第二章习题答案

习题二习题二 2 设随机变量 X 的分布函数为 用分布函数表示下列概率 F x 1 2 3 p Xa pXa p aXb 解 1 1 1 0 p Xap XaF a 2 0 pXapaXap Xap Xa F aFa 3 0 p aXbp Xbp XaF bF a 4 同时掷 2 枚骰子 设 X 是两枚骰子出现的最小点数 求 X 的分布列 解 X 可能取值为 1 2 3 4 5 6 所以 11 65 1111 6666 11 34 1111 6666 11 21 1111 6666 2121119 1 2 3636 212175 3 4 3636 212131 5 6 3636 CC p Xp X CCCC CC p Xp X CCCC CC p Xp X CCCC 故 X 的分布列为 1 2 3 4 5 6 1197531 363636363636 5 有 3 个盒子 第一个盒子装有 1 个白球 4 个黑球 第二个盒子装有 2 个白球 3 个黑 球 第三个盒子装有 3 个白球 2 个黑球 现任取一个盒子 从中任取 3 个球 以 X 表示所取 到的白球数 1 求 X 的概率分布列 2 求 X 的分布函数 3 取到的白球数不少于 2 个的概率是多少 解 1 X 可能取值为 0 1 2 3 结合全概率公式 得 33 34 33 55 121212 233214 333 555 2121 2332 33 55 1115 0 0 33330 11115 1 33330 1119 2 0 33330 51591 3 1 30303030 CC p X CC C CC CC C p X CCC C CC C p X CC p X 故 X 的分布列为 0 1 2 3 51591 30303030 2 当时 0 x 0 F xp Xxp 当时 0 1 x 5 0 30 F xp Xxp X 当时 1 2 x 0 1 51520 0 1 303030 F xP XxPXX P XP X 当时 2 3 x 0 1 2 515929 0 1 2 30303030 F xP XxPXXX P XP XP X 当时 3 x 0 1 2 3 0 1 2 3 1 F xP XxPXXXX P XP XP XP X 故X的分布函数为 0 0 5 01 30 20 12 30 29 2 3 30 1 3 x x F xx x x 3 取到的白球数不少于 2 个的概率是 2 2 3 911 2 3 30303 P XPXX P XP X 8 已知某型号电子元件的一级品率为 0 3 现从一大批元件中随机抽取 10 只 设 X 为 10 只电子元件中的一级品数 问最可能抽到的一级品数 k 是多少 并计算 p X k 解 设随机变量 X 表示抽到的一级品数 所以 10 0 3 XB p X k 7 100 3 0 7 kk C 337 10 3 3 00 2668 3 3 0 7 1 3 pp XCn 9 某商店出售某种商品 根据以往经验表明 月销售量 件 服从参数的泊松分布 问3 在月初进货时 需要多少库存量 才能有 99 6 的概率充分满足顾客的需要 解 设随机变量 X 服从参数的泊松分布 设需要 N 件库存量 才能有 99 6 的概率3 充分满足顾客的需要 则 1 1 1 0 996 0 004 1 k N e p XNp XN k 故 N 8 12 盒子中装有 m 只白球 n 只黑球 从袋中有返回地随机摸球 直到摸到白球时停止 求 摸球次数的分布列 解 设随机变量 X 表示首次摸到白球时摸球次数 所以 XG pG m mn 1 1 2 k nm p Xkk mnmn 13 一批产品共 100 件 其中有 97 件正品 3 件次品 每次随机抽取 1 件 直到取到正品为 止 就下列两种情况求抽取次数的分布列 1 放回抽取 2 不放回抽取 解 1 设随机变量 X 表示直到取到正品为止抽取次数 因为是放回抽取 所以 则 97 100 XG pG 1 397 1 2 100100 k p Xkk 2 设随机变量 X 表示直到取到正品为止抽取次数 因为是不放回抽取 所以 97397 1 2 100100 99 p Xp X 329732197 3 4 100 99 98100 99 98 97 p Xp X 14 试确定下面连续型随机变量的分布函数中的待定系数 a b 1 2 0 0 0 x baex F x x 2 0 0 2 1 2 x bex F xabxx x 解 1 由得 由在连续 得 于是 则有lim 1 x F x 1b F x0 x 10a 1a 2 1 0 0 0 x ex F x x 2 由在连续 得 于是 则有 F x0 2xx 21ba ab 11 33 ab 1 0 3 11 0 2 33 1 2 x ex F xxx x 16 设连续型随机变量 X 的密度函数 2 1 1 0 1 a x f x x x 求 1 系数 2 a 1 2 pX 解 1 由得 1 21 1 1 a f x dxdx x 1 a 2 1 2 1 2 2 1 11 23 1 pXdx x 17 设 求方程有实根的概率 1 6 YU 2 10 xYx 解 因方程有实根 所以 1 6 YU 2 10 xYx 2 40Y 随机变量 Y 的密度函数 1 16 5 0 6 1 x f x xx 故 22 1 40 4 1 22 10 8 5 P Yp YpY 19 某仪器安装了 3 个独立工作的同型号的电子元件 其寿命 X 单位 小时 都服从同一指 数分布 密度函数为 600 1 0 600 0 x ex f x 其它 求 此仪器在最初使用的 200 小时内 至少有一个此种电子元件损坏的概率 解 已知每个电子元件其寿命 X 都服从同一指数分布 密度函数为 600 1 0 600 0 x ex f x 其它 设 A 每个电子元件寿命 X 在 200 小时内 则 200200 600 00 1 3 1 0200 1 600 x p ApXf x dxedxe 设 Y 3 个独立工作的同型号的电子元件 电子元件损坏的数量 显然 故至少有一个此种电子元件损坏的概率 1 3 1 3 eY B 11 003 33 3 1 1 0 1 1 0 632 p Yp YCee 21 设 2 1 2 XN 求 1 2 3 确定使得 0 p X 2 1 pX c p Xcp Xc 解 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 5 0 6915 2 p Xp X 2 3 11 1 2 1 13 0 3413 22 pXpX 3 确定使得 则c p Xcp Xc 11 1 1 22 cc p Xcp Xcp Xc 故 111 2 1 10 1 222 cc cc 23 某校抽样调查结果表明 考生的数学成绩 X 以百分制计 近似地服从的正态 2 72 N 分布 已知 96 分以上的人数占总数的 2 3 试求考生的成绩在 60 分至 84 分之间的概率 解 考生的数学成绩 X 以百分制计 近似地服从的正态分布 已知 96 分以上的 2 72 N 人数占总数的 2 3 故 9672 96 1 96 1 0 023 2424 0 977 1 99 12 p Xp X 考生的成绩在 60 分至 84 分之间的概率为 84726072 6084 0 6826 1212 pX 24 设随机变量 X 的分布函数 0 2 0 3 21 0 9 12 1 2 x x F x x x 求随机变量和的分布列 21YX 2 ZX 解 随机变量 X 的分布函数 得 X 的分布列 2 1 2 0 3 0 6 0 1 因为 Y 的取值为 3 1 5 得 Y 的分布列 21YX 3 1 5 0 3 0 6 0 1 Y 因为 Z 的取值为 1 4 得 Z 的分布列 2 ZX 1 4 0 6 0 4 Z 26 设 求以下随机变量的概率密度函数 0 1 XU 1 2 3 lnYX X Ye 2 YX 解 设 X 的概率密度为 0 1 XU 1 01 0 X x fx 其它 1 由于 0 0 0 ln Y YyFyyX ln Y Fyp YypXy yy X p XeFe 两边对求导 得 Y lnX 的概率密度y 0 0 0 YY y fyFy y y e 2 由于 X Ye 0 01 x yg xeg xx 1 ln xh yy