2019届高考数学总复习模块四立体几何与空间向量第12讲空间几何体、空间中的位置关系学案理

第第 1212 讲讲 空间几何体 空间中的位置关系空间几何体 空间中的位置关系 1 1 2018 全国卷 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来 构件的凸出部分叫榫头 凹进部分叫卯眼 图 M4 12 1 中木构件右边的小长方体是榫头 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体 则咬合时 带卯眼的木构件的俯视图可以是 图 M4 12 1 图 M4 12 2 2 2013 全国卷 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 画该四面体三视图中的正视图时 以zOx平面为投影面 则得到的正视图可以为 图 M4 12 3 试做 命题角度 由直观图求三视图的问题 关键一 注意正视图 侧视图和俯视图的观察方向 关键二 注意看到的轮廓线和棱是实线 看不到的轮廓线和棱是虚线 2 2017 全国卷 某多面体的三视图如图 M4 12 4 所示 其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组 成 正方形的边长为 2 俯视图为等腰直角三角形 该多面体的各个面中有若干个是梯形 这些梯形的面积之和为 A 10B 12C 14D 16 图 M4 12 4 试做 命题角度 与三视图有关的几何体的表面积和体积问题 1 关键一 由三视图想象几何体的结构特征 并画出该几何体的空间图形 关键二 搞清楚几何体的尺寸与三视图尺寸的关系 关键三 利用外部补形法 将几何体补成长方体或正方体等常见几何体 2 看三视图时 需注意图中的虚实线 3 求不规则几何体的表面积和体积时 通常将所给几何体分割为基本的柱 锥 台体 3 1 2018 全国卷 已知圆锥的顶点为S 母线SA SB所成角的余弦值为 SA与圆锥底面所成角为 45 若 7 8 SAB的面积为 5 则该圆锥的侧面积为 15 2 2018 全国卷 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AC1与平面BB1C1C所成的角为 30 则该长方体的体 积为 A 8B 6C 8D 8 223 试做 命题角度 空间几何体的面积与体积 1 求规则几何体的体积 只需确定底面与相应的高 而求一些不规则几何体的体积往往需采用分割或补形思想 转化求解 2 求组合体的表面积时 需注意组合体衔接部分的面积 分清侧面积和表面积 4 1 2017 全国卷 如图 M4 12 5 在下列四个正方体中 A B为正方体的两个顶点 M N Q为所在棱的中点 则在这四个正方体中 直线AB与平面MNQ不平行的是 A B C D 图 M4 12 5 2 2016 全国卷 是两个平面 m n是两条直线 有下列四个命题 如果m n m n 那么 如果m n 那么m n 如果 m 那么m 如果m n 那么m与 所成的角和n与 所成的角相等 其中正确的命题有 填写所有正确命题的编号 试做 命题角度 空间中线面位置关系的判定 关键一 逐个寻找反例作出否定的判断 逐个进行逻辑证明作出肯定的判断 关键二 结合长方体模型或实际空间位置作出判断 但要注意准确应用定理 考虑问题全面细致 5 1 2018 全国卷 设A B C D是同一个半径为 4 的球的球面上四点 ABC为等边三角形且其面积为 9 3 则三棱锥D ABC体积的最大值为 A 12B 18C 24D 54 3333 2 2016 全国卷 在封闭的直三棱柱ABC A1B1C1内有一个体积为V的球 若AB BC AB 6 BC 8 AA1 3 则V的 最大值是 A 4 B C 6 D 9 2 32 3 试做 命题角度 多面体与球 1 解决与球有关的组合体问题 关键一 分清球是内切还是外接 关键二 确定球心在多面体中的位置 确定球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系 关键三 球的每个截面都是圆 2 设正四面体的棱长为a 则其外接球的半径R a 内切球的半径r a 6 4 6 12 6 2018 全国卷 已知正方体的棱长为 1 每条棱所在直线与平面 所成的角都相等 则 截此正方体所得 截面面积的最大值为 A B C D 33 4 23 3 32 4 3 2 试做 命题角度 解决平面截正方体所形成的图形问题 关键一 根据已知条件确定所求平面或与所求平面平行的平面 关键二 根据平面特点利用数形结合思想确定截面形状 7 1 2018 全国卷 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 1 AA1 则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 3 A B C D 1 5 5 6 5 5 2 2 2 2017 全国卷 已知直三棱柱ABC A1B1C1中 ABC 120 AB 2 BC CC1 1 则异面直线AB1与BC1所成角的 余弦值为 A B C D 3 2 15 5 10 5 3 3 试做 命题角度 解决异面直线所成角问题 1 关键一 先通过作图 三角形中位线 平行四边形补形 来构造平行线 再通过解三角形求解 关键二 补形法 补成长方体 正方体 求解 2 当异面直线所成角为 时 两异面直线互相垂直 2 3 用空间向量法解决 小题 1 空间几何体的三视图与直观图 1 1 如图 M4 12 6 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F G分别为棱CD CC1 A1B1的中点 用过点E F G的平面截正 方体 则位于截面以下部分的几何体的侧视图为 A B C D 图 M4 12 6 图 M4 12 7 2 已知某几何体的三视图如图 M4 12 8 所示 则该几何体最长棱的长为 图 M4 12 8 A 5 B 6 C 7 D 2 2 听课笔记 考场点拨 识别三视图应注意以下几方面 1 看线型 是线段 虚线还是曲线 确定此几何体是简单多面体还是旋转体 2 分部分 想整体 看是简单几何体还是组合体 3 对比一些熟悉的三视图模型分析 如正方体 圆锥 三棱锥 的三视图模型 自我检测 1 某几何体的正视图与俯视图如图 M4 12 9 则其侧视图可能是 图 M4 12 9 A B C D 图 M4 12 10 2 某几何体的三视图如图 M4 12 11 所示 则此几何体的各个面中最大面的面积为 A 2B 2C 3D 2 232 图 M4 12 11 3 2018 北京卷 某四棱锥的三视图如图 M4 12 12 所示 在此四棱锥的侧面中 直角三角形的个数为 A 1B 2C 3D 4 图 M4 12 12 4 如图 M4 12 13 所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 P为BD1的中点 则 PAC在该正方体各个面上的射影可能是 图 M4 12 13 图 M4 12 14 A B C D 小题 2 空间几何体的表面积与体积 2 1 已知矩形ABCD中 AB 2BC 把这个矩形分别以BC AB所在直线为轴旋转一周 所成几何体的侧面积分别记 为S1 S2 则S1与S2的比值为 A B 1 1 2 C 2D 4 2 在三棱锥D ABC中 CD 底面ABC ABC为正三角形 若AE CD AB CD AE 2 则三棱锥D ABC与三棱锥E ABC的公共部分构成的几何体的体积为 A B 3 9 3 3 C D 1 33 听课笔记 考场点拨 高考中求几何体的表面积和体积易失分点 1 计算表面积时 有些面没有计算到 有遗漏 2 求组合体的表 面积时没注意重合部分的面积 自我检测 1 某几何体的三视图如图 M4 12 15 所示 则该几何体的表面积为 图 M4 12 15 A 12 8 2 B 12 6 2 C 14 6 2 D 16 8 2 2 在三棱柱ABC A1B1C1中 D E分别为棱BC A1C1的中点 过A D E的截面把三棱柱分成两部分 则这两部分的体 积之比为 A 5 3B 2 1 C 17 7D 3 1 3 九章算术 是我国古代数学名著 它在几何学中的研究比西方早一千多年 例如 堑堵 指的是底面为直角 三角形 且侧棱垂直于底面的三棱柱 阳马 指的是底面为矩形 一侧棱垂直于底面的四棱锥 如图 M4 12 16 所 示 在堑堵ABC A1B1C1中 AC BC A1A AB 2 当堑堵ABC A1B1C1的侧面积取得最大值时 阳马B A1ACC1的体积为 图 M4 12 16 A 4 3 B 8 3 C 4 D 43 3 小题 3 多面体与球 角度 1 外接球问题 3 在矩形ABCD中 AB 4 BC 3 将 ABC沿AC折起 当平面ABC 平面ACD时 四面体ABCD的外接球的体积是 A B 125 12 125 9 C D 125 6 125 3 听课笔记 考场点拨 解决多面体的外接球问题 关键是确定球心位置 方法是先选择多面体中的一面 确定此面多边形外接圆的圆 心 再过此圆心作垂直于此面的垂线 则球心一定在此垂线上 最后根据其他顶点情况确定球心的准确位置 对于 特殊的多面体还可以通过补成正方体或长方体的方法找到球心位置 自我检测 1 在三棱锥S ABC中 SB BC SA AC SB BC SA AC AB SC 且三棱锥S ABC的体积为 则该三棱锥的外接球 1 2 93 2 半径是 A 1B 2 C 3D 4 2 设直三棱柱ABC A1B1C1的所有顶点都在一个球面上 且球的表面积是 40 若AB AC AA1 BAC 则此直三 2 3 棱柱的高是 角度 2 内切球问题 4 设正三棱锥P ABC的高为H 且此三棱锥内切球的半径为R 若二面角P AB C的正切值为 则 35 H R A 5B 6 C 7D 8 听课笔记 考场点拨 解决多面体的内切球问题 一般是将多面体分割为以球心为顶点 多面体的各面为底面的棱锥 利用多面体的 体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径 自我检测 1 在三棱锥P ABC中 侧棱PA PB 2 PC 当三棱锥P ABC的三个侧面的面积之和最大时 三棱锥P ABC内切 6 球的表面积是 A 32 8 B 32 16 66 C 40 8 D 40 16 66 2 已知圆锥的高为 3 侧面积为 20 若此圆锥内有一个体积为V的球 则V的最大值为 小题 4 空间线面位置关系的判断 角度 1 线面位置关系 5 1 已知直线l m 平面 且l m 给出下列说法 若 则l m 若 则l m 若l m 则 若l m 则 其中正确说法的序号是 A B C D 2 如图 M4 12 17 在正方形ABCD中 E F分别是AB BC的中点 G是EF的中点 沿DE EF FD将正方形折起 使 A B C重合于点P 构成四面体 则在四面体P DEF中 给出下列结论 PD 平面PEF PD EF DG 平面PEF DF PE 平面PDE 平面PDF 其中正确结论的序号是 图 M4 12 17 A B C D 听课笔记 考场点拨 判断空间点 线 面的位置关系 主要依赖于四个公理 平行关系和垂直关系的有关定义及定理 具体处理时 可以构建长方体或三棱锥等模型 把要考查的点 线 面融入模型中 使判断简洁明了 如要否定一结论 只需找 到一个反例即可 自我检测 1 已知 是两个不同的平面 l是一条直线 给出下列说法 若l 则l 若l 则 l 若l 则l 若l 则l 其中正确说法的个数为 A 3B 2 C 1D 0 2 若l m为两条不同的直线 为一个平面 且l 则 m 是 m l 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 角度 2 异面直线所成的角 线面角 6 1 已知 ABC与 BCD均为正三角形 且AB 4 若平面ABC与平面BCD垂直 且异面直线AB与CD所成的角 为 则 cos A B 15 4 15 4 C D 1 4 1 4 2 已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直 体积为 底面是边长为的正三角形 若P为底面A1B1C1的中心 9 43 则PA与平面ABC所成角的大小为 A B 5 12 3 C D 4 6 听课笔记 考场点拨 1 求异面直线所成的角 一般是通过平移构建三角形求解 要注意异面直线所成的角是锐角或直角 若计算 出钝角 其补角才是异面直线所成的角 2 求直线与平面所成角的关键是过直线上一点作出这个平面的垂线 进而直线与直线在平面内的射影所成 的角即为直线与平面所成的角 3 当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系 利用向量求解 自我检测 1 如图 M4 12 18 所示为一个半圆柱 ADE是等腰直角三角形 F是线段CD的中点 AB 4 该半圆柱的体积为 18 则异面直线AB与EF所成角的正弦值为 图 M4 12 18 A 33 11 B 311 11 C 22 11 D 2 3 2 在四边形ABCD中 AD AB 2 CD CB 且AD AB 现将 ABD沿BD翻折到 A BD的位置 则在 ABD折起至与 6 平面BCD重合的过程中 直线A C与平面BCD所成角最大时的正弦值为 A B 5 5 3 3 C D 1 2 2 2 角度 3 截面问题 7 1 在棱长为 2 的正方体ABCD A1B1C1D1中 E为棱AD的中点 过点B1且与平面A1BE平行的截面面积为 A 5B 2 5 C 2D 6 6 2 已知棱长为 2 的正方体ABCD A1B1C1D1中 球O与该正方体的各面都相切 则平面ACD1截此球所得的截面面积 为 A B 8 3 5 3 C D 4 3 2 3 听课笔记 考场点拨 几何体截面面积问题 关键是确定截面图形的位置 形状 所经过的点 截面面积根据有关数量进行计算 自我检测 1 已知一个棱长为 2 的正方体被一个平面截后所得几何体的三视图如图 M4 12 19 所示 则该截面的面积为 A 9 2 B 4 C 3 D 310 2 图 M4 12 19 2 过半径为 4 的球O表面上一点A作球O的截面 若OA与该截面所成的角为 30 则该截面的面积是 模块四 立体几何与空间向量 第 12 讲 空间几何体 空间中的位置关系 典型真题研析 1 1 A 2 A 解析 1 卯眼的空间立体图如图 同时需要注意 在三视图中看不见的线用虚线表示 故选 A 2 在空间直角坐标系O xyz中画出三棱锥 由已知可知三棱锥O ABC为题中所描叙的四面体 而其在zOx平面上 的投影为正方形EBDO 故选 A 2 B 解析 该几何体为一个三棱柱和一个三棱锥的组合体 其直观图如图所示 各个面中有两个全等的梯形 其 面积之和为 2 2 12 2 4 2 3 1 40 2 C 解析 1 设圆锥的底面圆的半径为r 因为SA与圆锥底面所成角为 45 所以SA r 由 22 cos ASB 得 sin ASB 所以SA SB sin ASB r r 5 所以r2 40 所以圆锥的侧面 7 8 15 8 1 2 1 222 15 815 积为 r2 40 22 2 如图 连接BC1 易知 AC1B即为AC1与平面BB1C1C所成的角 由题易知 AC1B 30 易得AC1 2AB 4 设BB1 h 则 有 42 22 22 h2 解得h 2 所以该长方体的体积V 2 2 2 8 222 4 1 A 2 解析 因为M N Q分别为对应棱的中点 所以在选项 B C 中均有AB MQ 在选项 D 中 有 AB NQ 所以在选项 B C D 中均有AB与平面MNQ平行 所以选 A 2 对于 m n m n 则 的位置关系无法确定 故错误 对于 因为n 所以可过直线n作平 面 与平面 相交于直线c 则n c 因为m 所以m c 所以m n 故正确 对于 由两个平面平行的性 质可知其正确 对于 由线面所成角的定义和等角定理可知其正确 故正确的有 5 1 B 2 B 解析 1 由题易知当点D到平面ABC的距离最大时 三棱锥D ABC的体积最大 S ABC AB2 9 AB 6 设 ABC的中心为M 由等边三角形的性质得 3 43 AM BM CM 2 设球心为O 则OA OB OC 4 3 OM 2 OB2 BM2 点D到平面ABC的距离的最大值为OM 4 6 故三棱锥D ABC体积的最大值为 9 6 18 1 333 2 当球与三侧面相切时 设球的半径为r1 AB BC AB 6 BC 8 8 r1 6 r1 10 解得r1 2 不合题意 当球与直 三棱柱的上 下底面相切时 设球的半径为r2 则 2r2 3 即r2 球的体积V的最大值为 3 2 4 3 3 2 3 9 2 6 A 解析 平面 与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等 只需与过同一顶点的三条棱所成的角相等即 可 如图 AP AR AQ 则平面PQR与正方体过点A的三条棱所成的角相等 若点E F G H M N分别为相应棱的中点 易证得平面EFGHMN平行于平面PQR 且六边形EFGHMN为正六边形 正方体棱长为 1 所以正六边形EFGHMN的边长 为 可得此正六边形的面积为 而在四个选项中 选项 B C D 中的值都小于 所以选 A 2 2 33 4 33 4 7 1 C 2 C 解析 1 方法一 以D为坐标原点 DA DC DD1所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系 如图所示 则A 1 0 0 D1 0 0 B1 1 1 所以 1 0 1 1 所以 cos 33 AD1 3 DB1 3 AD1DB1 所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 1 1 3 1 3 1 1 3 5 5 5 5 方法二 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1的面ABB1A1的一侧再补填一个完全一样的长方体ABC2D2 A1B1B2A2 连接 AB2 B2D1 易知AB2 DB1 所以异面直线AD1与DB1所成的角即为AD1与AB2所成的角 因为AB BC 1 AA1 3 所以AD1 2 AB2 B2D1 55 在 AB2D1中 cos D1AB2 22 5 2 5 2 2 2 5 5 5 所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 5 5 2 方法一 建立如图所示的空间直角坐标系 则A 2 0 0 B 0 0 0 B1 0 0 1 C1 所以 1 2 3 2 1 AB1 2 0 1 故异面直线AB1与BC1所成角 的余弦值 cos BC1 1 2 3 2 1 AB1 BC1 AB1 BC1 2 5 2 10 5 方法二 如图 将该直三棱柱补充成直四棱柱 其中CD AB且CD AB 则可得AB1 DC1且AB1 DC1 图中 BC1D即为 异面直线AB1与BC1所成的角或所成角的补角 在 BC1D中 BC1 DC1 BD 25 4 1 2 2 1 1 2 所以 cos BC1D 故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 3 2 5 3 2 2 5 10 5 10 5 考点考法探究 小题 1 例 1 1 C 2 B 解析 1 取AA1的中点H 连接GH 则GH为过点E F G的平面与平面A1B1BA的交线 延长GH 交BA的延长线于点P 连接EP 交AD于点N 连接HN 则NE为过点E F G的平面与平面ABCD的交线 同理 连接并延长EF 交D1C1的延长线于点Q 连接GQ 交B1C1于点M 连接FM 则FM为过点E F G的平面与平面 BCC1B1的交线 所以过点E F G的平面截正方体所得的截面为图中的正六边形EFMGHN 故可得位于截面以下部分的几何体的侧视图为选项 C 中的图 故选 C 2 根据三视图作出几何体的直观图如图所示 可计算得PB PD BC PC 故该几何体最长棱的长为 266 自我检测 1 B 解析 由俯视图与正视图可知 该几何体是一个三棱柱挖去一个圆柱后剩余的部分 因此其侧视图是矩形 且内部有一条虚线 虚线靠近矩形的左边部分 只有选项 B 符合题意 故选 B 2 B 解析 由三视图可得 该几何体为如图所示的三棱锥A1 BCD 结合三视图中的数据可得S BCD 22 2 1 2 2 2 2 2 2 故此几何体的各个面中最大面的面 S A1BC S A1DC 1 222 S A1DB 1 22 22 2 23 积为 2 故选 B 3 3 C 解析 由三视图可得该几何体的直观图如图所示 且PD 平面ABCD PAD和 PDC均为直角三角形 又 PD AB AB AD PD AD D AB 平面PAD AB PA PAB为直角三角形 故选 C 4 A 解析 从上下方向看 PAC的射影为图 所示的情况 从左右方向看 PAC的射影为图 所示的情况 从前后方向看 PAC的射影为图 所示的情况 故选 A 小题 2 例 2 1 B 2 B 解析 1 设BC a AB 2a 则S1 2 2a a S2 2 a 2a 1 故选 B S1 S2 2 根据题意画出如图所示的几何体 三棱锥D ABC与三棱锥E ABC的公共部分构成的几何体为三棱锥F ABC ABC为正三角形 AB 2 S ABC 2 2 1 2 3 23 CD 底面ABC AE CD CD AE 2 四边形AEDC为矩形 则F为EC与AD的中点 三棱锥F ABC的高为CD 1 1 2 三棱锥F ABC的体积V 1 1 33 3 3 故选 B 自我检测 1 A 解析 根据三视图可得 该几何体为如图所示的四棱锥E DD1C1C 则该几何体的表面积 S 2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 4 2 4 8 12 8 1 22 1 2 1 22 1 222222 2 C 解析 根据题中的条件可知 截面与B1C1的交点为靠近C1的四等分点 所以该截面将三棱柱分成了一个三 棱台和一个几何体 设三棱柱的体积V Sh 而三棱台的体积V1 h Sh 所以几何体的体积 1 3 1 2S 1 2S 1 8S 1 8S 7 24 V2 V 所以所得的两部分的体积之比为 17 7 故选 C 17 24 3 A 解析 根据题意 设AC x BC y 则有x2 y2 4 堑堵ABC A1B1C1的侧面积S侧 2 x y 2 4 2 x y 4 2 4 4 当且仅当x y 时取等号 此时阳马B A1ACC1的体积 2 x2 y2 22 V AC CC1 BC 2 故选 A 1 3 1 322 4 3 小题 3 例 3 C 解析 设矩形ABCD的对角线AC BD的交点为O 由矩形的性质结合题意可知OA OB OC OD 1 2 在翻折过程中OA OB OC OD的长度不变 据此可知点O为四面体ABCD外接球的球心 外接球的半径 32 42 5 2 R OA 外接球的体积V R3 5 2 4 3 4 3 125 8 125 6 自我检测 1 C 解析 取SC的中点O 连接OA OB 则OA OB OC OS 即O为三棱锥的外接球球心 设外接球的半径为r 则 2r r2 r 3 故选 C 1 3 3 4 93 2 2 2 解析 设AB AC AA1 a 球的半径为R 由题意知 BAC外接圆的半径 2 为 a 4 R2 40 R2 10 又R2 a2 10 a 2 故直三棱柱的高是 2 1 2 3a sin 2 3 a 2 2 22 例 4 C 解析 取线段AB的中点D 设P在底面ABC内的射影为O 连接PD OD 设AB a 则OD a a 易 3 2 1 3 3 6 知 PDC为二面角P AB C的平面角 tan PDC PD 6OD a 设三棱锥的表面积为S 体积为V 则 353 V SR 即 a2H R 化简得 7 1 3 1 3 3 4 1 3 3 1 2a 3a 3 4 a2 H R 自我检测 1 D 解析 其中一个侧面的面积S PAB PA PB sin APB 2sin APB 要使此面积最大 则 APB 90 同 1 2 理可知 当PA PB PC两两垂直时 三棱锥P ABC的三个侧面的面积之和最大 设三棱锥的内切球的球心为O 则O 到三棱锥的四个面的距离与球的半径r相等 因为PA PB 2 PC 所以BC AC AB 2 可得 ABC APC 6102 APB BPC的面积分别为 4 2 所以V三棱锥P ABC 4 2 r 2 解得r 2 所以内 66 1 366 1 366 切球的表面积S 40 16 6 2 解析 设圆锥的母线长为l 底面圆的半径为r 则 rl 20 即rl 20 又l2 r2 9 所以l 5 r 4 当球 256 81 的体积最大时 该球为圆锥的内切球 设内切球的半径为R 则 5 5 8 R 3 8 故R 所以 1 2 1 2 4 3 Vmax 4 3 4 3 3 256 81 小题 4 例 5 1 B 2 C 解析 1 由l l 而m 所以l m 正确 l m 时 l m的位置关系不确定 不正确 由l l m m 而m 所以 正确 l m l m时 的位置关系不确定 不正确 故选 B 2 构成的四面体如图所示 因为DA AE DC CF 所以折叠后DP PE DP PF 又PE PF P 所以DP 平面PEF 所以 正确 由DP 平面PEF EF 平面PEF 可知DP EF 所以 正确 因为DP 平面PEF 且过一点有且只有一条直线垂直于一个平面 所以DG 平面PEF是不正确的 所以 不正确 连接PG 由题意知PG EF 且PE EG 所以PE PF 又PE DP DP PF P 所以PE 平面DPF 又因为DF 平面 2 DPF 所以PE DF 所以 正确 因为PE 平面DPF 且PE 平面PDE 所以平面PDE 平面DPF 所以 正确 综上可知 正确结论的序号为 故选 C 自我检测 1 C 解析 若l 则l 或l 不正确 若l 则l 或l 不正确 若l 则l 正确 若l 则l 或l 或l与 相交 不正确 故选 C 2 A 解析 由l 且m 能推出m l 充分性成立 若l 且m l 则m 或m 必要性不成立 因此 m 是 m l 的充分不必要条件 故选 A 例 6 1 D 2 B 解析 1 方法一 取BC的中点O 连接AO DO 正三角形ABC与正三角形BCD所在平面互相垂直 AO OD 分别取BD AD的中点M N 连接MN OM ON 则MN AB OM CD 则 OMN为异面直线AB与CD所成的角 易得 MN OM 2 ON 在 OMN中 由余弦定理得 cos OMN 即 cos 6 4 4 6 2 2 2 1 4 1 4 方法二 如图所示 取BC的中点O 连接AO DO 正三角形ABC与正三角形BCD所在平面互相垂直 AO BC BC OD AO DO 以O为原点 OD OC OA所在直线分别为x y z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则A 0 0 2 B 0 2 0 C 0 2 0 D 2 0 0 33 0 2 2 2 2 0 AB3CD3 故 cos AB CD AB CD AB CD 1 4 cos 1 4 2 取B1C1的中点D 连接A1D 则由题易知点P在A1D上 AA1 底面A1B1C1 APA1为PA与平面A1B1C1所成的角 又平面ABC 平面A1B1C1 APA1的大小等于PA与平面ABC所成角的大小 2 S A1B1C1 3 43 33 4 AA1 AA1 解得AA1 V三棱柱ABC A1B1C1S A1B1C1 33 4 9 43 又P为正三角形A1B1C1的中心 A1P A1D 1 2 3 在 Rt AA1P中 tan APA1 AA1 A1P3 APA1 故选 B 3 自我检测 1 B 解析 设底面半圆的半径为r 由 4 18 得r 3 r2 2 易得DE 3 DF 2 DF DE 所以EF 222 又AB CD 所以异面直线AB与EF所成的角为 EFD 易知 sin EFD ED EF 311 11 2 D 解析 设AC与BD交于点O 因为AB AD CB CD 所以AC BD 因此在翻折过程中 A C在平面BCD内的射影 在直线CO上 所以 A CO是直线A C与平面BCD所成的角 由已知可得OA OA OC 2 在 A OC中 设A C x 则 2 由余弦定理得 cos A CO 因为x 0 所以 2 当且仅当x 时取等号 此时 X2 22 2 2 2 2X X 4 1 2X X 4 1 2X X 4 1 2X 2 22 A CO最大 且 sin A CO 1 2 2 2 2 2 例 7 1 C 2 D 解析 1 取BC的中点M A1D1的中点N 则四边形B1MDN即为所求的截面 根据正方体的性质 可得MN 2 B1D 2 23 易知四边形B1MDN为菱形 所以其面积S 2 2 2 故选 C 1 2236 2 由题知 ACD1是边长为 2的等边三角形 所以所求截面为 ACD1的内切圆 可得截面圆的半径为 所以 2 6 3 截面圆的面积为 2 3 自我检测 1 A 解析 如图所示 在正方体A