高考数列专题总结(全是精华)

1 数列专题复习 数列专题复习 0929 一 证明等差等比数列 1 等差数列的证明方法 等差数列的证明方法 1 定义法 定义法 常数常数 2 等差中项法 等差中项法 1nn aad 11 2 2 nnn aaa n 2 等比数列的证明方法 等比数列的证明方法 1 定义法 定义法 常数常数 2 等比中项法 等比中项法 1n n a q a 2 11 2 nnn aaan A 例例 1 设 an 为等差数列 Sn为数列 an 的前 n 项和 已知 S7 7 S15 75 Tn为数列 的前 n 项和 求 Tn n Sn 解 设等差数列 an 的公差为 d 则 Sn na1 n n 1 d S7 7 S15 75 即 2 1 7510515 7217 1 1 da da 57 13 1 1 da da 解得 a1 2 d 1 a1 n 1 d 2 n 1 n Sn 2 1 2 1 数列 是等差数列 其首项为 2 公差为 2 1 1 1 n S n S nn n Sn 2 1 Tn n2 n 4 1 4 9 例 2 设数列 an 的首项 a1 1 前 n 项和 Sn满足关系式 3tSn 2t 3 Sn 1 3t t 0 n 2 3 4 求证 数列 an 是等比数列 解 1 由 a1 S1 1 S2 1 a2 得 a2 t t a a t t 3 23 3 23 1 2 又 3tSn 2t 3 Sn 1 3t 3tSn 1 2t 3 Sn 2 3t 得 3tan 2t 3 an 1 0 n 2 3 t t a a n n 3 32 1 所以 an 是一个首项为 1 公比为的等比数列 t t 3 32 练习 练习 已知 a1 2 点 an an 1 在函数 f x x2 2x 的图象上 其中 1 2 3 1 证明数列 lg 1 an 是等比数列 2 设 Tn 1 a1 1 a2 1 an 求 Tn及数列 an 的通项 答案 2 21 3 n n T 21 31 n n a 二 通项的求法二 通项的求法 1 利用等差等比的通项公式 利用等差等比的通项公式 2 累加法 累加法 1 nn aaf n 例 3 已知数列满足 求 n a 2 1 1 a nn aa nn 2 1 1 n a 解 由条件知 1 11 1 11 2 1 nnnnnn aa nn 分别令 代入上式得个等式累加之 即 1 3 2 1 nn 1 n 1342312 nn aaaaaaaa 所以 1 1 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 nn n aan 1 1 1 2 1 1 a nn an 1 2 31 1 2 1 3 构造等差或等比 构造等差或等比 或或 1nn apaq 1 nn apaf n 例例 4 已知数列满足 n a 11 1 21 nn aaanN 求数列的通项公式 n a 解 1 21 nn aanN 1 12 1 nn aa 是以为首项 2 为公比的等比数列 1 n a 1 12a 12 n n a 即 21 n n anN 例例 5 已知数列中 求 n a 1 1a 1 1 11 22 n nn aa n a 解 在两边乘以得 1 1 11 22 n nn aa 1 2 n1 1 2 2 1 nn nn aa 令 则 解之得 所以 2n nn ba 1 1 nn bb 1 11 n bbnn 1 22 n n nn bn a 2 练习练习 已知数列满足 且 a n 2n12a2a n 1nn 81a4 1 求 2 求数列的通项公式 321 aaa a n 解 1 33a13a5a 321 2 n 1nn n 1nn 2 1a 21a12a2a 1n 2 1a 1 2 1a 2 1a n n 1n 1n n n 12 1n a n n 4 利用 利用 1 2 1 1 nn SSn S n n a 例例 6 若和分别表示数列和的前项和 对任意正整数 n S n T n a n bn 求数列的通项公式 2 1 n an 34 nn TSn n b 解 2 分 2 2 1 423 1 anadSnn nn 2 3435TSnnn nn 当 1 3 58 11 nTb 时 当 4 分 2 6262 1 nbTTnbn nnnn 时 练习练习 1 已知正项数列 an 其前 n 项和 Sn满足 10Sn an2 5an 6 且 a1 a3 a15成等比数列 求数列 an 的 通项 an 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 10Sn an2 5an 6 10a1 a12 5a1 6 解之得 a1 2 或 a1 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 又 10Sn 1 an 12 5an 1 6 n 2 由 得 10an an2 an 12 6 an an 1 即 an an 1 an an 1 5 0 an an 1 0 an an 1 5 n 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 当 a1 3 时 a3 13 a15 73 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a1 a3 a15不成等比数列 a1 3 当 a1 2 时 a3 12 a15 72 有 a32 a1a15 a1 2 an 5n 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 设数列的前项的和 n an 1 412 2 333 n nn Sa 1 2 3 n A A A 求首项与通项 1 a n a 设 证明 2n n n T S 1 2 3 n A A A 1 3 2 n i i T 解 I 2 111 412 2 333 aSa 解得 1 2a 21 111 441 22 333 nn nnnnn aSSaa 1 1 242 nn nn aa 所以数列 2n n a 是公比为 4 的等比数列 所以 11 1 224 nn n aa 得 42 nn n a 其中 n 为正整数 II 111 4124122 242221 21 3333333 nnnnnn nn Sa 1 1 232311 22212121 21 nn n nn nn n T S 所以 11 1 3113 221212 n i n i T 5 累积法 累积法 转化为 逐商相乘 nn anfa 1 1 nf a a n n 例例 7 已知数列满足 求 n a 3 2 1 a nn a n n a 1 1 n a 解 由条件知 分别令 代入上式得个等式累乘之 即 1 1 n n a a n n 1 3 2 1 nn 1 n 324 1231 n n aaaa aaaa n n 1 4 3 3 2 2 1 na an1 1 又 3 2 1 a n an 3 2 练习练习 1 已知 求 3 1 a nn a n n a 23 13 1 1 n n a 解 34 375 26 3 31 348 531 nn nnn 1 3 1 1 3 2 13 2 1 3 1 3 1 2 3 2 23 22 32 n nn aa nn 2 已知数列 an 满足 a1 1 n 2 1321 1 32 nn anaaaa 则 an 的通项 1 n a 1 2 n n 3 解 由已知 得 用此式减去已知式 得 nnn naanaaaa 13211 1 32 当时 即 又 2 n nnn naaa 1nn ana 1 1 1 12 aa 将以上 n 个式子相乘 得n a a a a a a a a a n n 13 4 2 3 1 2 1 4 3 1 1 2 n an 2 n 6 倒数变形 倒数变形 两边取倒数后换元转化为 1 n n n a a paq qpaa nn 1 例 8 已知数列 an 满足 求数列 an 的通项公式 1 13 1 1 1 a a a a n n n 解 取倒数 11 1 1 3 131 nn n n aa a a 是等差数列 n a 1 3 1 11 1 n aan 3 1 1 n 23 1 n an 练习练习 已知数列 an 满足 a1 且 an 3 2 n1 n1 3na n2nN 2an1 求数列 an 的通项公式 解 将条件变为 1 因此 1 为一个等比数列 其首项为 n n a n1 1n1 1 3a n n a 1 公比 从而 1 据此得 an n 1 1 1 a 1 3 1 3 n n a n 1 3 n n n 3 31 三 数列求和三 数列求和 1 等差数列求和公式 等差数列求和公式 d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 2 等比数列求和公式 等比数列求和公式 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 3 错位相减法求和 错位相减法求和 an bn 分别是等差数列和等比数列分别是等差数列和等比数列 1 122nnn Saba ba b 例例 9 求和 132 12 7531 n n xnxxxS 解 由题可知 设 132 12 7531 n n xnxxxS 设制错位 n n xnxxxxxS 12 7531 432 得 错位相减 nn n xnxxxxxSx 12 222221 1 1432 再利用等比数列的求和公式得 n n n xn x x xSx 12 1 1 21 1 1 2 1 1 1 12 12 x xxnxn S nn n 练习 练习 求数列前 n 项的和 2 2 2 6 2 4 2 2 32n n 解 由题可知 的通项是等差数列 2n 的通项与等比数列 的通项之积 n n 2 2 n 2 1 设 n n n S 2 2 2 6 2 4 2 2 32 得 1432 2 2 2 6 2 4 2 2 2 1 n n n S 1432 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 nn n n S 11 2 2 2 1 2 nn n 1 2 2 4 n n n S 4 倒序相加法求和 倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法 就是将一个数列倒过来排列 反序 再把它与原 数列相加 就可以得到 n 个 1n aa 5 分组法求和 分组法求和 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为几个等差 等比 或常见的数列 然后分别求和 再将其合并即可 例例 10 求数列的前 n 项和 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa n 解 设 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa S n n 将其每一项拆开再重新组合得 分组 23741 111 1 12 n aaa S n n 4 当 a 1 时 分组求和 2 13 nn nSn 2 13 nn 当时 1 a 2 13 1 1 1 1 nn a a S n n 2 13 1 1 nn a aa n 6 裂项法求和 裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 裂项法的实质是将数列中的每项 通项 分解 然后重 新组合 使之能消去一些项 最终达到求和的目的 通项分解 裂项 1 为等差数列 n a 11 1111 nnnn a aaad A 2 nn nn an 1 1 1 例例 11 求数列的前 n 项和 1 1 32 1 21 1 nn 解 设 则 nn nn an 1 1 1 1 1 32 1 21 1 nn Sn 1 23 12 nn 11 n 例例 12 在数列 an 中 又 求数列 bn 的前 n 项的和 11 2 1 1 n n nn an 1 2 nn n aa b 解 211 2 1 1n n n nn an 数列 bn 的前 n 项和 1 11 8 2 1 2 2 nn nn bn 1 11 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 8 nn Sn 1 1 1 8 n1 8 n n 练习 练习 1 已知数列 的前项和为 且满足 求数列 的通项公式 n an n S1 2 1 nn Sa n a 解 1 数列 的前项和为 且满足 n an n S1 2 1 nn Sa 则 1 2 1 11 nn Sa2 n 相减得 nnn aaa 2 1 1 2 1 n n a a 2 n 又当 n 1 时 1 2 1 11 aa2 1 a 是以为首项 公比的等比数列 n a2 1 a2 q nn n a222 1 Nn 2 已知数列 an 100 100 100 2 100 1 3 3 3