2018-2019学年重庆綦江中学七校联考高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年重庆綦江中学七校联考高一下学期期末数学试题一、单选题1不等式的解集是（ ）ABCD【答案】A【解析】先求出方程的根，进而可写出不等式的解集.【详解】解：令，解得，则不等式的解集为，故选：A.【点睛】本题考查二次不等式的求解，是基础题.2已知等比数列的首项，公比，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由等比数列的通项公式可得出.【详解】解：由已知得，故选：B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的应用，是基础题.3一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）A8B6C4D【答案】C【解析】设正方体的棱长为a，则8，a2.而此正方体的内切球直径为2，S表44.选C.4在ABC中，若a=2bsinA,则B为ABC或D或【答案】C【解析】， ，则或，选C.5若，均为锐角，且，则等于（ ）ABCD【答案】B【解析】先利用两角和的余弦公式求出，通过条件可求得，进而可得.【详解】解：，因为，则，故，故选：B.【点睛】本题考查两角和的正切公式，注意角的范围的确定，是基础题.6已知某路段最高限速60 km/h，电子监控测得连续6辆汽车的速度用茎叶图表示如图所示（单位：km/h），若从中任抽取2辆汽车，则恰好有1辆汽车超速的概率为（ ）ABCD【答案】A【解析】求出基本事件的总数，以及满足题意的基本事件数目，即可求解概率.【详解】解：由题意任抽取2辆汽车，其速度分别为：，共15个基本事件，其中恰好有1辆汽车超速的有，共8个基本事件，则恰好有1辆汽车超速的概率为：，故选：A.【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，属于基本知识的考查.7已知实数满足且，则下列选项中不一定成立的是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题设条件可以得到，从而可判断A，B中的不等式都是正确的，再把题设变形后可得，从而C中的不等式也是成立的，当，D中的不等式不成立，而时，它又是成立的，故可得正确选项.【详解】因为且，故，所以，故A正确；又，故，故B正确；而，故，故C正确；当时，当时，有，故不一定成立，综上，选D.【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.8已知数列满足，则（ ）ABCD【答案】A【解析】由给出的递推式变形，构造出新的等比数列，由等比数列的通项公式求出的表达式，再利用等比数列的求和公式求解即可.【详解】解：解：在数列中，由，得，则数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，.，故选：A.【点睛】本题考查了数列的递推式，考查了等比关系的确定以及等比数列的求和公式，属中档题.9如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是( )ABCD【答案】D【解析】求出以为圆心，以边长为半径，圆心角为的扇形的面积，根据图形的性质，可知它的3倍减去2倍的等边三角形的面积就是莱洛三角形的面积，运用几何概型公式，求出概率.【详解】设等边三角形的边长为，设以为圆心，以边长为半径，圆心角为的扇形的面积为，则，莱洛三角形面积为，则,在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率为,故本题选D.【点睛】本题考查了几何概型.解决本题的关键是正确求出莱洛三角形的面积.考查了运算能力.10已知，则等于（ ）ABCD【答案】D【解析】通过化简可得，再根据，可得，利用同角三角函数可得，则答案可得.【详解】解：，又，得，即，又，且，解得，故选：D.【点睛】本题考查三角恒等变形的化简和求值，是中档题.11三角形的三条边长是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最大边长为（ ）A4B5C6D7【答案】C【解析】根据三角形满足的两个条件，设出三边长分别为，三个角分别为，利用正弦定理列出关系式，根据二倍角的正弦函数公式化简后，表示出，然后利用余弦定理得到，将表示出的代入，整理后得到关于的方程，求出方程的解得到的值，【详解】解：设三角形三边是连续的三个自然，三个角分别为，由正弦定理可得：，再由余弦定理可得：，化简可得：，解得：或（舍去），故三角形的三边长分别为：,故选：C.【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题.12在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意得到，再由两角差的余弦及同角三角函数的基本关系式化简求解.【详解】解：角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，故选：D.【点睛】本题考查了两角差的余弦公式的应用，是基础题.二、填空题13已知直线平面，那么在平面内过点P与直线m平行的直线有_条.【答案】1【解析】利用线面平行的性质定理来进行解答.【详解】过直线与点可确定一个平面，由于为公共点，所以两平面相交，不妨设交线为，因为直线平面，所以，其它过点的直线都与相交，所以与也不会平行，所以过点且平行于的直线只有一条，在平面内，故答案为：1.【点睛】本题考查线面平行的性质定理，是基础题.14已知正实数x，y满足，则的最小值为_.【答案】4【解析】将变形为，展开，利用基本不等式求最值.【详解】解：，当时等号成立，又，得，此时等号成立，故答案为：4.【点睛】本题考查基本不等式求最值，特别是掌握“1”的妙用，是基础题.15已知数列的前n项和，则_.【答案】【解析】先利用求出，在利用裂项求和即可.【详解】解：当时，当时，综上，故答案为：.【点睛】本题考查和的关系求通项公式，以及裂项求和，是基础题.16在高一某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏：一盒子内装有6张大小和形状完全相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，从盒内随机抽取2张卡片，若这2张卡片上的2个成语有相同的字就中奖，则该游戏的中奖率为_.【答案】【解析】先列举出总的基本事件，在找出其中有2个成语有相同的字的基本事件个数，进而可得中奖率.【详解】解：先观察成语中的相同的字，用字母来代替这些字，气A，风B，马C，信D，河E，意F，用ABF，B，CF，CD，AE，DE分别表示成语意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，则从盒内随机抽取2张卡片有共15个基本事件，其中有相同字的有共6个基本事件，该游戏的中奖率为，故答案为：.【点睛】本题考查古典概型的概率问题，关键是要将符合条件的基本事件列出，是基础题.三、解答题17正四面体是侧棱与底面边长都相等的正三棱锥，它的对棱互相垂直.有一个如图所示的正四面体，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点.（1）求证：面EFG；（2）求异面直线EG与AC所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连接EF，FG，GE，通过三角形的中位线可得，进而可得面EFG；（2）由题可得为异面直线EG与AC所成角，根据正四棱锥的特点得到为等腰直角三角形，进而可得结果.【详解】解：（1）连接EF，FG，GE，如图，E，F分别是棱AB，BC的中点，又面EFG，面EFG，面EFG；（2）由（1），则为异面直线EG与AC所成角，AC与BD是正四面体的对棱，又，又 ，为等腰直角三角形，即异面直线EG与AC所成角的大小为.【点睛】本题考查线面平行的证明，以及异面直线所成的角，通过直线平行找到异面直线所成角的平面角是关键，本题难度不大.18从全校参加科技知识竞赛初赛的学生试卷中，抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布.将样本分成5组，绘成频率分布直方图（如图），图中从左到右各小组的小长方形的高之比是，最后一组的频数是6.请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题：（1）样本的容量是多少?（2）求样本中成绩在分的学生人数；（3）从样本中成绩在90.5分以上的同学中随机地抽取2人参加决赛，求最高分甲被抽到的概率.【答案】（1）48；（2）30；（3）【解析】（1）设样本容量为，列方程求解即可；（2）根据比例列式求解即可；（3）根据比例得成绩在90.5分以上的同学有6人，抽取2人参加决赛，列举出总的基本事件个数，然后列举出最高分甲被抽到的基本事件个数，根据概率公式可得结果.【详解】解：（1）设样本容量为，则，解得，所以样本的容量是48；（2）样本中成绩在分的学生人数为：人；（3）样本中成绩在90.5分以上的同学有人，设这6 名同学分别为，其中就是甲，从这6 名同学中随机地抽取2人参加决赛有：共15个基本事件，其中最高分甲被抽到的有共5个基本事件，则最高分甲被抽到的概率为.【点睛】本题考查频率，频数，样本容量间的关系，考查古典概型的概率公式，重点是列举出总的基本事件和满足题目要求的基本事件，是基础题.19已知函数，.（1）求的最小正周期；（2）求在闭区间上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为【解析】（1）由三角函数恒等变换的应用可得，利用正弦函数的周期性可求最小正周期.（2）通过，求得，再利用正弦函数的性质可求最值.【详解】解答：解：（1）由已知，有，所以的最小正周期；（2），当，即时，取最大值，且最大值为；当，即时，取最小值，且最小值为.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数性质的应用，考查了转化思想，属于基础题.20在中，.（1）求角B的大小；（2）的面积，求的边BC的长.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由条件可，展开计算代入，即可得；（2）先利用正弦定理求出，再利用面积可得，解方程可得，再利用余弦定理可求得边BC的长.【详解】解：（1）在中，则，即，整理得，又，（2）由正弦定理得，又，即，所以，解得，即.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了面积公式，是基础题.21解关于不等式：【答案】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，【解析】试题分析：当时，；当时，当时，；当时，；当时，【考点】解不等式点评：本题中的不等式带有参数，在求解时需对参数做适当的分情况讨论，题目中主要讨论的方向是：不等式为一次不等式或二次不等式，解二次不等式与二次方程的根有关，进而讨论二次方程的根的大小22设等比数列的最n项和，首项，公比.（1）证明：；（2）若数列满足，求数列的通项公式；（3）若，记，数列的前项和为，求证：当时，.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析【解析】（1）由已知且，利用等比数列的通项公式可得，利用等比数列的求和公式可证；（2）由，可得，从而可得是等差数列，从而可求；（3）可得