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试卷选编高等数学试题一、填空题（每小题分，共分） _ 函数2 的定义域为 _ 2_。 函数x 上点（ ， ）处的切线方程是_。 （Xoh）（Xoh） 设（X）在Xo可导且（Xo），则 ho h _。 设曲线过（，），且其上任意点（，）的切线斜率为，则该曲线的方程是_。 _。 4 _。 x 设（，）（），则x（，）_。 _ R R22 累次积分 （2 2 ） 化为极坐标下的累次积分为_。 0 0 3 2 微分方程 （ ）2 的阶数为_。 3 2 设级数 n发散，则级数 n _。 n=1 n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，每小题分，每小题分，共分） （一）每小题分，共分 设函数（） ，（），则（） （ ） 0 时， 是 （ ） 无穷大量 无穷小量 有界变量 无界变量 下列说法正确的是 （ ） 若（ X ）在 XXo连续， 则（ X ）在XXo可导 若（ X ）在 XXo不可导，则（ X ）在XXo不连续 若（ X ）在 XXo不可微，则（ X ）在XXo极限不存在 若（ X ）在 XXo不连续，则（ X ）在XXo不可导 若在区间（，）内恒有（），（），则在（，）内曲线弧（）为 （ ） 上升的凸弧 下降的凸弧 上升的凹弧 下降的凹弧 设(x) (x)，则 （ ） (X)(X) 为常数 (X)(X) 为常数 (X)(X) （） （） 1 （ ） -1 方程在空间表示的图形是 （ ） 平行于面的平面 平行于轴的平面 过轴的平面 直线 设（，）3 3 2 ，则（，） （ ） （，） 2（，） 3（，） （，） 2 n 设n，且 ，则级数 n （ ） n n=1 在时收敛，时发散 在时收敛，时发散 在时收敛，时发散 在时收敛，时发散 方程 2 是 （ ） 一阶线性非齐次微分方程 齐次微分方程 可分离变量的微分方程 二阶微分方程 （二）每小题分，共分 下列函数中为偶函数的是 （ ） x 3 3 设（）在（，）可导，12，则至少有一点（，）使（ ） （）（）（）（） （）（）（）（21） （2）（1）（）（） （2）（1）（）（21） 设（X）在 XXo 的左右导数存在且相等是（X）在 XXo 可导的 （ ） 充分必要的条件 必要非充分的条件 必要且充分的条件 既非必要又非充分的条件 设（）（）2 ，则（），则（） （ ） 过点（，）且切线斜率为 3 的曲线方程为 （ ） 4 4 4 4 x 2 （ ） x0 3 0 （ ） x0 22 y0 对微分方程 （，），降阶的方法是 （ ） 设，则 设，则 设，则 设，则 设幂级数 nn在o（o）收敛， 则 nn 在o（ ） n=o n=o 绝对收敛 条件收敛 发散 收敛性与n有关 设域由，2所围成，则 （ ） D 1 1 0 x _ 1 y 0 y _ 1 x 0 x _ 1 x 0 x 三、计算题（每小题分，共分） _ 设 求 。 （） （2） 求 。 x4/3 计算 。 （x ）2 t 1 设 （），（），求 。 0 t 求过点 （，），（，）的直线方程。 _ 设 x ，求 。 x asin 计算 。 0 0 求微分方程 （ ）2 通解 。 将 （） 展成的幂级数 。 （）（）四、应用和证明题（共分） （分）设一质量为的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（ 比例常数为 ）求速度与时间的关系。 _ （分）借助于函数的单调性证明：当时， 。 附：高等数学（一）参考答案和评分标准一、填空题（每小题分，共分） （，） 2 2 （） /2 （2） 0 0 三阶 发散二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，每小题分，每小题分，共分） （一）每小题分，共分 （二）每小题分，共分 三、计算题（每小题分，共分） 解：（）（） （分） （） （分） _ （） （分） （） （2） 解：原式 （分） x4/3 （）（）2 （分） xx 解：原式 （分） （x）2 （x） （分） x （x）2 xx （分） x x （x） （分） x 解：因为（），（） （分） （） 所以 （分） （） 解：所求直线的方向数为， （分） 所求直线方程为 （分） _ _ 解：x +y + sinz（ ） （分） _ x + y + sinz（） （分） _ asin 解：原积分 2 3 （分） 0 0 0 /2 2 3d 2 （分） 0 解：两边同除以（）2 得 （分） （）2 （）2 两边积分得 （分） （）2 （）2 亦即所求通解为 （分） 解：分解，得（） （分） （分） n n （）n （ 且 ） （分） n=0 n=0 n （）n n （ ） （分） n=0 n+1四、应用和证明题（共分） 解：设速度为，则满足 （分） 解方程得（-kt/m） （分） 由t=0定出，得（-kt/m） （分） _ 证：令（） 则（）在区间，连续 （分） 而且当时，（） （分） _ 2 因此（）在，单调增加 （分） 从而当时，（）（） （分） _ 即当时， （分） 综合练习（一）一、单项选择题（每小题4分，共20分）1设，则在内为（ ）A周期函数B偶函数C单调函数D有界函数2当时，是关于的（ ）A高阶无穷小B低阶无穷小C同阶但不等价无穷小D等价无穷小3在上满足拉格朗日中值定理的函数是（ ）ABCD4设平面图形，则绕轴旋转一周生成的旋转体体积等于（ ）ABCD5设，则=（ ）ABCD二、填空题（每小题4分，共28分）1若，则_2设函数在点连续，则_3曲线的拐点坐标是_4设，则_5设的原函数是，则_6更换积分次序，_7微分方程满足初始条件的特解是_三、解答题（共52分）1（本题5分）试证：当时，不等式成立2（本题7分）求极限3（本题7分）设函数由方程确定，求4（本题7分）求微分方程的通解5（本题8分）求函数的极值6（本题9分）计算7（本题9分）计算，其中是由所确定的区域高等数学 样卷参考答案一、单项选择题（每小题4分，共20分）1选B分析：A不正确因为对任意，使的正数T不存在，根据周期函数的定义，知不是周期函数C不正确因为，至少有时，单调增；时，单调减，所以不是单调函数D不正确当时，中的可以任意大，因此无界由于，故知是偶函数2选C分析：根据无穷小阶的比较的概念，只需计算比的极限3选A分析：B中函数是初等函数，在-1，1有定义，从而连续，但在不存在，不满足定理的第二个条件C中函数在与处无定义，它在不连续，不满足定理的第一个条件D中函数在间断，不满足定理的第一个条件A中函数定义域为，故在上连续，在存在，在可导，因此在上满足定理4选C分析：根据旋转体体积的计算公式，曲边梯形，绕轴旋转一周的旋转体体积，本题中所给D不是以为底的曲边梯形，而是曲边梯形中除去曲边梯形的部分，故所求为两旋转体体积之差，因此应该为平方之差，而不能是差的平方，所以A，B不对，由题设，所以应为与之差，即选C正确5选A分析：已知条件中未给定的表达式，为求两个偏导数，应先求出的表达式，应理解为：在的解析式中，用替换，用替换后得，于是，若能将用，表示，再将还原为，还原为，则可得的表达式因为，所以，于是二、填空题（每小题4分，共28分）1填分析：，由，得：2填分析：函数在一点处连续的必要条件是极限存在，而对分段函数来说，在分段点处极限存在的一个充分必要条件是左、右极限存在且相等，由此构造含参数的方程，进而解出值.由，知3填分析：根据判定拐点的必要条件和充分条件，应求出二阶导数令，由，得又当时，；时，所以曲线上横坐标为的点为拐点，将代入曲线方程中，得，故拐点坐标为4填分析：依高阶偏导法则计算，5填分析：由题设，应有，若能将待求积分化为，则可得结果根据第一换元法， 所以6分析：由已知二次积分知：，从而的积分区域如图中阴影所示，更换积分次序时，将D表为：，所以7填分析：所给方程为变量可分离方程，分离变量，有两边积分：由初始条件知，将代回，得：，即三、解答题（共