弧长法基本原理

弧长法 弧长法 Riks method 是目前结构非线性分析中数值计算最稳 是目前结构非线性分析中数值计算最稳 定 计算效率最高且最可靠的迭代控制方法之一 它有效地分析结构定 计算效率最高且最可靠的迭代控制方法之一 它有效地分析结构 非线性前后屈曲及屈曲路径跟踪使其享誉非线性前后屈曲及屈曲路径跟踪使其享誉 结构界结构界 大多数商业有限 大多数商业有限 元软件元软件 如如 ABAQUS ANSYS 等等 也都将其纳入计算模块 作为一名也都将其纳入计算模块 作为一名 工科生 机械式地工科生 机械式地 Step by Step 点击这些商业软件对话框的时候需点击这些商业软件对话框的时候需 知其然 知其所以然知其然 知其所以然 否则必将 否则必将 Rubbish in Rubbish out 图图 1 弧长法迭代求解过程弧长法迭代求解过程 图图 1 所示为弧长法的迭代求解过程 下标所示为弧长法的迭代求解过程 下标 表示第表示第 个荷载个荷载 步 上标步 上标 表示第表示第 个荷载步下的第个荷载步下的第 次迭代 显然 若荷载增量次迭代 显然 若荷载增量 则迭代路径为一条平行于 则迭代路径为一条平行于 轴的直线 即为著名轴的直线 即为著名 的牛顿的牛顿 拉夫逊法 拉夫逊法 设第设第个荷载步收敛于个荷载步收敛于 那么对于第 那么对于第 个荷载个荷载 步来说 需要进行步来说 需要进行 次迭代才能达到新的收敛点次迭代才能达到新的收敛点 外部参照力 外部参照力 在 在 ABAQUS 需要用户以外荷载的形式输入 因此 作用在需要用户以外荷载的形式输入 因此 作用在 结构上的真实力大小为结构上的真实力大小为 由于牛顿 由于牛顿 拉夫逊法在迭代过程中 拉夫逊法在迭代过程中 以荷载控制 或位移控制 时 荷载增量步以荷载控制 或位移控制 时 荷载增量步 或位移增量步 为 或位移增量步 为 常数 它无法越过极值点得到完整的荷载常数 它无法越过极值点得到完整的荷载 位移曲线 事实上 也只位移曲线 事实上 也只 有变化的荷载增量步才能使求解过程越过极值点 从图有变化的荷载增量步才能使求解过程越过极值点 从图 1 中可以看出 中可以看出 弧长法的荷载增量步弧长法的荷载增量步是变化的 可以自动控制荷载 但这又使原是变化的 可以自动控制荷载 但这又使原 方程组增加了一个多余的未知量 因此需要额外补充一个控制方程 方程组增加了一个多余的未知量 因此需要额外补充一个控制方程 即 即 1 该控制方程说明 其迭代路径是以上一个荷载步收敛点该控制方程说明 其迭代路径是以上一个荷载步收敛点 为圆心半径为为圆心半径为 的圆弧 所以称为弧长法 通常用户需指定的圆弧 所以称为弧长法 通常用户需指定 初始弧长半径初始弧长半径 或固定的弧长半径或固定的弧长半径 当设定了初始弧长半径时 根据 当设定了初始弧长半径时 根据 收敛速率 一般按式 收敛速率 一般按式 2 计算 计算 其中 其中为荷载步期望收敛迭代次数 为荷载步期望收敛迭代次数 一般取一般取 6 为上一荷载步的迭代次数 大于为上一荷载步的迭代次数 大于 10 时取时取 10 2 1 当当时 根据上一个荷载步时 根据上一个荷载步收敛结束时的构形 收敛结束时的构形 得到用于第得到用于第 个荷载步收敛计算的切线刚度矩阵个荷载步收敛计算的切线刚度矩阵 即图 即图 1 中的蓝中的蓝 色平行线的斜率 通过式 色平行线的斜率 通过式 2 可得 可得相应的切线位移 相应的切线位移 3 4 5 很容易由式 很容易由式 5 求得 但不能确定其符号 而 求得 但不能确定其符号 而的符号决的符号决 定了跟踪分析是向前还是返回 因此非常重要 很多学者提出了不同的确定方定了跟踪分析是向前还是返回 因此非常重要 很多学者提出了不同的确定方 法 法 Murray j Clarke 1993 A Study of Incremental iterative Strategies for Non linear Analysis 这篇文章详细地介绍了这些方法 这篇文章详细地介绍了这些方法 在在 ABAQUS 中 中 符号按下式 符号按下式 6 确定 确定 6 2 当当时 为了简化时 为了简化的求解过程 可以切平面法求的求解过程 可以切平面法求 解 即用垂直于切线的向量代替圆弧 即 解 即用垂直于切线的向量代替圆弧 即 需要补充的关系式为 需要补充的关系式为 最后需要说明的是 假若考虑材料塑性行为 则每个迭