第2课时函数相等

第 1 页 共 7 页 第第 2 课时课时 函数相等函数相等 复复 习习 1 函数的概念 2 函数的定义域的求法 导入新课导入新课 思路思路 1 当实数 a b 的符号相同 绝对值相等时 实数 a b 当集合 A B 中元素完全相同时 集 合 A B 那么两个函数满足什么条件才相等呢 引出课题 函数相等 思路思路 2 我们学习了函数的概念 y x 与 y 是同一个函数吗 这就是本节课学习的内容 引 x x2 出课题 函数相等 推进新课推进新课 新知探究新知探究 提出问题提出问题 指出函数 y x 1 的构成要素有几部分 一个函数的构成要素有几部分 分别写出函数 y x 1 和函数 y t 1 的定义域和对应关系 并比较异同 函数 y x 1 和函数 y t 1 的值域相同吗 由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相 同 值域相同吗 由此你对函数的三要素有什么新的认识 讨论结果 讨论结果 函数 y x 1 的构成要素为 定义域 R 对应关系 x x 1 值域是 R 一个函数的构成要素为 定义域 对应关系和值域 简称为函数的三要素 其中定义域是函 数的灵魂 对应关系是函数的核心 当且仅当两个函数的三要素都相同时 这两个函数才相同 定义域和对应关系分别相同 值域相同 如果两个函数的定义域和对应关系分别相同 那么它们的值域一定相等 因此只要两个函数 的定义域和对应关系分别相同 那么这两个函数就相等 应用示例应用示例 思路思路 1 1 下列函数中哪个与函数 y x 相等 第 2 页 共 7 页 1 y 2 2 y 3 y 4 y x 33 x 2 x x x2 活动 活动 让学生思考两个函数相等的条件后 引导学生求出各个函数的定义域 化简函数关系式为最简 形式 只要它们定义域和对应关系分别相同 那么这两个函数就相等 解 解 函数 y x 的定义域是 R 对应关系是 x x 1 函数 y 2的定义域是 0 x 函数 y 2与函数 y x 的定义域 R 不相同 x 函数 y 2与函数 y x 不相等 x 2 函数 y 的定义域是 R 33 x 函数 y 与函数 y x 的定义域 R 相同 33 x 又 y x 33 x 函数 y 与函数 y x 的对应关系也相同 33 x 函数 y 与函数 y x 相等 33 x 3 函数 y 的定义域是 R 2 x 函数 y 与函数 y x 的定义域 R 相同 2 x 又 y x 2 x 函数 y 与函数 y x 的对应关系不相同 2 x 函数 y 与函数 y x 不相等 2 x 4 函数 y 的定义域是 0 0 x x2 函数 y 与函数 y x 的定义域 R 不相同 x x2 函数 y 2与函数 y x 不相等 x 点评 点评 本题主要考查函数相等的含义 讨论函数问题时 要保持定义域优先的原则 对于判断 第 3 页 共 7 页 两个函数是否是同一个函数 要先求定义域 若定义域不同 则不是同一个函数 若定义域相同 再化简函数的解析式 若解析式相同 即对应关系相同 则是同一个函数 否则不是同一个函数 变式训练变式训练 判断下列各组的两个函数是否相同 并说明理由 y x 1 x R 与 y x 1 x N y 与 y 4 x 2 2 x2x y 1 与 u 1 x 1 x 1 y x2与 y x 2 x y 2 x 与 y 0 2 0 2 xx xx y f x 与 y f u 是同一个函数的是 把是同一个函数的序号填上即可 解 解 只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可 前者的定义域是 R 后者的定义域是 N 由于它们的定义域不同 故不是同一个函数 前者的定义域是 x x 2 或 x 2 后者的定义域是 x x 2 它们的定义域不同 故不是同一个 函数 定义域相同均为非零实数 对应法则相同都是自变量取倒数后加 1 那么值域必相同 故是同 一个函数 定义域是相同的 但对应法则不同 故不是同一个函数 函数 y 2 x 则定义域和对应法则均相同 那么值域必相同 故是同一个函数 0 2 0 2 xx xx 定义域相同 对应法则相同 那么值域必相同 故是同一个函数 故填 思路思路 2 1 判断下列函数 f x 与 g x 是否表示同一个函数 说明理由 1 f x x 1 0 g x 1 2 f x x 1 g x 12x x 2 3 f x x2 g x x 1 2 第 4 页 共 7 页 4 f x x2 1 g u u2 1 活动 活动 学生思考函数的概念及其三要素 教师引导学生先判断定义域是否相同 当定义域相同 时 再判断它们的对应关系是否相同 解 解 1 f x x 1 0的定义域是 x x 1 函数 g x 1 的定义域是 R 函数 f x x 1 0与函数 g x 1 的定义域不同 函数 f x x 1 0与函数 g x 1 不表示同一个函数 2 f x x 1 的定义域是 R g x 的定义域是 R 12x x 2 2 1 x 函数 f x x 1 与函数 g x 的定义域相同 12x x 2 又 g x x 1 12x x 2 2 1 x 函数 f x x 1 与函数 g x 的对应关系不同 12x x 2 函数 f x x 1 与函数 g x 不表示同一个函数 12x x 2 3 很明显 f x x2和 g x x 1 2的定义域都是 R 又 f x x2和 g x x 1 2的对应关系不同 函数 f x x2和 g x x 1 2不表示同一个函数 4 很明显 f x x2 1 与 g u u2 1 的定义域都是 R 又 f x x2 1 与 g u u2 1 的对应关系也相同 函数 f x x2 1 与 g u u2 1 表示同一个函数 变式训练变式训练 1 2007 湖北黄冈模拟 理 13 已知函数 f x 满足 f ab f a f b 且 f 2 p f 3 q 则 f 36 解 解 由题意得 f 36 f 6 6 f 6 f 6 2f 6 2f 2 3 2 f 2 f 3 2p 2q 答案 答案 2p 2q 2 函数 y f x 的图象与直线 x 2 的公共点共有 A 0 个 B 1 个 C 0 个或 1 个 D 不确定 答案 答案 C 2 设 y 是 u 的函数 y f u 而 u 又是 x 的函数 u g x 设 M 表示 u g x 的定义域 N 是函数 y f u 的值域 当 M N 时 则 y 成为 x 的函数 记为 y f g x 这个函数叫做由 y f u 及 u g x 复合而成的复合函数 它的定义域为 M N u 叫做中间变量 f 称为外层函数 g 称为内层 第 5 页 共 7 页 函数 指出下列复合函数外层函数和内层函数 并且使外层函数和内层函数均为基本初等函数 1 y 2 y x2 2x 3 2 3 y 1 1 1 xxx 11 2 活动 活动 让学生思考有哪些基本初等函数 它们的解析式是什么 解 解 1 设 y u x 1 u 1 即 y 的外层函数是反比例函数 y 内层函数是一次函数 u x 1 1 1 xu 1 2 设 y u2 u x2 2x 3 即 y x2 2x 3 2的外层函数是二次函数 y u2 内层函数是二次函数 u x2 2x 3 3 设 y u2 u 1 u x 1 即 y 1 的外层函数是二次函数 y u2 u 1 内层函数是反比例函数 u xx 11 2 x 1 点评 点评 到目前为止 我们所遇到的函数大部分是复合函数 并且是由正 反比例函数和一 二 次函数复合而成的 随着学习的深入 我们还会学习其他复合函数 复合函数是高考重点考查 的内容之一 应引起我们的重视 变式训练变式训练 1 2004 重庆高考 文 2 设 f x 则 1 1 2 2 x x 2 1 2 f f 答案 答案 1 2 2006 安徽高考 理 15 函数 f x 对任意实数 x 满足条件 f x 2 若 f 1 5 则 f f 5 1 xf 分析 函数 f x 对任意实数 x 满足条件 f x 2 f x 4 f x 2 1 1 xf f x 2 1 xf f 1 f 1 4 f 5 又 f 1 5 f 5 5 f f 5 f 5 f 5 4 f 1 f 1 4 f 3 f 1 2 1 1 f5 1 第 6 页 共 7 页 答案 答案 5 1 知能训练知能训练 1 下列给出的四个图形中 是函数图象的是 A B C D 图 1 2 1 2 答案 答案 B 2 函数 y f x 的定义域是 R 值域是 1 2 则函数 y f 2x 1 的值域是 答案 答案 1 2 3 下列各组函数是同一个函数的有 f x g x x f x x0 g x 3 xx 0 1 x f x g u f x x2 2x g u u2 2u u 2 u 2 答案 答案 拓展提升拓展提升 问题 函数 y f x 的图象与直线 x m 有几个交点 探究 设函数 y f x 定义域是 D 当 m D 时 根据函数的定义知 f m 唯一 则函数 y f x 的图象上横坐标为 m 的点仅有一个 m f m 即此时函数 y f x 的图象与直线 x m 仅有一个交点 当 m D 时 根据函数的定义知 f m 不存在 则函数 y f x 的图象上横坐标为 m 的点不存在 即此时函数 y f x 的图象与直线 x m 没有交点 综上所得 函数 y f x 的图象与直线 x m 有交点时仅有一个 或没有交点 课堂小结课堂小结 1 复习了函数的概念 总结了函数的三要素 2 学习了复合函数的概念 第 7 页 共 7 页 3 判断两个函数是否是同一个函数 作业作业 1 设 M x 2 x 2 N y 0 y 2 给出下列 4 个图形 其中能表示以集合 M 为定义域 N 为值 域的函数关系是 图 1 2 1 3 分析 A 中 当 0 x 2 时 N 中没有元素与 x 对应 不能构成函数关系 C 中一个 x 有两个 y 与之 对应 所以不是函数关系 D 中 表示函数关系 但是表示的函数值域不是 N 答案 答案 B 2 某公司生产某种产品的成本为 1000 元 以 1100 元的价格批发出去 随生产产品数量的增加 公司收入 它们之间是关系 分析 由题意 多生产一单位产品则多收入 100 元 生产产品数量看成是自变量 公司收入看成 是因变量 容易得出对于自变量的每一个确定值 因变量都有唯一确定值与