2008年高考数学(理)试题及答案(湖南卷)

中国权威高考信息资源门户 绝密 启用前 20082008 年普通高等学校招生全国统一考试 湖南卷 年普通高等学校招生全国统一考试 湖南卷 数数 学学 理工农医类理工农医类 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 复数等于 3 1 i i A 8 B 8C 8iD 8i 2 x 1 2 成立 是 x x 3 0 成立 的 A 充分而不必要条件B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 已知变量 x y 满足条件则 x y 的最大值是 1 0 290 x xy xy A 2 B 5C 6D 8 4 设随机变量服从正态分布 N 2 9 若 P c 1 P c 则 c 1 A 1B 2C 3D 4 5 设有直线 m n 和平面 下列四个命题中 正确的是 A 若 m n 则 m n B 若 m n m n 则 C 若 m 则 m D 若 m m 则 m 6 函数 f x sin2x 在区间上的最大值是3sin cosxx 4 2 A 1B C D 1 13 2 3 2 3 中国权威高考信息资源门户 7 设 D E F 分别是 ABC 的三边 BC CA AB 上的点 且 2 DCBD 2 CEEA 则与2 AFFB ADBECF BC A 反向平行B 同向平行 C 互相垂直D 既不平行也不垂直 8 若双曲线 a 0 b 0 上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线 22 22 1 xy ab 3 2 a 的距离 则双曲线离心率的取值范围是 A 1 2 B 2 C 1 5 D 5 9 长方体 ABCD A1B1C1D1的 8 个顶点在同一球面上 且 AB 2 AD AA1 1 则顶点3 A B 间的球面距离是 A 2B C D 2 2 2 2 2 4 10 设 x 表示不超过 x 的最大整数 如 2 2 1 对于给定的 nN 定义 5 4 x 则当 x时 函数的值域是 2 1 1 1 1 n n nnx C x xxx 1 3 3 2 2 n C A B 16 28 3 16 56 3 C D 28 4 3 28 56 1628 4 28 33 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 把答案填在对应题号后的横线上 11 2 1 1 lim 34 x x xx 12 已知椭圆 a b 0 的右焦点为 F 右准线为 l 离心率 e 过顶点 22 22 1 xy ab 5 5 A 0 b 作 AMl 垂足为 M 则直线 FM 的斜率等于 13 设函数 y f x 存在反函数 y f 1 x 且函数 y x f x 的图象过点 1 2 则函数 y f 1 x x 的图象一定过点 中国权威高考信息资源门户 14 已知函数 f x 3 1 1 ax a a 1 若 a 0 则 f x 的定义域是 2 若 f x 在区间上是减函数 则实数 a 的取值范围是 0 1 15 对有 n n 4 个元素的总体 1 2 3 n 进行抽样 先将总体分成两个子总体 1 2 m 和 m 1 m 2 n m 是给定的正整数 且 2 m n 2 再从每 个子总体中各随机抽取 2 个元素组成样本 用 Pij表示元素 i和j 同时出现在样本中的概率 则 P1n 所有 Pif 1 i j 的和等于 n 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 甲 乙 丙三人参加了一家公司的招聘面试 面试合格者可正式签约 甲表示只要面 试合格就签约 乙 丙则约定 两人面试都合格就一同签约 否则两人都不签约 设每人 面试合格的概率都是 且面试是否合格互不影响 求 1 2 至少有 1 人面试合格的概率 签约人数的分布列和数学期望 17 本小题满分 12 分 如图所示 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形 BCD 60 E 是 CD 的中点 PA 底面 ABCD PA 2 证明 平面 PBE 平面 PAB 求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角 锐角 的大小 18 本小题满分 12 分 数列 22 122 1 2 1 cos sin 1 2 3 22 nnn nn aaaaan 满足 求并求数列的通项公式 34 a a n a 中国权威高考信息资源门户 设证明 当 21 12 2 n nnn n a bSbbb a 1 62 n nS n 时 19 本小题满分 13 分 在一个特定时段内 以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域 点 E 正北 55 海里 处有一个雷达观测站 A 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东且与点 A 相距 40海里的位置 B 经过 40 分钟又测得该船45 2 已行驶到点 A 北偏东 其中 sin 且与点 A45 26 26 090 相距 10海里的位置 C 13 I 求该船的行驶速度 单位 海里 小时 II 若该船不改变航行方向继续行驶 判断它是否会进入警戒水域 并说明理由 解 I 如图 AB 40 AC 10 213 26 sin 26 BAC 由于 2 时 点 P x 0 存在无穷多 条 相关弦 给定 x0 2 证明 点 P x0 0 的所有 相关弦 的中点的横坐标相同 试问 点 P x0 0 的 相关弦 的弦长中是否存在最大值 若存在 求其最大值 用 x0表示 若不存在 请说明理由 21 本小题满分 13 分 已知函数 f x ln2 1 x 2 1 x x 求函数 f x 的单调区间 若不等式对任意的都成立 其中 e 是自然对数的底数 1 1 n ae n N n 求的最大值 绝密 启用前 20082008 年普通高等学校招生全国统一考试 湖南卷 年普通高等学校招生全国统一考试 湖南卷 数数 学学 理工农医类理工农医类 参考答案参考答案 二 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 D 2 B 3 C 4 B 5 D 6 C 7 A 8 B 9 C 10 D 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 把答案填在对应题号后的横线上 中国权威高考信息资源门户 11 1 5 12 1 2 13 1 2 14 已知函数 f x 3 1 1 ax a a 1 3 a 2 01 3 15 6 4 m nm 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 解 用 A B C 分别表示事件甲 乙 丙面试合格 由题意知 A B C 相互独立 且 P A P B P C 1 2 至少有 1 人面试合格的概率是 3 17 1 1 1 28 P ABCP A P B P C 的可能取值为 0 1 2 3 0 PP ABCP ABCP ABC P A P B P CP A P B P CP A P B P C 323 1113 2228 1 PP ABCP ABCP ABC P A P B P CP A P B P CP A P B P C 333 1113 2228 1 2 8 PP ABCP A P B P C 中国权威高考信息资源门户 1 3 8 PP ABCP A P B P C 所以 的分布列是 0123 P3 8 3 8 1 8 1 8 的期望 3311 01231 8888 E 17 本小题满分 12 分 解 解法一 如图所示 连结 BD 由 ABCD 是菱形且 BCD 60 知 BCD 是等边 三角形 因为 E 是 CD 的中点 所以 BE CD 又 AB CD 所以 BE AB 又因为 PA 平面 ABCD 平面 ABCD 所以 PA BE 而AB A 因此 BE 平面 PAB BE PA 又平面 PBE 所以平面 PBE 平面 PAB BE 解法二 如图所示 以 A 为原点 建立空间直角坐标系 则相关各点的坐标分别是 A 0 0 0 B 1 0 0 P 0 0 2 E 1 0 3313 0 0 2222 CD 2 3 因为 平面 PAB 的一个法向量是 所以共线 3 0 0 2 BE 0 0 1 0 n 0 BEn和 从而 BE 平面 PAB 又因为平面 PBE 故平面 PBE 平面 PAB BE 中国权威高考信息资源门户 易知 3 1 0 2 0 0 2 PBBE 13 0 0 2 0 22 PAAD 设是平面PBE的一个法向量 则由得 1 111 nx y z 1 1 0 0 nPB nBE 所以 111 111 020 3 000 2 xyz xyz 1111 0 2 2 0 1 yxzn 故可取 设是平面PAD的一个法向量 则由得 2222 nxyz 2 2 0 0 nPA nAD 所以故可取 222 222 0020 13 00 22 xyz xyz 222 0 3 zxy 2 3 1 0 n 于是 12 12 12 2 315 cos 5 52 nn n n nn 故平面PAD和平面PBE所成二面角 锐角 的大小是 15 arccos 5 18 本小题满分 12 分 解 因为 22 12311 1 2 1 cos sin12 22 aaaaa 所以 22 22 1 cos sin24 n aaa 一般地 当时 21 N nkk 22 2121 21 21 1 cos sin 22 kk kk aa 即 21 1 k a 2121 1 kk aa 所以数列是首项为 1 公差为 1 的等差数列 因此 21k a 21 k ak 当时 2 N nk k 22 2222 22 1cos sin2 22 kkk kk aaa 所以数列是首项为 2 公比为 2 的等比数列 因此 2k a 2 2 k k a 故数列的通项公式为 n a 2 2 1 21 N 2 2 2 N n n nkk a nk k 中国权威高考信息资源门户 由 知 21 2 2 n n n n an b a 23 123 2222 n n n S 2241 1123 22222 n n n S 得 231 11111 222222 n nn n S 11 11 1 1 22 1 1 222 1 2 n nnn nn 所以 1 12 22 222 n nnn nn S 要证明当时 成立 只需证明当时 成立 6n 1 2 n S n 6n 2 1 2n n n 证法一 1 当n 6 时 成立 6 6 62 483 1 2644 2 假设当时不等式成立 即 6 nk k 2 1 2k k k 则当n k 1 时 1 1 3 2 1 3 1 3 1 2 2 2 222 kk kkk kkkkk k kkk 由 1 2 所述 当n 6 时 即当n 6 时 1 1 2n n n 1 2 n S n 证法二 令 则 2 6 2 n n n n cn 2 1 11 1 3 2 3 0 222 nn nnn nnn nn cc 所以当时 因此当时 6n 1nn cc 6n 6 6 83 1 644 n cc 于是当时 6n 2 1 2n n n 综上所述 当时 6n 1 2 n S n 19 本小题满分 13 分 解 I 如图 AB 40 AC 10 213 26 sin 26 BAC 中国权威高考信息资源门户 由于 40 AQ 所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间 且 QE AE AQ 15 中国权威高考信息资源门户 过点 E 作 EP BC 于点 P 则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离 在 Rt 中 QPE PE QE sinsinsin 45 PQEQEAQCQEABC 5 153 57 5 所以船会进入警戒水域 20 本小题满分 13 分 解 设 AB 为点 P x0 0 的任意一条 相关弦 且点 A B 的坐标分别是 x1 y1 x2 y2 x1x2 则 y21 4x1 y22 4x2 两式相减得 y1 y2 y1 y2 4 x1 x2 因为 x1x2 所以 y1 y20 设直线 AB 的斜率是 k 弦 AB 的中点是 M xm ym 则 k 12 1212 42 m yy xxyyy 从而 AB 的垂直平分线 l 的方程为 2 m mm y yyxx 又点 P x0 0 在直线 l 上 所以 ym 0 2 m m y xx 而于是0 m y 0 2 m xx 故点 P x0 0 的所有 相关弦 的中点的横坐标都是 x0 2 由 知 弦AB所在直线的方程是 代入中 mm yyk xx 2 4yx 整理得 222 2 2 0 mmmm k xk ykxxykx 则是方程 的两个实根 且 12 xx 2 12 2 mm ykx xx k 设点 P 的 相关弦 AB 的弦长为 l 则 22222 121212 1 lxxyykxx 2222 121212 2 2 2 2 2242 222222 00 1 4 4 1 2 4 4 1 4 4 4 4 1 16 4 1 2 1 4 1 2 3 m mm m m m m mmmmmmm mmmm kxxx xkxx x yx y x y y yxyyyxx xyxxyx 中国权威高考信息资源门户 因为 0 3 则 2 x0 3 0 4x0 8 所以当 t 2 x0 3 即 2 x0 3 时 2 m y l 有最大值 2 x0 1 若 2 x0 3 则 2 x0 3 0 g t 在区间 0 4x0 8 上是减函数 所以 0 l23 时 点 P x0 0 的 相关弦 的弦长中存在最大值 且最大值为 2 x0 1 当 2 x03 时 点 P x0 0 的 相关弦 的弦长中不存在最大值 21 本小题满分 13 分 解