高中文科数学公式及知识点总结大全(精华版)

第 1 页 共 10 页 高中文科数学公式及知识点速记高中文科数学公式及知识点速记 一 函数 导数 1 函数的单调性 1 设那么 2121 xxbaxx 上是增函数 0 21 baxfxfxf在 上是减函数 0 21 baxfxfxf在 2 设函数在某个区间内可导 若 则为增函数 若 则为 xfy 0 x f xf0 x f xf 减函数 2 函数的奇偶性 对于定义域内任意的 都有 则是偶函数 x xfxf xf 对于定义域内任意的 都有 则是奇函数 x xfxf xf 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于 y 轴对称 3 函数在点处的导数的几何意义 xfy 0 x 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率 相应的切线方 xfy 0 x xfy 00 xfxP 0 x f 程是 000 xxxfyy 二次函数 1 顶点坐标为 2 焦点的坐标为 2 4 24 bacb aa 2 41 24 bacb aa 4 几种常见函数的导数 C0 1 nn nxxxxcos sin xxsin cos aaa xx ln xx ee ax x a ln 1 log x x 1 ln 5 导数的运算法则 1 2 3 uvuv uvuvuv 2 0 uuvuv v vv 6 会用导数求单调区间 极值 最值 7 求函数的极值的方法是 解方程 当时 yf x 0fx 0 0fx 1 如果在附近的左侧 右侧 那么是极大值 0 x 0fx 0fx 0 f x 2 如果在附近的左侧 右侧 那么是极小值 0 x 0fx 0fx 0 f x 指数函数 对数函数 分数指数幂 1 且 m nm n aa 0 am nN 1n 2 且 11 m n m nm n a a a 0 am nN 1n 根式的性质 1 当为奇数时 n nn aa 当为偶数时 n 0 0 nn a a aa a a 有理指数幂的运算性质 第 2 页 共 10 页 1 0 rsr s aaaar sQ 2 0 rsrs aaar sQ 3 0 0 rrr aba b abrQ 注 若 a 0 p 是一个无理数 则 ap表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性质 对于无理 数指数幂都适用 指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 对数的换底公式 且 且 log log log m a m N N a 0a 1a 0m 1m 0N 对数恒等式 且 logaN aN 0a 1a 0N 推论 且 loglog m n a a n bb m 0a 1a 0N 常见的函数图象 k0 y kx b o y x a0 y ax2 bx c o y x 1 2 1 2 y x 1 x o y x 0 a1 1 y ax o y x 0 a1 1 y logax o y x 二 三角函数 三角变换 解三角形 平面向量 8 同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin 9 正弦 余弦的诱导公式 奇变偶不变 符号看象限 的正弦 余弦 等于的同名函数 前面加上把看成锐角时该函数的符号 k 的正弦 余弦 等于的余名函数 前面加上把看成锐角时该函数的符号 2 k 1 sin 2sink cos 2cosk tan 2tankk 2 sinsin coscos tantan 3 sinsin coscos tantan 4 sinsin coscos tantan 口诀 函数名称不变 符号看象限 5 sincos 2 cossin 2 6 sincos 2 cossin 2 口诀 正弦与余弦互换 符号看象限 10 和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin 第 3 页 共 10 页 tantan tan 1tantan 11 二倍角公式 sin2sincos 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2tan tan2 1tan 公式变形 2 2cos1 sin 2cos1sin2 2 2cos1 cos 2cos1cos2 22 22 12 函数的图象变换sin yx 的图象上所有点向左 右 平移个单位长度 得到函数的图象 再将函数 sinyx 的图象上所有点的横坐标伸长 缩短 到原来的倍 纵坐标不变 得到函数 sinyx 1 的图象 再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长 缩短 到原来的 sinyx sinyx 倍 横坐标不变 得到函数的图象 A sinyx A 数的图象上所有点的横坐标伸长 缩短 到原来的倍 纵坐标不变 得到函数sinyx 1 的图象 再将函数的图象上所有点向左 右 平移个单位长度 得到函数sinyx sinyx 的图象 再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长 缩短 到原来的 sinyx sinyx 倍 横坐标不变 得到函数的图象 A sinyx A 13 正弦函数 余弦函数和正切函数的图象与性质 sinyx cosyx tanyx 图象 定义域RR 2 x xkk 值域 1 1 1 1 R 最值当时 2 2 xk k 当时 2xkk 既无最大值也无最小值 函 数 性 质 第 4 页 共 10 页 当 max 1y 2 2 xk 时 k min 1y 当 max 1y 2xk 时 k min 1y 周期性2 2 奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性 在2 2 22 kk 上是增函数 在 k 3 2 2 22 kk 上是减函数 k 在上是增 2 2kkk 函数 在 2 2kk 上是减函数 k 在 22 kk 上是增函数 k 对称性 对称中心 0kk 对称轴 2 xkk 对称中心 0 2 kk 对称轴 xkk 对称中心 0 2 k k 无对称轴 14 辅助角公式 其中 sin cossin 22 xbaxbxay a b tan 15 正弦定理 R 为外接圆的半径 2 sinsinsin abc R ABC ABC 2 sin 2 sin 2 sinaRA bRB cRC sin sin sina b cABC 16 余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 17 面积定理 1 分别表示 a b c 边上的高 111 222 abc Sahbhch abc hhh 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 18 三角形内角和定理 在 ABC 中 有 ABCCAB 222 CAB 222 CAB 19 与的数量积 或内积 ab cos baba 20 平面向量的坐标运算 1 设 A B 则 11 x y 22 xy 2121 ABOBOAxx yy 第 5 页 共 10 页 2 设 则 a 11 x yb 22 xyba 2121 yyxx 3 设 则a yx 22 yxa 21 两向量的夹角公式 设 且 则a 11 x yb 22 xy0 b 1212 2222 1122 cos x xy ya b ab xyxy a 11 x yb 22 xy 22 向量的平行与垂直 设 且a 11 x yb 22 xyb 0 ba ab 1221 0 x yx y 0 aba 0 ba 1212 0 x xy y 平面向量的坐标运算 1 设 则 a 11 x yb 22 xya b 1212 xxyy 2 设 则 a 11 x yb 22 xya b 1212 xxyy 3 设 A B 则 11 x y 22 xy 2121 ABOBOAxx yy 4 设 则 a x yR a xy 5 设 则 a 11 x yb 22 xya b 1212 x xy y 三 数列 23 数列的通项公式与前 n 项的和的关系 数列的前 n 项的和为 1 1 1 2 n nn sn a ssn n a 12nn saaa 24 等差数列的通项公式 11 1 n aanddnad nN 25 等差数列其前 n 项和公式为 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 26 等比数列的通项公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 27 等比数列前 n 项的和公式为 或 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 四 不等式 28 必须满足一正 都是正数 二定 是定值或者是定值 三相等 xy yx 2 yx xyyx 时等号成立 才可以使用该不等式 yx 1 若积是定值 则当时和有最小值 xypyx yx p2 第 6 页 共 10 页 2 若和是定值 则当时积有最大值 yx syx xy 2 4 1 s 五 解析几何 29 直线的五种方程 1 点斜式 直线 过点 且斜率为 11 yyk xx l 111 P x yk 2 斜截式 b 为直线 在 y 轴上的截距 ykxb l 3 两点式 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 P x y 222 P xy 12 xx 4 截距式 分别为直线的横 纵截距 1 xy ab ab 0ab 5 一般式 其中 A B 不同时为 0 0AxByC 30 两条直线的平行和垂直 若 111 lyk xb 222 lyk xb 121212 llkk bb 1212 1llk k 31 平面两点间的距离公式 A B A B d 22 2121 xxyy 11 x y 22 xy 32 点到直线的距离 点 直线 00 22 AxByC d AB 00 P xyl0AxByC 33 圆的三种方程 1 圆的标准方程 222 xaybr 2 圆的一般方程 0 22 0 xyDxEyF 22 4DEF 3 圆的参数方程 cos sin xar ybr 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种 00 P xy 222 rbyax 若 则点在圆外 点在圆上 点在圆内 22 00 daxby dr Pdr Pdr P 34 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种 0 CByAx 222 rbyax 0 交交rd 0 交交rd 弦长 0 交交rd 22 2dr 其中 22 BA CBbAa d 35 椭圆 双曲线 抛物线的图形 定义 标准方程 几何性质 椭圆 离心率0 b 0 离心率 渐近线方程是 1 2 2 2 2 b y a x 222 bac 1 a c ex a b y 抛物线 焦点 准线 抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离 pxy2 2 0 2 p 2 p x 36 双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 若双曲线方程为渐近线方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 2 若渐近线方程为双曲线可设为 x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x 3 若双曲线与有公共渐近线 可设为 焦点在 x 轴上 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 0 焦点在 y 轴上 37 抛物线的焦半径公式 pxy2 2 抛物线焦半径 抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离 2 2 0 ypx p 2 0 p xPF 38 过抛物线焦点的弦长 pxx p x p xAB 2121 22 六 立体几何 39 证明直线与直线的平行的思考途径 1 转化为判定共面二直线无交点 2 转化为二直线同与第三条直线平行 3 转化为线面平行 4 转化为线面垂直 5 转化为面面平行 40 证明直线与平面的平行的思考途径 1 转化为直线与平面无公共点 2 转化为线线平行 3 转化为面面平行 41 证明平面与平面平行的思考途径 1 转化为判定二平面无公共点 2 转化为线面平行 3 转化为线面垂直 42 证明直线与直线的垂直的思考途径 1 转化为相交垂直 2 转化为线面垂直 3 转化为线与另一线的射影垂直 4 转化为线与形成射影的斜线垂直 43 证明直线与平面垂直的思考途径 1 转化为该直线与平面内任一直线垂直 2 转化为该直线与平面内相交二直线垂直 3 转化为该直线与平面的一条垂线平行 4 转化为该直线垂直于另一个平行平面 44 证明平面与平面的垂直的思考途径 1 转化为判断二面角是直二面角 2 转化为线面垂直 45 柱体 椎体 球体的侧面积 表面积 体积计算公式 圆柱侧面积 表面积 rl 2 2 22rrl 圆椎侧面积 表面积 rl 2 rrl 是柱体的底面积 是柱体的高 1 3 VSh 柱体 Sh 是锥体的底面积 是锥体的高 1 3 VSh 锥体 Sh 球的半径是 则其体积 其表面积 R 3 4 3 VR 2 4SR 46 若点 A 点 B 则 111 x y z 222 xyz A B d ABAB AB 222 212121 xxyyzz 47 点到平面距离的计算 定义法 等体积法 第 8 页 共 10 页 48 直棱柱 正棱柱 长方体 正方体的性质 侧棱平行且相等 与底面垂直 正棱锥的性质 侧棱相等 顶点在底面的射影是底面正多边形的中心 七 概率统计 49 平均数 方差 标准差的计算 平均数平均数 方差方差 n xxx x n 21 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n s n 标准差标准差 1 22 2 2 1 xxxxxx n s n 50 回归直线方程 了解即可 其中 经过 点 yabx 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynx y b xxxnx aybx xy 51 独立性检验 了解即可 2 2 dbcadcba bdacn K 52 古典概型的计算 必须要用列举法 列表法 树状图的方法把所有基本事件表示出来 不重复 不 遗漏 八 复数 53 复数的除法运算 22 dc iadbcbdac dicdic dicbia dic bia 54 复数的模 zabi z abi 22 ab 55 复数的相等 abicdiac bd a b c dR 56 复数的模 或绝对值 zabi z abi 22 ab 57 复数的四则运算法则 1 abicdiacbd i 2 abicdiacbd i 3 abi cdiacbdbcad i 4 2222 0 acbdbcad abicdii cdi cdcd 58 复数的乘法的运算律 对于任何 有 123 z zzC 交换律 1221 zzzz 结合律 123123 zzzzzz 分配律 1231213 zzzzzzz 九 参数方程 极坐标化成直角坐标 55 y x sin cos 0 tan 222 x x y yx 第 9 页 共 10 页 为 为 为 为 p为 q 为 为 为 为 p为 q 为 为 为 为 q为 p 为 为 为 为 为 q为 p 为 为 为 为 为 为为 为 为 为 为 为 为 为 为 为 十 命题 充要条件 充要条件 记表示条件 表示结论 pq 1 充分条件 若 则是充分条件 pq pq 2 必要条件 若 则是必要条件 qp pq 3 充要条件 若 且 则是充要条件 pq qp pq 注 如果甲是乙的充分条件 则乙是甲的必要条件 反之亦然 56 真值表 十一 直线与平面的位置关系 空间点 直线 平面之间的位置关系空间点 直线 平面之间的位置关系 三个公理 1 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内 2 公理 2 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 3 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系 相交直线 同一平面内 有且只有一个公共点 平行直线 同一平面内 没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内 没有公共点 2 公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 3 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 4 注意点 a 与 b 所成的角的大小只由 a b 的相互位置来确定 与O的选择无关 为简便 点O一般取在两直 线中的一条上 两条异面直线所成的角 当两条异面直线所成的角是直角时 我们就说这两条异面直线互相垂直 记作 a b 两条直线互相垂直 有共面垂直与异面垂直两种情形 计算中 通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角 空间中直线与平面 平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面 平面与平面之间的位置关系 1 直线与平面有三种位置关系 1 直线在平面内 有无数个公共点 2 直线与平面相交 有且只有一个公共点 3 直线在平面平行 没有公共点 非 或 且 真真假真真 真假假真假 假真真真假 假假真假假 共面直线 0 2 第 10 页 共 10 页 直线 平面平行的判定及其性质直线 平面平行的判定及其