全等三角形问题中常见的辅助线的作法

1 全等三角形问题中常见的辅助线的作法全等三角形问题中常见的辅助线的作法 有答案有答案 总论 全等三角形问题最主要的是构造全等三角形 构造二条边之间的相等 构造二个角总论 全等三角形问题最主要的是构造全等三角形 构造二条边之间的相等 构造二个角 之间的相等之间的相等 1 1 等腰三角形等腰三角形 三线合一三线合一 法 法 遇到等腰三角形 可作底边上的高 利用 三 线合一 的性质解题 2 2 倍长中线 倍长中线 倍长中线 使延长线段与原中线长相等 构造全等三角形 3 3 角平分线在三种添辅助线角平分线在三种添辅助线 4 4 垂直平分线联结线段两端垂直平分线联结线段两端 5 5 用用 截长法截长法 或或 补短法补短法 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长 6 6 图形补全法 图形补全法 有一个角为有一个角为 6060 度或度或 120120 度的把该角添线后构成等边三角形度的把该角添线后构成等边三角形 7 7 角度数为角度数为 3030 6060 度的作垂线法 度的作垂线法 遇到三角形中的一个角为遇到三角形中的一个角为 3030 度或度或 6060 度 度 可以从角一边上一点向角的另一边作垂线 目的是构成可以从角一边上一点向角的另一边作垂线 目的是构成 30 60 9030 60 90 的特殊直角三角形 然后的特殊直角三角形 然后 计算边的长度与角的度数 这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角 从而为证明全计算边的长度与角的度数 这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角 从而为证明全 等三角形创造边 角之间的相等条件 等三角形创造边 角之间的相等条件 8 8 计算数值法 计算数值法 遇到等腰直角三角形 正方形时 或遇到等腰直角三角形 正方形时 或 30 60 9030 60 90 的特殊直角三角形 的特殊直角三角形 或或 40 60 8040 60 80 的特殊直角三角形的特殊直角三角形 常计算边的长度与角的度数 这样可以得到在数值上相等常计算边的长度与角的度数 这样可以得到在数值上相等 的二条边或二个角 从而为证明全等三角形创造边 角之间的相等条件 的二条边或二个角 从而为证明全等三角形创造边 角之间的相等条件 常见辅助线的作法有以下几种 最主要的是构造全等三角形 构造二条边之间的相等 二常见辅助线的作法有以下几种 最主要的是构造全等三角形 构造二条边之间的相等 二 个角之间的相等 个角之间的相等 1 遇到等腰三角形 可作底边上的高 利用 三线合一 的性质解题 思维模式是全等 变换中的 对折 法构造全等三角形构造全等三角形 2 遇到三角形的中线 倍长中线 使延长线段与原中线长相等 构造全等三角形 利用 的思维模式是全等变换中的 旋转 法构造全等三角形构造全等三角形 3 遇到角平分线在三种添辅助线的方法 1 可以自角平分线上的某一点向角的两边作 2 D C B A E D F C B A 垂线 利用的思维模式是三角形全等变换中的 对折 所考知识点常常是角平分线 的性质定理或逆定理 2 可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两 边相交 形成一对全等三角形 3 可以在该角的两边上 距离角的顶点相等长度 的位置上截取二点 然后从这两点再向角平分线上的某点作边线 构造一对全等三 角形 4 过图形上某一点作特定的平分线 构造全等三角形 利用的思维模式是全等变换中的 平移 或 翻转折叠 5 截长法与补短法 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等 或是将某 条线段延长 是之与特定线段相等 再利用三角形全等的有关性质加以说明 这种 作法 适合于证明线段的和 差 倍 分等类的题目 6 已知某线段的垂直平分线 那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连 线 出一对全等三角形 特殊方法 在求有关三角形的定值一类的问题时 常把某点到原三角形各顶点的线段 连接起来 利用三角形面积的知识解答 一 倍长中线 线段 造全等一 倍长中线 线段 造全等 例 1 希望杯 试题 已知 如图 ABC 中 AB 5 AC 3 则中线 AD 的取值范围是 例2 如图 ABC 中 E F 分别在 AB AC 上 DE DF D 是中点 试比较 BE CF 与 EF 的 大小 例 3 如图 ABC 中 BD DC AC E 是 DC 的中点 求证 AD 平分 BAE 3 EDC B A 例例 1 已知 如图已知 如图 3 所示 所示 AD 为为 ABC 的中线 的中线 求证 求证 AB AC 2AD 分析 要证 AB AC 2AD 由图形想到 AB BD AD AC CD AD 所以有 AB AC BD CD AD AD 2AD 但它的左边比要证结论多 BD CD 故不能直接证出此题 而由 2AD 想到要构造 2AD 即 加倍中线 把所要证的线段转移到同一个三角形中去 证明 延长 AD 至 E 使 DE AD 连接 BE CE 应用 应用 1 09崇文二模 以的两边AB AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt ABC ABD 连接DE M N分别是BC DE的中点 探究 AM与DE ACE 90 BADCAE 的位置关系及数量关系 1 如图 当为直角三角形时 AM与DE的位置关系是 ABC 线段AM与DE的数量关系是 2 将图 中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转 0 AD AE 6 O E D CB A ED CB A 四 借助角平分线造全等四 借助角平分线造全等 1 如图 已知在 ABC 中 B 60 ABC 的角平分线 AD CE 相交于点 O 求证 OE OD 2 如图 ABC 中 AD 平分 BAC DG BC 且平分 BC DE AB 于 E DF AC 于 F 1 说明 BE CF 的理由 2 如果 AB AC 求 AE BE 的长 ab 应用 应用 E D G F C B A 7 N M E F A C B A F E D CB A 1 如图 OP 是 MON 的平分线 请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全 等三角形 请你参考这个作全等三角形的方法 解答下列问题 1 如图 在 ABC 中 ACB 是直角 B 60 AD CE 分别是 BAC BCA 的平分线 AD CE 相交于点 F 请你判断并写出 FE 与 FD 之 间的数量关系 2 如图 在 ABC 中 如果 ACB 不是直角 而 1 中的其它条件不变 请问 你在 1 中所得结论是否仍然成立 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 五 旋转五 旋转 例1 正方形 ABCD 中 E 为 BC 上的一点 F 为 CD 上的一点 BE DF EF 求 EAF 的度数 例 2 D 为等腰斜边 AB 的中点 DM DN DM DN 分别交 BC CA 于点 E F Rt ABC 1 当绕点 D 转动时 求证 DE DF MDN 2 若 AB 2 求四边形 DECF 的面积 第 23 题图 OP A M N E B C DF A C E F B D 图 图 图 8 例 3 如图 是边长为 3 的等边三角形 是等腰三角形 且 ABC BDC 0 120BDC 以 D 为顶点做一个角 使其两边分别交 AB 于点 M 交 AC 于点 N 连接 MN 则 0 60 的周长为 AMN B C D N M A 应用 应用 1 已知四边形中 ABCDABAD BCCD ABBC 120ABC 绕点旋转 它的两边分别交 或它们的延长线 60MBN MBN BADDC 于 EF 当绕点旋转到时 如图 1 易证 MBN BAECF AECFEF 当绕点旋转到时 在图 2 和图 3 这两种情况下 上述结论是否成MBN BAECF 立 若成立 请给予证明 若不成立 线段 又有怎样的数量关系 请写出AECF EF 你的猜想 不需证明 图 1 A B CD E F M N 图 2 A B CD E F M N 图 3 A B C D E F M N 9 2 西城 09 年一模 已知 PA PB 4 以 AB 为一边作正方形 ABCD 使 P D 两点落在2 直线 AB 的两侧 1 如图 当 APB 45 时 求 AB 及 PD 的长 2 当 APB 变化 且其它条件不变时 求 PD 的最大值 及相应 APB 的大小 3 在等边的两边 AB AC 所在直线上分别有两点 M N D 为外一点 且ABC ABCA BD DC 探究 当 M N 分别在直线 AB AC 上移动时 60MDN 120BDC BM NC MN 之间的数量关系及的周长 Q 与等边的周长 L 的关系 AMN ABC 图 1 图 2 图 3 I 如图 1 当点 M N 边 AB AC 上 且 DM DN 时 BM NC MN 之间的数量 关系是 此时 L Q II 如图 2 点 M N 边 AB AC 上 且当 DMDN 时 猜想 I 问的两个结论 还成立吗 写出你的猜想并加以证明 III 如图 3 当 M N 分别在边 AB CA 的延长线上时 若 AN 则 Q 用 L 表示 xx 10 D C B A E D F C B A 参考答案与提示参考答案与提示 一 倍长中线 线段 造全等一 倍长中线 线段 造全等 例 1 希望杯 试题 已知 如图 ABC 中 AB 5 AC 3 则中线 AD 的取值范围是 解 延长 AD 至 E 使 AE 2AD 连 BE 由三角形性质知 AB BE 2AD AB BE 故 AD 的取值范围是 1 AD 4 例2 如图 ABC 中 E F 分别在 AB AC 上 DE DF D 是中点 试比较 BE CF 与 EF 的 大小 解 倍长中线倍长中线 等腰三角形 三线合一 法 延长 FD 至 G 使 FG 2EF 连 BG EG 显然 BG FC 在 EFG 中 注意到 DE DF 由等腰三角形的三线合一知 EG EF 在 BEG 中 由三角形性质知 EG BG BE 故 EF BE FC 例 3 如图 ABC 中 BD DC AC E 是 DC 的中点 求证 AD 平分 BAE EDC B A 解 延长 AE 至 G 使 AG 2AE 连 BG DG 显然 DG AC GDC ACD 由于 DC AC 故 ADC DAC 11 在 ADB 与 ADG 中 BD AC DG AD AD ADB ADC ACD ADC GDC ADG 故 ADB ADG 故有 BAD DAG 即 AD 平分 BAE 应用 应用 1 09崇文二模 以的两边AB AC为腰分别向外作等腰 Rt和等腰 ABD Rt 连接DE M N分别是BC DE的中点 探究 AM与 ACE 90 BADCAE DE的位置关系及数量关系 1 如图 当为直角三角形时 AM与DE的位置关系是 ABC 线段AM与DE的数量关系是 2 将图 中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转 0 90 后 如图 所示 ABD 1 问中得到的两个结论是否发生改变 并说明理由 二 截长补短二 截长补短 1 如图 中 AB 2AC AD 平分 且 AD BD 求证 CD ACABC BAC 解 截长法 在 AB 上取中点 F 连 FD ADB 是等腰三角形 F 是底 AB 中点 由三线合一知 ABC 12 E D C B A P Q C B A DF AB 故 AFD 90 ADF ADC SAS ACD AFD 90 即 CD AC 2 如图 AD BC EA EB 分别平分 DAB CBA CD 过点 E 求证 AB AD BC 解 截长法 在 AB 上取点 F 使 AF AD 连 FE ADE AFE SAS ADE AFE ADE BCE 180 AFE BFE 180 故 ECB EFB FBE CBE AAS 故有 BF BC 从而 AB AD BC 3 如图 已知在 ABC 内 P Q 分别在 BC CA 上 并且 AP BQ 分别是 0 60BAC 0 40C BAC 的角平分线 求证 BQ AQ AB BPABC 解 补短法 计算数值法 延长 AB 至 D 使 BD BP 连 DP 在等腰 BPD 中 可得 BDP 40 从而 BDP 40 ACP ADP ACP ASA 故 AD AC 又 QBC 40 QCB 故 BQ QC BD BP 13 D C B A P 2 1 D C B A 从而 BQ AQ AB BP 4 如图 在四边形 ABCD 中 BC BA AD CD BD 平分 ABC 求证 0 180 CA 解 补短法 延长 BA 至 F 使 BF BC 连 FD BDF BDC SAS 故 DFB DCB FD DC 又 AD CD 故在等腰 BFD 中 DFB DAF 故有 BAD BCD 180 5 如图在 ABC 中 AB AC 1 2 P 为 AD 上任意一点 求证 AB AC PB PC 解 补短法 延长 AC 至 F 使 AF AB 连 PD ABP AFP SAS 故 BP PF 由三角形性质知 PB PC PF PC BF BA AF BA AC 从而PB BE CE BC BF BC BA AC BC PA 例 2 如图 在 ABC 的边上取两点 D E 且 BD CE 求证 AB AC AD AE 证明 取 BC 中点 M 连 AM 并延长至 N 使 MN AM 连 BN DN BD CE DM EM DMN EMA SAS DN AE 同理 BN CA 延长 ND 交 AB 于 P 则 BN BP PN DP PA AD 相加得 BN BP DP PA PN AD 15 O E D CB A 各减去 DP 得 BN AB DN AD AB AC AD AE 四 借助角平分线造全等四 借助角平分线造全等 1 如图 已知在 ABC 中 B 60 ABC 的角平分线 AD CE 相交于点 O 求证 OE OD DC AE AC 证明 角平分线在三种添辅助线 计算数值法 B 60 度 则 BAC BCA 120 度 AD CE 均为角平分线 则 OAC OCA 60 度 AOE COD AOC 120 度 在 AC 上截取线段 AF AE 连接 OF 又 AO AO OAE OAF 则 OAE OAF SAS OE OF AE AF AOF AOE 60 度 则 COF AOC AOF 60 度 COD 又 CO CO OCD OCF 故 OCD OCF SAS OD OF CD CF OE OD DC AE CF AF AC 2 如图 ABC 中 AD 平分 BAC DG BC 且平分 BC DE AB 于 E DF AC 于 F 1 说明 BE CF 的理由 2 如果 AB AC 求 AE BE 的长 ab 解 解 垂直平分线联结线段两端 连接连接 BDBD DCDC DG 垂直平分 BC 故 BD DC 由于 AD 平分 BAC DE AB 于 E DF AC 于 F 故有 ED DF E D G F C B A 16 F E D CB A 故 RT DBE RT DFC HL 故有故有 BEBE CFCF AB ACAB AC 2AE2AE AEAE a ba b 2 2 BE a b 2BE a b 2 应用 应用 1 如图 OP 是 MON 的平分线 请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全 等三角形 请你参考这个作全等三角形的方法 解答下列问题 1 如图 在 ABC 中 ACB 是直角 B 60 AD CE 分别是 BAC BCA 的平分线 AD CE 相交于点 F 请你判断并写出 FE 与 FD 之 间的数量关系 2 如图 在 ABC 中 如果 ACB 不是直角 而 1 中的其它条件不变 请问 你在 1 中所得结论是否仍然成立 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 五 旋转五 旋转 例1 正方形 ABCD 中 E 为 BC 上的一点 F 为 CD 上的一点 BE DF EF 求 EAF 的度数 证明 将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度 至三角形 ABG 则 GE GB BE DF BE EF 第 23 题图 OP A M N E B C DF A C E F B D 图 图 图 17 又 AE AE AF AG 所以三角形 AEF 全等于 AEG 所以 EAF GAE BAE GAB BAE DAF 又 EAF BAE DAF 90 所以 EAF 45 度 例 2 D 为等腰斜边 AB 的中点 DM DN DM DN 分别交 BC CA 于点 E F Rt ABC 1 当绕点 D 转动时 求证 DE DF MDN 2 若 AB 2 求四边形 DECF 的面积 解 计算数值法 1 连接 DC D 为等腰斜边 AB 的中点 故有 CD AB CD DARt ABC CDCD 平分平分 BCA 90 ECD DCA 45 由于 DM DN 有 EDN 90 由于 CD AB 有 CDA 90 从而 CDE FDA 故有 CDE ADF ASA 故有 DE DF 2 S ABC 2 S四 DECF S ACD 1 例 3 如图 是边长为 3 的等边三角形 是等腰三角形 且 ABC BDC 0 120BDC 以 D 为顶点做一个角 使其两边分别交 AB 于点 M 交 AC 于点 N 连接 MN 则 0 60 的周长为 AMN 18 解 图形补全法 截长法 或 补短法 计算数值法 AC 的延长线与 BD 的延长线交 于点 F 在线段 CF 上取点 E 使 CE BM ABC 为等边三角形 BCD 为等腰三角形 且 BDC 120 MBD MBC DBC 60 30 90 DCE 180 ACD 180 ABD 90 又 BM CE BD CD CDE BDM CDE BDM DE DM NDE NDC CDE NDC BDM BDC MDN 120 60 60 在 DMN 和 DEN 中 DM DE MDN EDN 60 DN DN DMN DEN MN NE 在 DMA