【走向高考】2012届高三数学一轮复习 3-3同步练习 北师大版

用心 爱心 专心 1 第第 3 3 章章 第第 3 3 节节 一 选择题 1 2010 山东理 由曲线y x2 y x3围成的封闭图形面积为 A B 1 12 1 4 C D 1 3 7 12 答案 A 解析 由Error 得交点为 0 0 1 1 S x2 x3 dx Error 01 1 0 1 12 2 已知f x 为偶函数且f x dx 8 则 6f x dx等于 6 0 6 A 0 B 4 C 8 D 16 答案 D 解析 原函数为偶函数 在y轴两侧的图像对称 对应的面积相等 原式 2f x dx 8 2 16 6 0 3 2011 沈阳 由三条直线x 0 x 2 y 0 和曲线y x3所围成的图形的面积为 A 4 B 4 3 C D 6 18 5 答案 A 解析 S x3dx Error 02 4 2 0 4 若dx 3 ln2 则a的值为 a 1 2x 1 x 用心 爱心 专心 2 A 6 B 4 C 3 D 2 答案 D 解析 dx x2 lnx 1a a 1 2x 1 x a2 lna 12 ln1 a2 lna 1 3 ln2 a 2 5 函数F x t t 4 dt在 1 5 上 x 0 A 有最大值 0 无最小值 B 有最大值 0 和最小值 32 3 C 有最小值 无最大值 32 3 D 既无最大值也无最小值 答案 B 解析 F x x x 4 令F x 0 得x1 0 x2 4 F 1 F 0 0 7 3 F 4 F 5 32 3 25 3 最大值为 0 最小值为 32 3 6 用S表示图中阴影部分的面积 则S的值是 A f x dx c a B f x dx c a C f x dx f x dx b a c b D f x dx f x dx c b b a 答案 D 用心 爱心 专心 3 解析 由定积分的几何意义知 在x轴上方的阴影部分的面积为f x dx 则在x轴 c b 下方的阴影部分 由于f x 0 故f x dx 0 b a 所以其面积应为 f x dx b a 因此 总面积为f x dx f x dx c b b a 7 已知力F和物体移动方向相同 而且与物体位置x有如下关系 F x Error 那么力 F使物体从x 1 点运动到x 1 点做功大小为 A 0 B 11 6 C D 1 5 6 答案 B 解析 1F x dx 1 x dx x2 1 dx 1 0 1 0 1 x dx x2 1 dx 0 1 0 1 2 13 1 1 2 1 3 11 6 8 设f x Error 则f x dx 2 0 A B 3 4 4 5 C D 不存在 5 6 答案 C 解析 如图 用心 爱心 专心 4 f x dx x2dx 2 x dx 2 0 1 0 2 1 x3 01 Error 12 1 3 1 3 1 2 5 6 二 填空题 9 4 x 2 dx 3 答案 29 2 解析 原式 x 2 dx 2 x 2 dx 2 4 3 29 2 10 一物体以初速度v 9 8t 6 5m s 的速度自由落下 则下落后第二个 4s 内经过的 路程是 答案 261 2m 解析 9 8t 6 5 dt 4 9t2 6 5t 48 8 4 4 9 64 6 5 8 4 9 16 6 5 4 313 6 52 78 4 26 261 2 11 如果f x dx 1 f x dx 1 则f x dx 1 0 2 0 2 1 答案 2 解析 f x dx f x dx f x dx 1 0 2 1 2 0 f x dx f x dx f x dx 1 1 2 2 1 2 0 1 0 三 解答题 12 求下列定积分 用心 爱心 专心 5 13 已知f x 为二次函数 且f 1 2 f 0 0 f x dx 2 1 0 1 求f x 的解析式 2 求f x 在 1 1 上的最大值与最小值 解析 1 设f x ax2 bx c a 0 则f x 2ax b 由f 1 2 f 0 0 得 Error 即Error f x ax2 2 a 又f x dx ax2 2 a dx ax3 2 a x 01 2 a 2 a 6 从而f x 1 0 1 0 1 3 2 3 6x2 4 2 f x 6x2 4 x 1 1 当x 0 时 f x min 4 当x 1 时 f x max 2 14 如图所示 直线y kx分抛物线y x x2与x轴所围图形为面积相等的两部分 求 k的值 用心 爱心 专心 6 解析 抛物线y x x2与x轴两交点的横坐标为x1 0 x2 1 所以 抛物线与x轴所围图形的面积 1 k 3 1 6 又知S 所以 1 k 3 1 6 1 2 于是k 1 3 4 2 15 设y f x 是二次函数 方程f x 0 有两个相等的实根 且f x 2x 2 1 求y f x 的表达式 2 求y f x 的图像与两坐标轴所围成图形的面积 3 若直线x t 0 t 1 把y f x 的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分 求t的值 解析 1 设f x ax2 bx c 则f x 2ax b 又已知f x 2x 2 a 1 b 2 f x x2 2x c 又方程f x 0 有两个相等的实根 判别式 4 4c 0 即c 1 故f x x2 2x 1 2 依题意 所求面积 x2 2x 1 dx 0 1 3 依题意有 x2 2x 1 dx t x2 2x 1 dx t 1 0 t3 t2 t t3 t2 t 1 3 1 3 1 3 用心 爱心 专心 7 2t3 6t2 6t 1 0 2 t 1 3 1 于是t 1 1 3 2 教师备课平台教师备课平台 导数复习的关键问题 导数是高中数学的重要内容之一 又是高中数学的重要工具 在高考中占有举足轻重的 地位 可以说这部分内容掌握的好坏 直接决定着高考中数学科能不能取得高分 在解答与 此知识点相关的问题时 要注意以下几个关键点 一 切记函数的定义域 研究函数问题要树立定义域优先的意识 否则解题中极易出错 例 1 讨论函数f x ln 2x 3 x2的单调性 分析 求出f x 的导数后 解不等式即可 解析 f x 的定义域为 3 2 f x 2x 2 2x 3 4x2 6x 2 2x 3 2 2x 1 x 1 2x 3 当 x0 3 2 当 1 x 时 f x 时 f x 0 1 2 从而 f x 分别在区间 上单调递增 在区间上单调递 3 2 1 1 2 1 1 2 减 点评 本题如果没有定义域优先的意识 单从f x 来看 极易把 2 2x 1 x 1 2x 3 单调减区间写成和 3 2 1 1 2 二 清晰理解导数的定义 从三个方面理解导数的定义 1 函数f x 在某一点x0处的导数 f x0 lim x 0 f x0 x f x0 x 2 函数f x 在开区间 a b 内的导数 如果函数f x 在开区间 a b 内可导 对于开 区间 a b 内的每一个x0 都对应着一个导数f x0 这样f x 在开区间 a b 内构成一 用心 爱心 专心 8 个新的函数 这一新的函数叫作f x 在开区间 a b 内的导函数 记作f x y 导函数也简称为导数 lim x 0 y x lim x 0 f x x f x x 3 导数的定义的等价形式 f x0 的几种等价形式 lim x 0 f x0 x f x0 x f x0 lim x x0 f x f x0 x x0 lim h 0 f x0 h f x0 h 等 lim h 0 f x0 f x0 h h 例 2 已知函数f x 中 f 1 2 求 lim x 0 f 1 2 x f 1 x 分析 当 x 0 时 2 x 0 只需将 变形为 lim x 0 f 1 2 x f 1 x 2 即可用导数的定义解决 lim x 0 f 1 2 x f 1 2 x 解析 lim x 0 f 1 2 x f 1 x 2 2f 1 4 lim 2 x 0 f 1 2 x f 1 2 x 点评 函数在某一点x0处的导数 就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量 的比值在自变量的增量趋近于零时的极限 分子分母中的自变量的增量 x必须保持对应一 致 它是非零的变量 它可以是 2 x x等 1 2 三 准确掌握f x 取得极值的充要条件 定义域D上的可导函数f x 在x0处取得极值的充要条件是f x0 0 并且f x 在 x0两侧异号 例 3 函数f x x3 ax2 bx a2在x 1 处有极小值 10 求a b的值 分析 先由f 1 10 f 1 0 列式求出a b 再验证在x 1 两侧的导数是不 是异号 解析 f x 3x2 2ax b 由于函数f x x3 ax2 bx a2在x 1 处有极小值 10 所以Error 解得Error 或Error 当Error 时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2在x 1 的左右两侧不变号 所以x 1 不是 函数f x 的极小值点 用心 爱心 专心 9 当Error 时 f x 3x2 8x 11 x 1 3x 11 在x 1 的左侧为负 右侧为正 故x 1 是函数f x 的极小值点 所以a b 7 点评 f x0 0 只是可导函数f x 在x0处取得极值的必要条件 即必须有这个条 件 但只有这个条件还不够 还得f x 在x0两侧异号 四 全面把握函数单调性 1 在某个区间 a b 上 若f x 0 则f x 在这个区间上单调递增 若f x 0 或f x 0 当f x 0 时 函数y f x 在区间 a b 上单调递 增 当f x 0 时 f x 在这个区间内为常数函数 同理 若函数y f x 在区间 a b 上单调递减 则f x 0 反之等号不成立 3 使f x 0 的离散的点不影响函数的单调性 如y x cosx 例 4 已知函数f x x2 x 0 a R R 在区间 2 上是增函数 求实数a的 a x 取值范围 分析 只要f x 0 在 2 上恒成立 而只在一些离散的点处为 0 即可 解析 f x 2x 要使f x 在区间 2 上是增函数 只需当x 2 时 a x2 f x 0 恒成立 即 2x 0 则a 2x3 16 恒成立 a x2 故当a 16 时 f x 在区间 2 上是增函数 点评 本题仅在x 处f x 0 3 a 2 五 充分注意函数的不可导点 有些函数存在不可导点 如果不注意 将会发生错误 例 5 已知a R R 求函数f x x2 x a 的极值点 分析 这个函数有一个不可导点x a 而且这个点也是函数f x 的极值点 在讨论 函数的极值点时把它一起讨论 其余的极值点用导数去处理 解析 1 当a 0 时 f x x2 x a Error 作出其草图如下 易知f x 有两个 常规 极值点 用心 爱心 专心 10 x1 0 x2 有一个不可导点x a 而且这个点也是函数f x 的极值点 借助于图 2a 3 像可知x 0 x a是函数的极小值点 x 是函数的极大值点 2a 3 2 当a 0 时 f x x2 x Error 此时f x 在区间 0 上单调递减 在区间 0 上单调递增 x 0 为函数f x 的 极小值点 此时函数f x 无极大值点 点评 函数在某点处有定义时 只要它在该点左右两侧有相反的单调性 这点就是该 函数的极值点 六 求曲线的切线方程时 千万记住是曲线上某点处的切线 仅有一条 还是过某点的 切线 可能不只一条 例 6 已知函数f x x3 x2 4x 求过点 0 0 的曲线y f x 的切线方程 2 3 分析 先用求曲线上某点处切线方程的方法 写出曲线上点 x0 y0 处的切线方程 这条切线过点 0 0 再确定x0 y0的值即可 解析 f x 2x2 2x 4 设切点坐标为 x0 y0 则切线的斜率为 2x02 2x0 4 切线方程为y 2x02 2x0 4 x x0 切线过点 0 0 所以 2 3x03 x02 4x0 2x02 2x0 4 x0 2 3x03 x02 4x0 4x03 3x02 0 x0 0 或 3 4 当x0 0 时 切线方程为y 4x 当x0 时 切线方程为y x 3 4 35 8 点评 点 0 0 虽然也在曲线上 但并不是求仅在这点处的切线方程 七 用导数解决与正整数n有关的问题时 不能直接对n求导 例 7 证明对任意的正整数n 不等式 ln 都成立 1 n 1 1 n2 1 n3 分析 由于n是正整数 故 0 1 所证的不等式即 ln 1 0 构造函 1 n 1 n3 1 n2 1 n 数f x x3 x2 ln x 1 只需证明它在 0 1 上大于 0 即可 用心 爱心 专心 11 解析 令f x x3 x2 ln x 1 则f x 在 0 1 上恒正 3x3 x 1 2 x 1 f x 在 0 1 上单调递增 当x 0 1 时 恒有f x f 0 0 即当x 0 1 时 有 x3 x2 ln x 1 0 即 ln x 1 x2 x3 对任意正整数n 取x 0 1 1 n 得 ln 1 n 1 1 n2 1 n3 点评 若令f n ln 则这个函数图像是离散的点 在每一处都不可 1 n3 1 n2 1 1 n 导 就无法用导数去解决这个问题 八 树立导数在解决函数问题时的应用意识 例 8 已知函数f x x2 8x g x 6lnx m 是否存在实数m 使得y f x 的 图像与y g x 的图像有且只有三个不