线性代数习题解答

线性代数习题解线性代数习题解 习题一习题一 A 组组 1 计算下列二阶行列式 1 2 3 4 5 21 12 0 128 96 22 22 baab ba ba 1 1 11 23 22 xx xxx x 2 计算下列三阶行列式 1 1 8 27 6 6 6 18 2 132 213 321 5 598 413 111 3 4 7 140 053 101 0 00 0 00 d cb a 3 当k取何值时 0 10 01 43 k k k 解 得 10 01 43 k k k 0 3 0 0 2 kk034 2 kk 所以 或 1 k3 k 4 求下列排列的逆序数 解 1 512110 51324 2 8142010 426315 3 21123456 7654321 4 1340423000 36715284 5 下列各元素乘积是否是五阶行列式 中一项 如果是 该项应取什么符号 ij a 解 2 不是 因为 中有俩个元素在第一列 5145332211 aaaaa 3 是 对应项为 5345312412 24513 1 aaaaa 所以该项应取负号 1021 24153 6 选择 i j 使成为五阶行列式 中带有负号的项 ji aaaaa 54234213ij a 解 当 时 是奇排列 5 1 ji30102 31425 当 时 是偶排列 1 5 ji81232 35421 所以 i 1 j 5 8 利用行列式性质计算下列行列式 解 1 111 212 321 230 430 321 2 31 21 rr rr 6 200 430 321 32 rr 2 621721342 4435431014 327427246 6217211000 4435432000 3274271000 123 ccc 6217211 4435432 3274271 103 6211001 4431002 3271001 103 23 cc 62111 44312 32711 105 31 21 2 rr rr 29400 21110 32711 105 294105 3 1111 1111 1111 1111 8 2000 0200 0020 1111 4 3 2 1 i rr i 4 1502 3213 5314 0422 1502 3213 5314 0211 2 1120 3840 5530 0211 2 2 3 4 41 31 21 rr rr rr 1120 51000 4610 0211 2 2 34 24 rr rr 71300 51000 4610 0211 2 2 42 rr 71300 1200 4610 0211 5 2 02700 1200 4610 0211 5 2 7 43 rr 27000 2100 6410 2011 10 43 cc 270 5 y y x x 1111 1111 1111 1111 yy y xx x cc cc 110 110 101 101 2 34 12 y y x x rr rr 000 110 000 101 2 43 21 y y x x 000 110 0010 101 22 32 000 100 0010 101 yx y y x xrr 6 dcbacbabaa dcbacbabaa dcbacbabaa dcba 3610363 234232 cbabaa cbabaa cbabaa dcba i rr i 36103630 2342320 0 4 3 2 1 baa baa cbabaa dcba rr rr 37300 200 0 3 2 42 32 4 43 000 200 0 3a a baa cbabaa dcba rr 9 用行列式性质证明 1 33333 22222 11111 ccbkba ccbkba ccbkba 333 222 111 cba cba cba 证明 33333 22222 11111 ccbkba ccbkba ccbkba 3333 2222 1111 23 cbkba cbkba cbkba cc 333 222 111 12 cba cba cba ckc 2 efcfbf decdbd aeacab abcdef4 证明 efcfbf decdbd aeacab dcb ecb ecb abf 的公因子 提取各行 111 111 111 abfbce 的公因子 提取各列 020 200 111 31 21 abcdef rr rr 200 020 111 23 abcdef rr abcdef4 3 y y x x 1111 1111 1111 1111 yxxyyx 2222 22 证明 y y x x 1111 1111 1111 1111 y y x x 11101 11101 11101 1111 y y x 1111 1111 1111 1111 y y x x 1110 1110 1110 111 y y x 000 000 000 1111 y y x x 11010 11010 1110 1101 y y x x y y x xy 10100 1100 1010 1010 000 000 1110 111 2 y y x x y x x xyxy 1000 100 100 100 1100 1100 110 110 22 y y x x y x x xy 1000 100 100 100 000 1100 110 110 2 2 1 2 222 yyxyxxy 2222 22yxyxxy 10 解下列方程 1 0 9132 5132 3222 3211 2 2 x x 解 由 2 2 43 21 2 2 4000 5132 320 3211 2 9132 5132 3222 3211 x x rr rr x x 2 2 31 4000 1310 320 3211 2 x x rr 2 22 21 2 4000 1310 33200 3211 x xx rrx 2 22 23 4000 33200 1310 3211 x xx rr 4 32 22 xx 得 所以 或 0 4 32 22 xx2 x2 x 2 0 011 101 101 110 x x x x 解 由 011 101 101 2222 4 3 2 011 101 101 110 1 x x x xxxx i rr x x x x i 011 101 101 1111 2 x x x x 1110 110 1010 1111 2 41 31 21 x xxx x x rr rxr rr xx xxx x x rr 100 110 1010 1111 2 43 xx xxx x x xx xxxx x x rrx 100 1 00 1010 1111 2 100 1 1 100 1010 1111 2 1 32 xx xxx x 1 1 10 11 2 1 1 2 22 xxxx 2 2 2 xxx 得 所以 0 2 2 2 xxx0 21 xx2 3 x2 4 x 15 用克莱姆法则解下列线性方程组 1 273 132 21 21 xx xx 解 由系数行列式 5 73 32 D1 72 31 1 D1 23 12 2 D 5 1 1 1 D D x 5 1 2 2 D D x 3 4452 22725 1243 321 321 321 xxx xxx xxx 解 由系数行列式 63 870 170 211 2 452 181 211 2 452 725 243 31 21 23 13 rr rr rr rr D 63 4114 378622 001 2 4 454 7222 241 31 21 1 cc cc D 126 002 3125 453 2 2 442 7225 213 31 21 2 rr rr D 189 1070 1770 311 2 452 1481 311 2 452 2225 143 31 21 23 13 3 rr rr rr rr D 得 1 1 1 D D x2 2 2 D D x3 3 3 D D x 16 判断下列齐次方程组是否有非零解 1 032 05 083 0793 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 解 由系数行列式 3211 1511 1813 7931 D 4720 81440 221980 7931 3 41 31 21 rr rr rr 0 472 8144 22198 第一 二行对应元素成比例 此齐次方程组有非零解 2 03 0243 0332 022 4321 4321 4321 421 xxxx xxxx xxxx xxx 解 由系数行列式 301 511 1104 1 2 301 511 122 1 3001 5011 3132 1022 1131 2143 3132 1022 1223 42 32 rr rr rr D 01 31 114 此齐次方程组只有唯一的非零解 17 若齐次线性方程组 有非零解 则取何值 0 2 5 04 3 yx yx 解 由系数行列式 2 7 14520 2 3 25 43 2 D 其齐次线性方程组有非零解 则 或 7 2 习题二习题二 A 组组 1 计算下列矩阵的乘积 1 23 12 52 11 31 解 23 12 52 11 31 1211 15 77 251253 2 2 2 1 113 1 2 1 231133 2 1 2 0 1 1 1 132 3 3 5 0 0 2 1 035 311 521 124 0132 1214 解 3 5 0 0 2 1 035 311 521 124 0132 1214 10316 665 3 5 0 0 2 1 16116 7923 4 3 2 1 333231 232221 131211 321 x x x aaa aaa aaa xxx 解 3 2 1 333231 232221 131211 321 x x x aaa aaa aaa xxx 2 333 2 222 2 111 xaxaxa 212112 xxaa 313113 xxaa 323223 xxaa 2 计算下列各矩阵 1 5 24 23 解 5 24 23 2 24 23 2 24 23 24 23 44 21 44 21 24 23 812 67 24 23 84 23 2 2 210 013 112 解 2 210 013 112 433 349 447 3 n 10 11 解 n 10 11 n 00 10 10 01 nnnn nn n 00 10 00 10 10 01 2 1 00 10 10 01 10 01 221 10 01 10 1 00 0nn 其中 2 00 10 3 00 10 00 00 00 10 n 4 n 00 10 01 解 n 00 10 01 n 000 100 010 00 00 00 n 000 100 010 100 010 001 22 2 1 1 000 100 010 100 010 001 2 1 000 100 010 100 010 001 100 010 001 n n n n n n nn n 000 000 2 1 00 000 00 00 00 00 00 2n n n n n n nn n n n nn nnn n nn n 00 0 2 1 1 其中 000 000 100 000 100 010 2 000 000 000 000 100 010 000 100 010 3n 5 证明 对任意矩阵 与都是对称方阵 而当为阶对称方阵时 则对任意阶方阵 nm AAAT T AAAnnC 为对称方阵 ACC T 证明 1 为阶方阵 又 为阶对称方阵AAT nAAAA TTT AAT n 同理为阶对称方阵 T AAm 2 为阶方阵 为阶对称方阵 又 ACC T nA nAAT ACCACC TTT 为阶对称方阵ACC T n 6 设均为阶方阵 证明 如果CBA n CAACABEB 则 ECB 解 由已知 则 且 EBAEEABB BAE 1 ACAC 即 则 得 AAEC ABAEAC 1 EABBCB 8 3 122 341 213 A 解 25 A10 11 A5 21 A5 31 A 7 12 A1 22 A11 32 A6 13 A8 23 A13 33 A 1386 1117 5510 25 1 1 A 9 解下列矩阵方程 1 23 12 35 12 X 解 由 25 13 35 12 1 得 116 19 23 12 25 13 23 12 35 12 1 X 3 021 102 341 010 100 001 100 001 010 X 解 由 010 100 001 021 102 341 100 001 010 010 100 001 021 102 341 100 001 010 11 X 即 201 431 012 010 100 001 021 341 102 201 431 012 X 11 设 求BAABA 2 011 002 100 B 解 由已知 2 2ABEAABAB 因 01622 3 AABEABEA 存在 则 1 EAAEAB2 1 由 222 404 200 010 210 1012 022 004 200 111 012 101 2 31 21 rr rr AEA 313 222 113 100 010 001 2 1 626 404 200 200 210 101 3 2 1 23 13 32 r rr rr rr 所以 313 222 1113 2 1 AEAB 12 设均为 n 阶方阵 为 n 阶单位阵 证明 BA E 1 若 则可逆 ABBA EA 2 若 则可逆 并求 OEAA 43 2 EA 1 EA 解 1 由已知 即 EEBAAB EEBEAEEBEBA 所以 可逆 且 EA EBEA 1 2 由已知 EEAEAAEEAAEAA2 2 222 所以 可逆 且 2 2 EEAEA EA AEEAEA 2 1 2 2 1 1 14 设 求 及 1100 2100 0023 0012 A 4 AA 1 A 解 331 11 21 23 12 A 由 7 4 8 7 11 21 97168 56 97 23 1 2 44 所以 7400 8700 0097168 005697 4 A 由 所以 11 2 1 3 1 11 21 23 12 23 1 2 1 1 3 1 3 1 00 3 2 3 1 00 0023 0012 1 A 15 用初等变换把下列矩阵化为标准形 1 02 1 123 21 1 A 解 02 1 123 21 1 A 100 010 001 1 100 110 101 5 1 5 1 5 1 2 1 0 5 50 21 1 3 3 23 13 2 12 32 31 21 r rr rr r rr rr rr rr 16 求下列各矩阵的秩 2 61331 3114 0513 3312 A 3312 3114 0513 61331 41 rr 152970 2753130 183480 61331 2 4 3 41 31 21 rr rr rr 152970 2753130 3510 61331 24 rr 6600 121200 3510 61331 7 13 42 32 rr rr 121200 6600 3510 61331 所以 0000 6600 3510 61331 3 AR 17 设 且矩阵的秩为 2 求 110 101 011 A a a a B 11 12 11 ABa 解 因为 所以 0 又因为 所以 即2 ABRBAAB 0 A0 B01 a1 a 习题三习题三 A 组组 2 设 其中 123 3 2 5 求向量 TTT 123 2 5 1 3 10 1 5 10 4 11 1 解 由已知 123 325325 即 123123 11 325 325 66 所以 4 3 2 1 4 3 2 1 5209 5103 5215 20206 6 1 T 3 设向量组线性无关 而向量组 试判断向 123 112123313 2 量组的线性相关性 123 解 设数 使得 成立 即 321 kkk 112233 0kkk 1122123313 2 0kkk 1231122233 2 0 kkkkkkk 得线性方程组 其系数行列式 02 0 0 32 21 321 kk kk kkk 0 1 2 10 011 111 线性方程组只有唯一解 则向量组的线性无关 0 321 kkk 123 5 已知向量组 问取何值时向量组线性无 TTT 123 1 2 3 31 2 2 3 c c 123 关或向量组线性相关 123 解 设数 使得成立 321 kkk 112233 0kkk 得线性方程组 其系数行列式 023 032 023 321 321 321 ckkk kkk kkk 5 7 32 213 321 T c c 所以 线性方程组有非零解 向量组线性相关 05c 123 线性方程组只有零解 向量组线性无关 05c 123 6 设向量组线性无关 证明向量组也线性无关 123 122331 解 设数 使得成立 321 kkk 112223331 0kkk 得线性方程组 其系数行列式 0 0 0 32 21 31 kk kk kk 02 110 011 101 T 线性方程组只有唯一解 所以向量组线性无关 0 321 kkk 122331 7 设向量组线性无关 判断向量组线性相关性 123 12233441 并证明之 解 设数 使得 成立 4321 kkkk 112223334441 0kkkk 得线性方程组 其系数行列式 0 0 0 0 43 32 21 41 kk kk kk kk 0 1100 0110 0011 1001 则线性方程组有非零解 所以向量组线性相关 12233441 9 若向量组线性无关 而向量不能由线性表示 证明向量组 m 21 m 21 线性无关 m 21 证明 反证法 设线性相关 由定理 3 1 向量可由线性表示 这与已知条 m 21 m 21 件矛盾 假设不成立 所以向量组线性无关 m 21 10 判断题 结论对的请在括号内打 错的打 1 若当数时 有则向量组线性无关 0 21 m kkk 0 2211 mm kkk m 21 2 若有个不全为零的数 使得则向量组m m kkk 21 0 2211 mm kkk 线性无关 m 21 3 若向量组线性相关 则可由其余向量线性表示 m 211 4 设向量组 若向量组线性无关 则 r I 21 mrr II 121 r I 21 向量组也线性无关 mrr II 121 5 若向量组线性无关 则向量不能由线性表示 21m m 21 6 若向量组线性无关且向量不能由线性表示 证明向量组 m 211 m m 21 线性无关 121 mm 7 若向量不能由线性表示 则向量组线性无关 m 21 21m 提示 利用向量组 讨论 1 4 7 利用定理 3 1 和 3 2 讨论 5 6 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 3 0 2 4321 12 求下列向量组的秩 并求它的一个极大无关组 1 TTT 3 3 1 2 2 0 0 1 1 321 解 取矩阵 320 321 101 321 A 100 220 101 320 220 101 3221 rrrr 所以向量组的秩为 3 极大无关组是 321 2 TTTT 0 2 1 1 14 7 0 3 2 1 3 0 4 2 1 1 4321 解 取矩阵 4321 A 0000 4000 0110 1301 4000 0000 0110 1301 3 1 2 1 3 1 4220 0110 0330 1301 4 2 01424 2712 1031 1301 43 2 42 32 41 31 21 rr r rr rr rr rr rr 所以向量组的秩为 3 极大无关组是 421 3 TTTT 1 2 3 4 1 1 0 1 1 4 5 2 1 3 2 1 4321 解 取矩阵 A 1111 2143 3052 4121 4321 0000 20800 5210 4121 20800 20800 5210 4121 3 2 5230 10420 5210 4121 3 2 43 32 32 41 31 21 rr rr rr rr rr rr 所以向量组的秩为 3 极大无关组是 321 14 求解线性方程组 1 34 332 6133 053 321 321 321 321 xxx xxx xxx xxx 解 由增广阵 0000 1100 2010 1001 2010 1100 0000 1001 6 1 6 5 6 2 3510 6600 6600 3201 3 7 8 3510 152970 183480 61331 2 3 3510 3312 0513 61331 2 3114 3312 61331 0513 42 3 23 43 13 14 34 24 31 21 43 21 rr r rr rr rr rr rr rr rr rr rr rr A 所以 1 2 1 3 2 1 x x x 2 1232 132 3 321 321 321 xxx xxx xxx 解 由增广阵 3000 2410 3111 5410 2410 3111 12 1232 1321 3111 32 3 21 rr rr rr A 得 所以此方程组无解 3 2 ArAr 3 323 1534 2322 123 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 解 由增广阵 00000 00000 01 7 4 10 11 7 5 01 7 1 7 3 07470 07470 07470 12131 3 2 31123 15341 23212 12131 2 42 32 12 41 31 21 r rr rr rr rr rr rr A 得同解方程组 44 33 432 431 7 4 7 5 1 xx xx xxx xxx 取 得通解 7 2413 kxkx 1 0 1 1 0 7 4 5 0 0 0 1 21 4 3 2 1 kk x x x x 4 2534 4323 12 4321 4321 432 1 xxxx xxxx xxxx 解 由增广阵 59570 101810140 25341 2 3 11112 43123 25341 25341 43123 11112 31 21 31 rr rr rrA 00000 7 5 7 9 7 5 10 7 6 7 1 7 1 01 14 1 2 1 7 4 2 32 12 r rr rr 得同解方程组 44 33 432 431 7 9 7 5 7 5 7 1 7 1 7 6 xx xx xxx xxx 取 得通解 7 7 2413 kxkx 7 0 9 1 0 7 5 1 0 0 7 5 7 6 21 4 3 2 1 kk x x x x 15 求下列齐次线性方程组的基础解系及全部解 1 023 02 022 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 解 由系数阵 0000 1 5 1 10 0 5 3 01 5 1 32 5 2 5150 5150 2121 3 2 1213 1112 2121 2 12 31 21 r rr rr rr rr A 得同解方程组 取 44 33 432 31 5 1 5 3 xx xx xxx xx 5 2413 kxkx 得通解 基础解系 1 0 1 0 0 0 1 3 21 4 3 2 1 kk x x x x 1 0 1 0 0 0 1 3 21 2 05105 0363 02 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 解 由系数阵 0000 0100 1021 0400 0400 1121 5 3 51105 3163 1121 31 21 rr rr A 得同解方程组 取 44 3 22 421 0 2 xx x xx xxx 2412 kxkx 得通解 基础解系 1 0 1 0 0 0 1 2 21 4 3 2 1 kk x x x x 1 0 1 0 0 0 1 2 21 4 022 02243 0222 5321 54321 54321 xxxx xxxxx xxxxx 解 由系数阵 32650 32650 22431 2 10221 12212 22431 10221 22431 12212 31 21 21 rr rr rrA 00000 5 3 5 2 5 6 10 5 1 5 4 5 2 01 5 3 5 3 2 32 12 r rr rr 得同解方程组 取 55 44 33 5432 5431 5 3 5 2 5 6 5 1 5 4 5 2 xx xx xx xxxx xxxx 352413 5 5 5kxkxkx 得基础解系 通解 5 0 0 3 1 0 5 0 2 4 0 0 5 6 2 321 332211 kkk 18 已知非齐次线性方程组 12 3 13 12 12 321 321 321 xxx xxx xxx 解 由增广阵 22100 0110 12 123 1312 12 31 21 rr rr A 知 当时 方程组有无穷多解 1 0000 0100 1011 2 0000 0100 1211 12 rrA32 ArAr 通解为 0 1 1 0 0 1 1 3 2 1 k x x x 当时 0 3000 2100 2010 21 2010 3000 2 2100 0110 1200 23 13 rr rr A 则 方程组无解 3 2 ArAr 当时 有 方程组有唯一解 1 0 3 ArAr 19 问取何值时 线性方程组ba 42 3 4 321 321 321 xbxx xbxx xxax 有唯一解 无解 无穷多解 无穷多解时并求其解 解 1 系数行列式 121 11 11 b b a A 1 ab 当时方程组有唯一解 克拉默法则 1 0 ab 2 当时 0 b 32 4101 3101 411 rr a A 1000 3101 411a 所以线性方程组无解 ARAR 3 当时 1 a 00120 1010 4111 4121 311 4111 31 21 b b rr rr b bA 当时 即时 方程组有无穷多解 012 b 2 1 b32 ARAR 同解方程组为 1 2 1 4 2 321 x xxx 令 得方程组的特解 取得基础解系0 3 x 0 2 2 0 X1 3 x 1 0 1 此时全部解为 其中为任意常数 1 0 1 0 2 2 kk 20 设 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 4321 将表示成向量组的线性组合 4321 解 设数 使得 得 4321 kkkk 44332211 kkkk 1 1 2 1 4321 4321 4321 4321 kkkk kkkk kkkk kkkk 其增广阵 02200 12200 02020 10101 2 1 00220 02020 12200 11111 11111 11111 21111 11111 32 43 13 41 31 21 rr rr rr rr rr rr A 4 1 1000 2 1 0100 4 1 0010 4 5 0001 4 1 1000 4 1 0100 4 1 0010 10101 4 1 4 1 4 1 14000 2 1 1100 01010 10101 2 1 2 1 13 4 34 24 3 43 2 rr r rr rr r rr r 得 即 4 1 4 1 4 1 4 5 4321 kkkk 4321 4 1 4 1 4 1 4 5 21 设四元线性方程组的系数矩阵的秩为 3 是其 3 个解向量 且 AX 321 XXX 8 0 0 2 1 X 求其全部解 4 3 2 1 32 XX 解 所以全部解为 其中为任意常数 12 3 2 3 2 321 XXX 12 3 2 3 8 0 0 2 k k B 组组 1 判断题 结论对的请在括号内打 错的打 1 若 则维向量组线性相关 nm n m 21 提示 定理 3 3 的推论 2 2 若向量组线性相关 则它的任意一个部分组都相关 提示 利用上面 10 题解中的讨论 4321 3 若向量组线性相关 则它的秩小于 反之也对 m 21 m 提示 若向量组的秩为 则若 m 21 m 4 向量组的极大无关组为 TTT 1 2 0 0 5 1 2 4 0 3 0 1 321 21 提示 向量组的秩为 3 321 5 若阶方阵的行列式不等于零 则的列向量组线性相关 nAA 提示 由阶方阵的行列式不等于零 方阵的秩 nAAn 和的列向量组的秩 方阵的秩 则的列向量组线性相关 AAn A 2 填空题 1 向量组的秩 2 TTT 6 0 0 5 4 2 3 2 1 321 解 由 000 100 321 600 100 321 600 542 321 21321 rrA 2 若都是齐次线性方程组的解向量 则 0 21 0 AX 43 21 A 解 043 43 2121 AAA 3 若向量组线性相关 则 1 TTT tt 1 0 0 0 2 1 0 1 1 2 321 解 由线性相关 有 321 0 321 A 即 0 1 1 1 1 2 100 021 011 22 2 321 tttt t tA 4 方程组的基础解系所含向量的个数 1 0 0 111 032 3 2 1 x x x 解 由系数阵的秩是 2 5 方程组的基础解系为 0 0 43 21 xx xx 1 1 0 0 0 0 1 1 21 6 若线性方程组的有解 则长数 15 4 kkxx xx xx 21 21 21 3 12 2 k 解 线性方程组的有解 则其系数阵的秩 增广阵的秩 有 kkxx xx xx 21 21 21 3 12 2 0 A 所以 0154 3 1 6 3 630 130 211 3 3 121 211 21 21 kkk kk rr rr kk A 3 单项选择题 1 向量组 I 线性相关的充分必要条件是 B A I 中每个向量都可由其余向量线性表示 B I 中至少有一个向量都可由其余向量线性表示 C I 中只有一个向量都可由其余向量线性表示 D I 中不包含零向量 提示 定理 3 2 习题四习题四 A 组组 10 下列矩阵是否为正交矩阵 1 2 6 1 6 1 6 2 2 1 2 1 0 3 1 3 1 3 1 2 1 0 2 1 0 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 解 1 其中 321 A 3211 i i ji ji 0 321 ji 所以为正交矩阵A 2 其中 321 A 3211 i i ji ji 0 321 ji 所以不是正交矩阵A 11 设是阶对称矩阵 是阶正交矩阵 证明也是对称矩阵AnBnABB 1 证明 由题意可知 AAT 1 BBT 因为 所以也是对称矩阵ABBABB T11 ABB 1 习题五习题五 A 组组 1 设矩阵 试证向量为矩阵的属于特征值的特征向量 111 131 111 A T 1 1 1 A1 解 由 1 1 1 1 1 1 1 111 131 111 A 所以向量为矩阵的属于特征值的特征向量 T 1 1 1 A1 3 若是矩阵的一个特征值 是正整数 试证是矩阵的一个特征值 0 Am m 0 m A 证明 由是矩阵的一个特征值 存在非零向量 使得成立 即是矩阵 0 A 0 A A 的属于特征值的特征向量 那么有 0 mmmmmmm AAAAAAmAA 0 22 0 2 0 1 00 11 所以是矩阵的一个特征值 m 0 m A 4 若是矩阵的一个特征值 试证 0 A 1 是矩阵的一个特征值 2 0 2 0 EAA2 2 2 若 矩阵的特征值只能等于 2 或 1 02 2 EAAA 证明 由是矩阵的一个特征值 存在非零向量 使得成立 即是矩阵 0 A 0 A A 的属于特征值的特征向量 那么有 0 1 2 2 0 2 00 2 0 22 EAAEAA 所以是矩阵的一个特征值 2 0 2 0 EAA2 2 2 由 和 有 02 2 EAA 2 2 0 2 0 2 EAA00 02 0 2 0 得 即矩阵的特征值只能等于 2 或 1 12 00 A 7 求下列矩阵的特征值与特征向量 1 22 23 A 解 由 0 2 1 4 2 3 22 23 AE 得特征值 2 1 21 当时 对应的特征向量应满足齐次线性方程组 1 1 0 XAE 即 其基础解系 所以矩阵的属于特征值的全部特征向量为 0 0 12 24 2 1 x x 2 1 1 A1 1 11 k 其中是任意非零常数 1 k 当时 对应的特征向量应满足齐次线性方程组 2 2 02 XAE 即 其基础解系 所以矩阵的属于特征值的全部特征向量为 0 0 42 21 2 1 x x 1 2 2 A2 2 22 k 其中是任意非零常数 2 k 2 41 12 A 解 由 0 3 1 2 4 41 12 2 AE 得特征值 3 21 当时 对应的特征向量应满足齐次线性方程组 3 21 03 XAE 即 其基础解系 所以矩阵的属于特征值的全部特征向量为 0 0 11 11 2 1 x x 1 1 A3 21 k 其中是任意非零常数 k 3 311 111 002 A 解 由 3 2 1 3 1 2 311 111 002 AE 得特征值 2 321 当时 对应的特征向量应满足齐次线性方程组 2 321 02 XAE 即 其基础解系 所以矩阵的属于特征值的 0 0 0 111 111 000 3 2 1 x x x 1 0 1 0 1 1 21 A 2 321 全部特征向量为 其中是任意不同时为零常数 2211 kk 21 k k 8 设为 3 阶矩阵 满足 求A023 0 0 AEAEAE 1 的特征值 2 的行列式 AAA 解 1 因得因即得 0 AE 1 1 0 1 3 AEAEAE 0 AE 1 2 因即得 0 2 3 2 2 3 223 3 AEAEAE 0 2 3 AE 2 3 3 2 由和 有 2 3 1 1 321 321 A 2 3 A 9 已知矩阵 x A 44 174 147 的特征值求的值 并求矩阵特征向量 12 3 321 xA 解 由和 12 3 321 321 A 因 2433 74 3 44 3 04474 033 147 44 174 147 31 21 xxx xx rxr rr x A 1081233 321 A 得 4 1022433 xx 当时 对应的特征向量应满足齐次线性方程组 3 21 03 XAE 即 由其基础解系 所以矩阵的属于特征值的全 0 0 0 144 144 144 3 2 1 x x x 4 0 1 0 1 1 21 A3 21 部特征向量为 其中是任意不同时为零常数 2211 kk 21 k k 当时 对应的特征向量应满足齐次线性方程组 12 3 012 XAE 即 由其基础解系 所以矩阵的属于特征值的全 0 0 0 844 154 145 3 2 1 x x x 4 0 1 0 1 1 21 A3 21 部特征向量为 其中是任意不同时为零常数 2211 kk 21 k k 12 设 3 阶矩阵的特征值为 2 1 3 矩阵 求矩阵的行列式 A 2 53BAAE BB 解 因为的特征值为 2 1 3 所以的特征值为 17 9 3 A 2 53BAAE B 所以 4593917 B 17 设为阶可逆矩阵 且相似于 试证 AnAB 1 为可逆矩阵 2 相似于B 1 A 1 B 1 证明 因为相似于 所以存在可逆矩阵使 ABPAPPB 1 PAPAPPB 11 因为为阶可逆矩阵 所以 即 所以为可逆矩阵An0 A0 BB 2 因为 所以 所以相似于APPB 1 PAPAPPB 11111 1 A 1 B 19 已知 3 阶矩阵与相似 的特征值为 求行列式的值 ABA 1 1 1 2 3 4 EB 1 解 因为与相似 所以与有相同的特征值 所以的特征值也为 所以的特征ABABB 1 1 1 2 3 4 EB 1 值为 1 2 3 所以 6321 1 EB 24 试证 若正交矩阵有实特征值 则该特征