B0,1 C1,0 D0,+)13 直线经过原点和点（,），则它的倾斜角是（ ）A B C 或 D 答案：A14两平行直线和间的距离是（ ）A B C D答案：B解析：化成一般式，由平行线距离公式15如果直线与直线互相垂直，那么的值等于A B C D答案：D解析：直线互相垂直，16两直线与的夹角是（ ）A B C D 答案：B解析：17已知直线2x+y2=0和mxy+1=0的夹角为/4, 那么m的值是 (1/3或3 )5过点A(3，0)，且平行于直线的直线方程是_ 答案：18点（2，5）关于直线的对称点的坐标是_答案：（5，2）19直线y=k(x1)(kR)表示经过点到 且不与 垂直的直线答案：(1，0)；x轴20若方程(6a2a2)x+(3a25a+2)y+(a1)=0表示平行于y轴的直线，则a的值 答案：不存在21已知直线：y=x与：y=x，在两直线的上方有一点P，过P分别作、的垂线，垂足为A、B已知PA2，PB2求(1)P点坐标；(2)AB的值答案：(1)(0，4) （2）22三角形的三个顶点坐标分别是A(4，1)、B(7，5)、C(4,7)，求角A的平分线方程答案：7x+y29=023已知一直线被两直线：3x+4y7=0和：3x+4y+8=0截得的线