高三理科数学综合测试题附答案

1 数学检测卷数学检测卷 理 姓名 班级 总分 一 一 选择题选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 1 若集合 则 2 0Ax xxBx xx AB A B C D 1 0 0 1 1 2 2 直线关于轴对称的直线方程为 0543 yxx A B 0543 yx0543 yx C D 0543 yx0543 yx 3 3 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算 32 22f xxxx 其参考数据如下 f 1 2f 1 5 0 625f 1 25 0 984 f 1 375 0 260f 1 4375 0 162f 1 40625 0 054 那么方程的一个近似根 精确到 0 1 为 32 220 xxx A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 5 4 4 设 若 1 0 log aaxxf a 21 xfxf 则 2 1 1 niRxxf in 的值等于 22 2 2 1n xfxfxf A B 1 C 2 D 2 2 1 2loga 5 5 在等差数列 n a中 1815 296aaa 则 910 2aa A 24 B 22 C 20 D 8 6 6 执行如图的程序框图 如果输入 则输出的11 10 ba S A B C D 10 9 11 10 12 11 13 12 7 7 直线21yx 上的点到圆 22 4240 xyxy 上的 点的最近距离是 A 4 5 5 B 4 5 1 5 C 4 5 1 5 D 1 输入 a b a b S 0 i 1 a b 1 1 ii SS 1 ii 否 i a 输出 S 否 是 是 第 6 题 2 8 8 已知 若向 6 0 0 x yxyxy 4 0 20 Ax yxyxy 区域上随机投一点 则点落入区域的概率为 PPA A B C D 3 1 3 2 9 1 9 2 9 9 已知平面 直线 m l 点 A 有下面四个命题 必为异面直线 若 则 与lmAlm 若 l l m 则 m 若 lmlm 则 若 则 mllml 其中正确命题的个数是 A 3B 2C 1D 0 1010 若函数有 3 个不同的零点 则实数的取值范围是 3 3f xxxa a A B C D 2 2 2 2 1 1 1111 已知方程 且 有两个实数根 其中一个根在区间 2 10axbx a b R0a 内 则的取值范围为 1 2ab A B C D 1 1 1 1 1 12 半径为 2 的球面上有四点 且两两垂直 则三个三角形面积之DCBA ADACAB 和 的最大值为 ABC S ACDADB SS A 4 B 8 C 16 D 32 二 填空题二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在答题卷的相应位置 13 某学校共有师生2400人 现用分层抽样的方法 从所有师生中抽取一个容量为160的样 本 已知从学生中抽取的人数为 150 那么该学校的教师人数是 14 如图 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形 俯视图是直径为 1 的圆 那么这个几何体的侧面积为 15 有下列命题 存在使 0 2 3 1 cossin aa 存在区间 a b 使为减函数而 0 xycos xsin 在其定义域内为增函数 xytan 既有最大 最小值 又是偶函数 cos2sin 2 yxx 最小正周期为 其中错误的命题的序号为 6 2 sin xy 3 16 直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点 则该椭022 yx 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 圆的离心率等于 三 三 解答题解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 某小组有 7 个同学 其中 4 个同学从来没有参加过数学研究性学习活动 3 个同学曾经 参加过数学研究性学习活动 现从该小组中任选 2 个同学参加数学研究性学习活动 求恰好选到 1 个曾经参加 过数学研究性学习活动的同学的概率 若从该小组中任选 2 个同学参加数学研究性学习活动 活动结束后 此时该小 组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数是一个随机变量 求随机变量的分布列及 数学期望 E 18 本小题满分 12 分 已知数列的前项 n 和为 对一切正整数 n 点 n 都在函数的 n S n S42 2 x xf 图象上 I 求数列的通项公式 n a II 设 求数列的前 n 项的和 nnn aab 2 log n b n T 19 本小题满分 12 分 如图 已知四棱锥PABCD 的底面的菱形 60BCD 点E是BC边的中点 ACDE与交于点O POABCD 平面 1 求证 PDBC 2 若6 3 6 2ABPCPADC 求二面角的大小 3 在 2 的条件下 求异面直线PB与DE所成角的余弦值 20 本小题满分 12 分 已知函数和 a 为常数 的图象在处xxfln6 0 x 2 8g xaxxb b3 x 有公共切线 求 a 的值 求函数的极大值和极小值 xgxfxF 4 O 1 O 2 A B D E N C M 若关于的方程有且只有 3 个不同的实数解 求的取值范围 x f xg x b 21 本小题满分 12 分 设直线过抛物线 的焦点 且交于点 C 0 2 2 ppxyFCNM 设 0 FNMF 若 求所在的直线方程 2 p4 MN 若 求直线在轴上截距的2 p94 MNy 取值范围 抛物线的准线 与轴交于点 求证 与ClxEEF 的夹角为定值 ENEM 22 选做题 本大题共选做题 本大题共 3 小题 请从这小题 请从这 3 题中选做题中选做 1 小题 如果多做 则按所做的第一题记小题 如果多做 则按所做的第一题记 分 每小题分 每小题 10 分分 1 几何证明选讲 如图 O1与 O2交于 M N 两点 直线 AE 与这两个圆及 MN 依次 交于 A B C D E 求证 AB CD BC DE 2 坐标系与参数方程 求经过极点9 0 0 6 6 2 24 OAB 三点的圆的极坐标方程 3 不等式选讲 对于任意实数 a a 0 和 b 不等式 a b a b a x 1 x 2 恒成 立 试求实数 x 的取值范围 x y O 第 21 题 5 数学 理科 答案 一 选择题 每小题 5 分 共 60 分 题 号 123456789101112 答 案 BACCACCDCAAB C 解 f 1 40625 0 054 0 且都接近 0 由二分法可知其根近似于 1 4 二 填空题 每小题 5 分 共 20 分 13 150 14 15 16 5 52 三 解答题 17 本小题满分 12 分 解 记 恰好选到 1 个曾经参加过数学研究性学习活动的同学 为事件的 则A 其概率为 5 分 7 4 2 7 1 3 1 4 C CC AP 随机变量4 3 2 6 分 7 2 2 2 7 2 4 C C P 7 分 7 4 3 2 7 1 3 1 4 C CC P 8 分 7 1 4 2 7 2 3 C C P 随机变量的分布列为 234 P 7 2 7 4 7 1 12 分 7 20 7 1 4 7 4 3 7 2 2 E 18 本小题满分 12 分 I 由题意 42 2 n n S 当时 3 分2 n 112 1 222 nnn nnn SSa 当时 也适合上式 1 n4423 11 Sa 数列的通项公式为 5 分 n a Nna n n 2 1 II nn ab 2 1 log 1 2 n n na 1432 2 1 2242322 nn n nnT 2 7 分 21543 2 1 2242322 nn n nnT 6 得 8 分 21432 2 1 2222 nn n nT 2 13 3 2 1 21 21 2 2 n n n 2133 2 1 12 22 nn n 12 分 2222 1 2132 nnn nn 19 本题满分 12 分 解 解答一 1 在菱形ABCD中 连接 DB则BCD 是等边三角形 EBC DEBC POABCD ODPDABCD PDBC 点是边的中点 平面 是斜线在底面内的射影 3 2 DEBC 由 1 知 1 6 3 2233 6 36 3323 ABCDADBC DEAD POABCDDEPDABCD PDAD PDOPADC ABCDADDEBCD EBCACBD OBCD AB BDC DODEBC 菱形中 又平面 是在平面的射影 为二面角的平面角 在菱形中 由 知 为等 边三角形 点是边的中点 与互相平分 点是重心 又在等边中 3 取AD中点H 连结 HB HP 6 6 2 6 6 tan1 6 4 4 OCOD PCPO PO Rt PODPDO DO PDO P AD C 在中 二面角的大小为 8 7 22 22 222 3 36 3 7 99 66 2 29 2 cos 24 HBDE HBPBDEPB OHOB POABCDOHOBABCD POOHPOOB Rt DOHHDOD OH Rt PHOPHPOOH Rt POBOBOCPBPOOB DEHB HBPB HBPBPH HB PB 则 与所成角即是与所成角 连结 平面 平面 在中 在中 在中 由 可知 设与所成角为 则 2 4 PBDE异面直线 所成角的余弦值为 12 解法二 1 同解法一 2 过点O作AD平行线交AB于F 以点O为坐标原点 建立如图的坐标系 6 3 6 0 3 3 3 0 3 3 3 0 0 6 0 0 0 6 6 3 0 0 0 6 6 0 0 0660 6 3000 0 0 1 1 0 ABC DP ADPD PADsa m n s PD s AD amm amn a mn s OP 设平面的一个法向量为 则 即 不妨取 0 6 2 cos 2 ADC s OP s OP sOP 是平面的一个法向量 二面角PADC 的大小为 4 8 分 3 由已知 可得点 0 3 0 E 8 3 3 3 6 0 9 0 2 cos 4 PBDE PB DE PB DE PBDE 即异面直线PBDE 所成角的余弦值为 2 4 12 分 20 解 根据题意 得 x xf 6 82 axxg 3 3 gf 解得 2 分1 a 2 6ln8F xf xg xxxxb 令 得 5 分082 6 x x xF3 1 x 时 单调递增 时 单调递10 x0 x F xF31 x0 x F xF 减 时 单调递增 的极大值为 的极3 x0 x F xF xF 1 7Fb xF 小值为 8 分 3 156ln3Fb 根据题意 的图象应与轴有三个公共 2 6ln8F xf xg xxxxb x 点 11 分 由 的结论及在时 在时 F x0 x F x F xx F x 知方程有且只有 3 个不同的实数解的充要条件为 f xg x 1 0 3 0 F F 解得 12 分7156ln3 b 21 本小题满分 12 分 时 抛物线 1 0 设2 pxy4 2 F 2211 yxNyxM 由题设 得 即 0 FNMF 1 1 2211 yxyx yy xx 2 1 21 1 1 由 得 2 2 22 1 yy 4 4 2 2 21 2 1 xyxy 2 2 1 xx 联立 解得 依题意有 1 2 x 1 x 0 而 1 0 当时 2 2 MM或F4 得直线的方程为或 4 分MN0434 yx0434 yx 由 及得直线方程为 2 pMN 1 2 1 1 2 1 xyxy 或 当时 在轴上的截距为 9 4 MNy 1 2 1 2 或 令则 1 2 x x xf 0 1 1 2 xx x xf 可知在 4 9 上是递减的 1 2 9 4 3 1 2 3 4 3 4 1 2 4 3 直线在轴上截距的变化范围为 8 分MNy 3 4 4 3 4 3 3 4 证法一 设在直线 上的射影为 NM l N M 则有 MMEMEM NNENEN 由于 所以 NNMM ENEMENEM 因为 所以 ENEMEF ENEMEF 即与的夹角为 定值 12 分EFENEM 90 证法二 设直线方程为 联立方程 通过代换得证 MN1 myxxy4 2 22 1 证明 因为 A M D N 四点共圆 所以 AC CDMC CN 同理 有 所以 BC CEMC CN AC CDBC CE 即 所以 AB CD BC DE 10 分 ABBCCDBCCDDE 2 解 将点的极坐标化为直角坐标 点的直角坐标分别为 O A