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数学物理方程王元明答案【篇一：数学物理方程结课论文】s=txt摘要 粘性流体力学是一个历史悠久而又富有新生命力的学科。它与人们日常生活、健康和旅行无不息息相关。早在纪元前希腊学者阿基米德即建立了液体载物的浮力理论，其领先远超于力学建基之始。二千二百年前在李冰父子创导下，我国也建利灌舒洪的都江堰，这个伟大工程当时确已掌握现今的水力学原则和近代的工程设计理论。在流体粘性效应的问题上，不乏先进接连攻关，终难胜克，足见其艰困之甚。 近数年代里，由于工业发展的迫切需求，已促进不少新学科的萌芽滋长。诸如能源发展；海洋、大气和陆地交应干扰和持恒；农林牧业的生物科技新探索；城市、河流和山岳的环境保护；疾病防治的医疗科学以及自然灾害的消减和救援等都赋予流体力学新的生命。 纳维-斯托克斯方程又称为n-s方程，是描述实际流体运动的微分方程式，纳维-斯托克斯方程在流体力学中有十分重要的意义。本文将在阐述粘性流体力学的基本方程的基础上，借助于数学软件maple，应用n-s方程解决平行平板间的脉冲流动问题。 关键词：n-s方程，平行平板，脉冲流动，maple 第一章 数学及物理背景 数学物理方程以具有物理背景的偏微分方程（组）作为研究的主要对象，主要是指力学、天文学、物理学及工程技术中提出来的偏微分方程，它是随着17世纪工业生产的发展，伴随着天文学、物理学等自然科学的发展而逐步形成的一门独立学科。描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式，特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。所以数学物理方程在推动数学理论发展对于推动数学理论的发展，加强理论与实际的联系，帮助人们认识世界和改造世界都起着重要作用。但是在使用函数和解方程中，针对表达式和符号运算的问题一直困扰着我们，只能依赖铅笔和演草纸进行纯手工计算，现在这些工作都可以借助计算机代数系统来完成。 计算机代数系统包括数值计算、符号计算、图形演示和编程等四部分。在科学研究、教育教学等各个领域得到广泛应用。maple是一种计算机代数系统，是目前广泛使用的数学计算工具之一。用maple不但可以进行简单的加减乘除运算，也可以求解代数方程、微分方程，进行微分运算或处理线性代数问题。 纳维斯托克斯方程是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程。这些方程建立了流体的粒子动量的改变率和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力以及引力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。这样，纳维斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。纳维斯托克斯方程依赖于微分方程来描述流体的运动。这些方程和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量的关系，而是建立这些变量的变化率或通量之间的关系。用数学术语来讲，这些变化量对应于变量的导数。这表示对于给定的物理问题的纳维斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。 第二章 纳维斯托克斯方程 纳维斯托克斯方程为一组非线性二阶偏微分方程组，一般情况下在数学上求其精确解是非常困难的。只有在某些特殊流动情况下，例如当非线性的迁移项为零的情况下，可以求得精确解。 ns方程 ?2ux?2ux?2uxdu1?px?(2?2?2)?x ?x?x?y?zdt 222duy1?p?uy?uy?uyy?(2?2?2)?y?x?y?zdt 1?p?2uz?2uz?2uzduz?(2?2?2)?z?z?x?y?zdt 在理想不可压缩流体的 euler 方程，虽然也存在非线性的惯性项，但是因为相当一部分的实际问题是无旋的。对于无旋流动，问题可归结为求解线性的 laplace 方程（运动学方程），速度势求出后，压力可由拉格朗日积分或伯努力积分求出（动力学问题），问题得到了很大的简化。 但是粘性不可压缩流体的运动中，运动都是有旋的，因而也不存在拉格朗日积分或伯努力积分，因此不得不求解原始的二阶偏微分方程组。 到目前为止，还没有求解非线性偏微分方程到普遍有效的方法，在流体力学中，求解上述非线性偏微分方程组通常有两种主要途径： （1）准确解： 在一些简单到问题中，由于问题的特点，非线性的惯性项或者等于零，或者是非常简单的非线性方程组，此时基本方程组或者化为线性方程组，或者化为简单的非线性方程组，从而可以找出方程组的准确解来。但是具有准确解的问题为数很少，而且一般说来很少能直接地用到实际问题中去。 （2）近似解： 根据问题到特点，略去方程中某些次要项，从而得出近似方程。在某些情况下，可以得出近似方程的解。这种途径称为近似方法，可采用近似方法求解的主要有下列两种情况： （a）小雷诺数re情况，此时粘性力较惯性力大得多。可以全部或部分地忽略惯性力得到简化的线性方程。 （b）大雷诺数re情况，若将粘性力全部略去，并且在物面上相应地提滑移边界条件，这就是理想流体的近似模型。在这个近似模型中无法求出符合实际的阻力。 进一步研究发现，在贴近物面很薄的一层边界层中，必须考虑粘性的影响，但此时根据问题的特点，可以略去粘性力中的某些项，从而得到简化的边界层方程（仍是非线性的）。而在边界层外，仍可将粘性全部忽略。 （c）对于中等雷诺数re的情况，惯性力和粘性力都必须保留，此时只能通过其它途径简化问题，或者利用数值计算方法求方程到数值解。 第三章 平行平面间的脉冲流动 平行平面间的脉冲流动是一个可以得到ns方程精确解的非恒定流动，它对研究血液流动是有意义的。图1两个固定的平行平面位于y= ?a处，x处的压强梯度随时间振动，于是x方向的流速也将随压强梯度而振动。在y,z方向流 图表 1 平行平板间的脉冲流动 速均为零，即v?0，w?0从而由连续性方程可得?u?0。于是 ?x u?(u(y,t),0,0) (0.1) ns方程简化为 ?u1?p?u?*?() (0.2) ?t?x?y?y 边界条件 y?a;u?0 (0.3) 假设压强梯度的振动为以下形式： ?p?p(t)?acos?t (0.4) ?t 式中，a为实数常数，代表振动幅度，?代表振动频率，则式（1）改写为 ?u?u?u?p(t)?()?acos?t?() (0.5) ?t?y?y?y?y 若流速u可以表示为 u(y,t)?ref(y)ei?t(0.6)【篇二：数理方程_波动方程的分析】波动方程的分析 波动方程的分析 摘要: 波动方程是一个二阶线性偏微分方程。解二阶偏微分方程的主要方法是分离变量法。在下面介绍波动方程是怎样导出来的，它的物理意义是什么，在不同的坐标系里波动方程的表达式应该怎么写，有什么边界条件，在给定的边界条件下怎么用分离变量法得到波动方程的解等等问题。 关键词: 波动方程；分离变量法；边界条件；本征方程；本征值；本征函数 1引言 2波动方程的导出 (1)波动方程是从均匀直棒的弹性形变过程中推得的，一般来说，它适用于各向同性的均匀介质。 (2)波动方程等号两边分别是未知量y对变量t和对变量x的二阶偏导数的正比函数，所以该波动方程是线性的。之所以会得到线性方程，这是因为该波动方程是根据牛顿第二定律和胡克定律推导出来的，而这两个定律的数学表达式都是线性方程。 (3)波动方程是线性方程，则从理论上保证了波动满足叠加原理。如果u1和 u2都是波动方程的解，即以下两式成立 ?u1?t 222 ?a 2 ?u1?x 22 2 （1） ?u2?t 2 ?a 2 ?u2?x 2 （2） 将以上两式相加，得 ? 2 ?u1?u2? ?t 2 ?a 2 ? 2 ?u1?u2? ?x 2 （3） - 1 - 这表示，u1?u2也是波动方程的解。u1?u2表示两列波的叠加。所以说，线性的波动方程从理论上保证了波动满足叠加原理。 (4)胡克定律表示，在比例极限以内，应力与应变满足线性关系。在比例极限之内的应变必定是幅度很小的形变，这就是说，满足上述波动方程的波，一定是振幅很小的波，当这样的波传来时，所引起的介质各部分的形变也是很小的。 (5)平面简谐波波函数是波动方程的解。既然平面简谐波波函数是波动方程的解，由于波动方程是线性方程，所以不同振幅、不同频率的平面简谐波波函数的线性组合也一定是波动方程的解。那么不同振幅、不同频率的平面简谐波波函数的线性组合是什么波呢？根据傅利叶理论，这种线性组合是任意的周期性波(有限项组合)或任意的非周期性波(无限项组合)。弦受到外力作用时方程变为： ?u?t 22 ?a 2 ?u?x 2 2 ?f?x,t? （5） 形式。其中 f?x,t? 1 f?x,t?（6） ? 表示t时刻单位质量的弦在x点处所受的外力密度。这个方程叫做强迫振动方程，是一维非齐次波动方程。两个方程中的a2均等于t/?。?是弦的线密度，t是 - 2 - 弦所受的张力。 此外电路中的传输线方程也是一维波动方程。可以写成 ?i?x 22 ?lc ?i?t 2 2 ?rc?gl? ?i?t ?gri（7） 或 ?v?x 22 ?lc ?v?t 2 2 ?rc?gl? ?v?t ?grv （8） 形式。其中v是电源电压，i是电流，r是回路单位的串联电阻，l是回路单位的串联电感，c是单位长度的分路电容，g是单位长度的分路电导。当g=r=0时方程可以简化为 ?i?t 22 ? 1?i 2 2 lc?x （9） 或 ?v?t 22 ? 1?vlc?x 2 2 （10） 的形式。 4 波动方程在不同坐标系中的表达式 球坐标系和柱坐标系是我们经常讨论的空间坐标系，波动方程u?x,y,z?在空间坐标系中的一般表达式为： ?u?t 22 ?2u?2u?2u ?a?u?a?x2?y2?z2 ? 2 2 2 ? ?（11） ? 此方程满足球坐标系和柱坐标系中波动方程的表达式。 球坐标系中的波动方程u?r,?,?的一般表达式： 1?2?u?1?u?1?u1?u r?sin?222222 ?r?rsin?rsin?r?r?a?t 2 2 （12） 柱坐标系中的波动方程u?,?,z?的一般表达式： - 3 - 1?u?1?u1?u ?2222 ?a?t? 22 （13） 5 波动方程的三种边界条件 第一类边界条件：固定端，即弦在振动过程中这个断点始终保持不动，对应于这种状态的边界条件为 u| x?a ?0 或 u?a,t?0 第二类边界条件：自由端，即弦在这个端点不受位移方向的外力，从而在这个端点弦在位移方向的张力应改为零。此时所对应的边界条件为： ?u |?x x?a ?0 或 ux?a,t?0 第三类边界条件：弹性支承端，即弦在这个端点被某个弹性体所支承。设弹性支承原来的位置为u?0，则u|x?a就表示弹性支承的应变，有胡克定律可知，这时弦在x?a处沿位移方向的张力t t?u ?u?x | x?a 应该等于?ku| x?a ，即 |?x x?a ?ku| x?a 或 ?u? ?u?|?0 ? x?a ?x? 其中k为弹性体的倔强系数，?k/t。 6 波动方程在给定的边界条件下的解法 解波动方程的主要方法是分离变量法，分离变量法的主要步骤大体分为： 一，首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解 题。 二，确定特征值与特征函数，由于特征函数是要经过叠加的，所以用来确定 - 4 -【篇三：波动方程及其求解】交变电磁场中的波动方程及其求解 成绩_ 交变电磁场中的波动方程及其求解 李太和1 【摘要】利用麦克斯韦方程推导出交变电磁场中的波动方程。当电磁场的空间分布从均 匀向不均匀变化时，考虑的变量增多，需要用空间中以该点为球心的球面上的平均值来代替该点初始值，然后将问题转化为我们之前熟悉的一维波动方程，利用行波法求解问题。 1 李太和地物1401学号：1401030104 联系电话【关键词】麦克斯韦方程组平均值 行波法 坐标变换 在21世纪中，电磁波扮演着至关重要的角色，从移动设备的通信，到卫星的信号传播，都借助于对电磁波的深入了解。所以了解空间中电磁波在传播过程中是怎样分布的就显得很重要了。 一、无限域交变电磁场波动方程的建立 在介质无耗、均匀且各向同性的无源区域（? j=0 ?=0）由麦克斯韦方程组 ?h?4?1?d? 4?cj?e c?t=j? ?e?1?b?c?c?t c?h?b?h?tc?t又?j=0?=0得 ?0即：?h?0 ?d?e?4?即?e? 4? ? 对方程（2）两边取旋度有?e? c?t ?h? ?e?(?e?)?2e?2 e?h?ec?t ?2e?2e ?c2?t 2?0 (5) ?同理可得?2h?2h c2?t 2 ?0(6) ?h?e?c?t?e?h?c?h?t?0(3)?e?0(4)(1)(2) 1 ? （5）（6）为关于场量e?与h的矢量波动方程，表示时变电磁场以波的形式在空间存在和传播，其波速v? ? 在直角坐标系中，对 e 的矢量波动方程可为三个标量波动方程?2ex?2ex?2ex?2ex ?2?2?0?x2?y2?zc?t2?2ey?x2 ?2ey?y2 ?2ey?z2 ? 2 ?ey c2?t2 ?0 ?2ez?2ez?2ez?2ez ?2?2?0222 ?x?y?zc?t 上述三式符合三维波动方程的表达式，下面对一般的三维无限空间的波动方程进行求解，即求解下列问题： 2?2u?2u?2u2?u ?2?a(2?2?2),?x,y,z?,t?0 ?x?y?z?t ? -?x,y,z?ut?0?0(x,y,z)， ? ?u?(x,y,z),-?x,y,z? 1 ?tt?0 二、波动方程的求解 对于偏微分方程 2?2u?2u?2u2?u ?2?a(2?2?2),?x,y,z?,t?0 ?x?y?z?t ? -?x,y,z?ut?0?0(x,y,z)， ? ?u?(x,y,z),-?x,y,z? 1 ?tt?0 为简化计算我们不去考虑波函数本身，而是考虑u在以m(x,y,z)为球心，以r为半径的球面上的平均值，则这个平均值当x,y,z暂时固定之后就只与r,t有关 2这样就启发我们先引入一个函数u(r,t)，它是函数u(x,y,z,t)在以点m(x,y,z)为中心、以r为半径的球面sr上的平均值，即 （ur,t）=14? 14?r2 m msr ?u(?,?,?,t)ds 1 1 = ?u(x?rx,y?ry,z?rz,t)d? 1 os1 其中?=x?rx1,?y?ry1,?z?rz1是球面srm上点的坐标，s10是以原点为中心的 m 单位球面，d?是单位球面上的面积元素，ds是sr上的面积元素，显然 ds?r2d?.在球面直角坐标系， x1?sin?cos?,y1?sin?sin?,z1?cos?,d?sin?d?d?. 由u(x,y,z)的连续性可知，当r?0时， u(0,t)?u(m,t) u(r,t)?u(m,t) ，即lim r?0 此处的u(m,t)表示函数在m点及时刻t的值. 下面推导u(r,t)的微分方程下式中vr表示sr所围成的的球体(x,y,z)表示在 m m vrm流动点的坐标，并应用高斯定理得 ?2u(x,y,z,t)?2u(x,y,z,t)?2u(x,y,z,t)?2u(x,y,z,t)2 ?a?(?)dv2222?t?x?y?zvmvm r r ?u(x,y,z,t)?u(x,y,z,t)?u(x,y,z,t)? ?a?()?()?()?dv ?x?x?y?y?z?z?vrm? 2 ?a2? s