解三角形问题及其简单应用易错笔记

第十七讲第十七讲 解三角形问题及其简单应用解三角形问题及其简单应用 1 解三角形问题中三角形解的个数原因探究解三角形问题中三角形解的个数原因探究 1 1 为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形 1 2 由正弦值求三角形内角时可能有两解 1 3 由产生的漏解现象 cos0A 2 解三角形出现增解的应对策略解三角形出现增解的应对策略 2 1 已知两边及大边对角的三角形唯一确定 2 2 根据两角正弦值大小剔除增解 2 3 根据三角函数值的范围剔除增解 3 几何法判断三角形解的个数 几何法判断三角形解的个数 3 1 画图观察直观判断三角形解的解的个数 3 2 根据三角形解的个数求字母参数范围 4 三角形形状的判定三角形形状的判定 4 1 利用余弦定理判断锐角 直角 钝角 4 2 化边为角判定三角形形状 4 3 化角为边判断判定三角形形状 5 三角形中的取值范围与最值问题三角形中的取值范围与最值问题 5 1 三角形形状隐含角的范围 5 2 三角形两边之和大于第三边的配合使用 5 3 利用余弦定理 基本不等式求最值 5 4 化归为三角函数的最值与值域问题 6 三角形中几种常见的变换方法三角形中几种常见的变换方法 6 1 两角和与第三角的三角函数关系 6 2 不能遗忘的 切化弦 7 常见的解三角形实例常见的解三角形实例 7 1 距离的测量问题 7 2 高度的测量问题 7 3 角度的测量问题 7 4 是否进入某区域问题 7 5 与最值有关的实际应用问题 1 解三角形问题中三角形解的个数原因探究解三角形问题中三角形解的个数原因探究 1 1 为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形 典例典例 在 角所对的边分别为 且 ABC A B C a b c1 3ac 1 若 则 2 若 则 3 C A 6 A b 变式变式 1 1 在中 角所对的边分别为 已知 则 ABC A B C a b c6 8 45bcB cosC 变式变式 2 2 已知在中 角所对的边分别为 试判断符合条件的有多少个 ABC A B C a b c3 2 45abB ABC 1 21 2 由正弦值求三角形内角时可能有两解由正弦值求三角形内角时可能有两解 典例典例 1 1 在中 求的面积 ABC 3 1 30ABACB ABC 变式变式 1 1 若ABC 的面积为10 3 且5 8ABAC 则BC等于 变式变式 2 2 ABC 中 角所对的边分别为 且 ABC 的面积为 求与的值 A B C a b c3 1bc 2Acosa 变式变式 3 3 已知 是ABC 的内角 且 求的大小 3cos2sin2f xxx A 1fA A 变式变式 4 4 在ABC 中 角所对的边分别为 A B C a b c3 sincoscaCcA 1 求角 2 若 ABC 的面积为 求 A2a 3 b c 典例典例 2 2 在ABC 中 角所对的边分别为 如果有性质 试问这个三角形的形状具有什么特点 A B C a b cBbAacoscos 变式变式 1 1 在中 角所对的边分别为 已知 判断的形状 ABC A B C a b c 22 tantanaBbA ABC 变式变式 2 2 在中 角所对的边分别为 已知 判断的形状 ABC A B C a b c cos1cos2 cos1cos2 bCC cBB ABC 变式变式 3 3 在ABC 中 内角 A B C所对的边分别为 a b c 已知 求角C的大小 ab BA 22 coscosAAcossin3BBcossin3 1 31 3 由由产生的漏解现象产生的漏解现象cos0A 典例典例 在中 角所对的边分别是 已知 若 求 ABC 的面积 ABC A B C a b c2 3 cC sinsin 2sin2CBAA 变式变式 1 若若是三角形的内角 则是三角形的内角 则可能为可能为 0 0 但 但 cos 0sin 在 ABC 中 已知角 若 求角的大小 60 Bcos cossin2BACA A 变式变式 3 3 等式两边乘以或除以同一个不为零的数 等式仍然成立等式两边乘以或除以同一个不为零的数 等式仍然成立 在中 角所对的边分别为 已知 判断的形状 ABC A B C a b ccoscosabcBcA ABC 2 解三角形出现增解的应对策略解三角形出现增解的应对策略 2 12 1 已知两边及大边对角的三角形唯一确定已知两边及大边对角的三角形唯一确定 典例典例 在中 角所对的边分别为 若 则角的大小为 ABC A B C a b c2a 2b sincos2BB A 变式变式 1 1 三角形中大边对大角 非最大边所对的角一定是锐角三角形中大边对大角 非最大边所对的角一定是锐角 在中 角所对的边分别为 已知 则边长等于 ABC A B C a b c 31 3 Aab c A B C D 1231 3 变式变式 2 2 在中 角所对的边分别为 已知 则 ABC A B C a b c3a 6b 3 2 AB 变式变式 3 3 已知在中 则的面积为 ABC 1 2 6 ABACC ABC 变式变式 4 4 在中 角所对的边分别为 若 则角 ABC A B C abc 1 3 3 acC A 变式变式 5 5 在中 角所对的边分别为 若角依次成等差数列 且 则角 ABC A B C a b c A B C1 a3 b C 变式变式 6 6 在中 已知 求的值 ABC 60 3 2 AACABC2sin 2 22 2 根据两角正弦值大小剔除增解根据两角正弦值大小剔除增解 典例典例 在中 则的值为 ABC 5 4 sin B 13 5 cos A Ccos 变式变式 1 1 在中 求证 ABC sinsinABAB 变式变式 2 2 在中 若 则的值为 ABC 5 3 sin A 13 5 cos B Ccos 变式变式 3 3 在中 则的值为 ABC 12 sin 13 B 4 cos 5 A Ccos 2 3 根据三角函数值的范围剔除增解根据三角函数值的范围剔除增解 典例典例 在中 角所对的边分别为 则满足此条件的三角形有 ABC A B C a b c a 3 b 45 A A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 变式变式 1 1 钝角的面积是 则 ABC 1 2 1 AB2 BC AC A 5 B C 2 D 1 5 变式变式 2 2 借助余弦函数的单调性 缩小角的范围 避免讨论借助余弦函数的单调性 缩小角的范围 避免讨论 已知在中 角所对的边分别为 为锐角 且 则的值为 ABC A B C a b c A B 5 3 2cos A 10 10 sin BBA 变式变式 3 3 根据三角形中各内角的正弦值均大于零探求隐含条件 合理舍去增解根据三角形中各内角的正弦值均大于零探求隐含条件 合理舍去增解 在中 已知 则角 ABC3sin463cos41ABAB cossin C 3 几何法判断三角形解的个数 几何法判断三角形解的个数 3 13 1 画图观察直观判断三角形解的个数画图观察直观判断三角形解的个数 典例典例 已知在中 角所对的边分别为 试判断符合条件的有多少个 ABC A B C a b c 0 45 2 3 BbaABC 变式变式 1 1 已知在中 角所对的边分别为 不解三角形 则下列判断正确的 ABC A B C a b c 1 1 有两个解 4 5 30abA 2 2 有一个解 5 4 60abA 3 3 有一解 3 2 120abB 4 4 无解 3 6 60abA 变式变式 2 2 已知在中 角所对的边分别为 根据下列条件解三角形 ABC A B C a b c 30 14 7 60 10 9 那么 下面判断正确的是 BabBab A 只有一解 也只有一解 B 有两解 也有两解 C 有两解 只有一解 D 只有一解 有两解 变式变式 3 3 在中 角所对的边分别为 若 则此三角形有 ABC A B C a b c18 24 45abA A 无解 B 两解 C 一解 D 解的个数不确定 变式变式 4 4 在中 角所对的边分别为 已知 则满足此条件的三角形的个数是几个 ABC A B C a b c2 6 30abA 3 23 2 根据三角形解的根据三角形解的个数确定字母参数的范围个数确定字母参数的范围 典例典例 如果满足 的三角形 ABC 恰好有一个解 那么实数的取值范围是 60B 12 ACBCk k 变式变式 1 1 在中 角所对的边分别为 已知 此三角形有解 则角的取值范围是 ABC A B C a b c2 2 2ba A 变式变式 2 2 若满足条件 的有两个 则边长的取值范围是 3 ABAC 60 CABC BC 变式变式 3 3 在中 角所对的边分别是 已知 且此三角形只有一个解 则边长的取值范围是 ABC A B C a b c2 4 bB a 4 三角形形状的判定三角形形状的判定 4 14 1 利用余弦定理判断锐角 直角 钝角利用余弦定理判断锐角 直角 钝角 典例典例 在ABC 中 角所对的边分别为 用余弦定理证明 当角 C 为钝角时 当角 C 为锐角时 A B C a b c 222 abc 222 abc 变式变式 1 在中 若 则的形状是 ABC 222 sinsinsinBCA ABC A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定 变式变式 2 在中 若 则的形状是 ABC CBA 222 sinsinsin ABC A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定 变式变式 3 在中 角所对的边分别为 若三边满足 则的形状是 ABC A B C a b c 333 abc ABC A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定 4 24 2 化边为角判定三角形形状化边为角判定三角形形状 典例典例 在中 角所对的边分别为 已知 判定的形状 ABC A B C a b c C c B b A a coscoscos ABC 变式变式 1 1 在中 角所对的边分别为 已知 判定的形状 ABC A B C a b c sincoscos c ABC ab ABC 变式变式 2 2 在中 已知 判定的形状 ABC sin2sincosABC ABC 变式变式 3 3 在中 角所对的边分别为 已知 判定的形状 ABC A B C a b c2 cosabC ABC 变式变式 4 4 在中 角所对的边分别为 已知 判定的形状 ABC A B C a b cAcasin BACcossin2sin ABC 变式变式 5 5 在中 角所对的边分别为 已知 判定的形状 ABC A B C a b csin2sincosABC acbcba bc3 ABC 4 34 3 化角为边判断判定三角形形状化角为边判断判定三角形形状 典例典例 1 1 在中 角所对的边分别为 已知 判断的形状 ABC A B C a b c2abc 2 sinsinsinABC ABC 变式变式 1 1 在中 若 则的形状一定是 ABC 2cossinsinCAB ABC A 等腰直角三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 变式变式 2 2 在中 角所对的边分别为 若 试判断的形状 ABC A B C a b c60B 2bac ABC 典例典例 2 2 在 ABC 中 若 试判定 ABC 的形状 2 2 tan tan Aa Bb 变式变式 1 1 在 ABC 中 若 则 ABC 的形状 2 coscaB 变式变式 2 2 在 ABC 中 若 则 ABC 的形状如何 BA BA C coscos sinsin sin 5 三角形中的取值范围三角形中的取值范围与最值问题与最值问题 5 15 1 三角形形状隐含角的范围三角形形状隐含角的范围 典例典例 设锐角三角形的内角的对边分别为 且 求的取值范围 ABC A B C a b c2 sinabA cossinAC 变式变式 1 1 在锐角中 则的取值范围是 ABC 6 ACAB2 BC 变式变式 2 2 锐角的内角的对边分别为 设 则的取值范围是 ABC A B C a b c2CB c b 变式变式 3 3 钝角三角形的三个内角成等差数列 且最大边与最小边之比为 则的取值范围是 mm 变式变式 4 4 在锐角ABC 中 1 2 BCBA 则 cos AC A 的值等于 AC的取值范围为 变式变式 5 5 锐角锐角 ABCABC满足不等式满足不等式同时成立同时成立tan0 tan0 tan0ABC 锐角中 若 则 的取值范围是 ABC tan1 tan1AtBt t 5 25 2 三角形两边之和大于第三边的配合使用三角形两边之和大于第三边的配合使用 典例典例 在锐角中 角所对的边分别为 边长 则边长的取值范围是 ABC A B C a b c1 2ab c 评注评注 为锐角三角形为锐角三角形同时成立 且三角形两边之和大于第三边 若同时成立 且三角形两边之和大于第三边 若是钝角 则是钝角 则且且ABC cos0 cos0 cos0ABC Acos0A bca 变式变式 1 1 锐角的边长分别为 3 1 则的取值范围是 ABC aa 变式变式 2 2 在钝角中 三边长分别为 4 5 则实数的取值范围为 ABC xx 5 35 3 利用余弦定理 基本不等式求最值利用余弦定理 基本不等式求最值 典例典例 1 1 若的内角 A B C 满足 则的最小值是 ABC sin2sin2sinABC cosC 评注评注 现将等式中角应用正余弦定理化为边 化简整理后 再应用基本不等式求最值 同时要注意取等的条件 即取最值的条件 现将等式中角应用正余弦定理化为边 化简整理后 再应用基本不等式求最值 同时要注意取等的条件 即取最值的条件 变式变式 1 1 在中 角所对边长分别为 若 则的最小值为 ABC A B C a b c 222 2abc cosC A B C D 3 2 2 2 1 2 1 2 变式变式 2 2 利用利用 求角的取值范围 求角的取值范围 2 2 ab ab 在 ABC 中 角所对边长分别为 则角的取值范围是 A B C a b ccba2 C 变式变式 3 3 在 ABC 中 角所对边长分别为 若 a c b 成等差 则角 C 的取值范围是 A B C a b c 变式变式 4 4 在 ABC 中 角所对边长分别为 若 a c b 成等比 则角 C 的取值范围是 A B C a b c 变式变式 5 5 利用利用 求边长的最小值 求边长的最小值 22 2bcbc 在 中 角所对边长分别为 若 的面积为 则边的最小值为 ABC A B C a b c 3 AABC3 3a 变式变式 6 6 利用 求周长的最小值 22 2bcbc 2bcbc 已知分别是的三个内角的对边 cba ABC CBA A C a cb cos cos22 I 求角的大小 II 若的面积 求周长的最小值 AABC 3 SABC 典例典例 2 2 已知分别为三个内角的对边 且 则面积的最大值为cba ABC CBA 2 a CbcBAbsin sin sin2 ABC 评注评注 最值问题经常利用的不等式 最值问题经常利用的不等式 22 2bcbc 2bcbc 2 2 ab ab 变式变式 1 1 利用余弦定理结合利用余弦定理结合求周长的最大值求周长的最大值 2 2 ab ab 已知分别为三个内角的对边 则 周长的最大值为 cba ABC CBA 2 a60A ABC 变式变式 2 2 利用利用 结合余弦定理求面积的最大值 结合余弦定理求面积的最大值 22 2bcbc 在锐角中 角的对边分别为 已知 且 ABC A B C a b c 2sin 3 mAC 2 cos2 2cos1 2 B nB nm 求角的大小 若 求面积的最大值 B1 bABC 变式变式3 3 已知内接于单位圆 半径为1个单位长度的圆 且 ABC 1tan 1tan 2AB 1 求角的大小 2 求面积的最大值 CABC 变式变式 4 4 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 tantan 2 tantan coscos AB AB BA 证明 a b 2c 求 cosC 的最小值 变式变式 5 5 已知分别是的三个内角的对边 且cos cos3sin cos0 CAAB cba ABC CBA I 求角B的大小 II 若 求b的取值范围 1ac 5 45 4 化归为三角函数的最值与值域问题化归为三角函数的最值与值域问题 典例典例 在中 则的最大值为 ABC 60 3BAC 2ABBC 评注评注 在在中 中 根据根据 为为外接圆半径 外接圆半径 可将边长转化为三角形内角的正弦值 可将边长转化为三角形内角的正弦值 ABC 2 sin 2 sin 2 sinaRA bRB cRC RABC 进而转化为某一个角的三角函数的最值或值域问题进而转化为某一个角的三角函数的最值或值域问题 变式变式 1 1 在ABC 中 1 求的大小 2 求 的最大值 222 2 acbacB 2coscosAC 变式变式 2 2 设的内角所对的边分别为 且ABC A B C a b c 1 cos 2 bCac 1 求角 B 的大小 2 若 求的周长 的取值范围 1b ABC l 变式变式 3 3 如图 在等腰直角中 点在线段上 OPQA90POQ OP 2 2NPQ 1 若 求的长 5ON PN 2 若点在线段上 且 问 当取何值时 的面积最小 并求出面积的最小值 MNQ30MON PON OMNA 6 三角形中几种常见的变换方法三角形中几种常见的变换方法 6 16 1 两角和与第三角的三角函数关系两角和与第三角的三角函数关系 典例典例 在中 角所对应的边分别为 已知 求角 C ABC A B C a b c80A 2 ab bc 评注 在在中 中 ABC 所以有 所以有sin sinABC cos cosABC tan tanABC ABC 变式 1 在中 角所对应的边分别为 若3a 2b 则c ABC A B C a b c 3 1 cos BA A 4 B 15 C 3 D 17 变式变式 2 2 在中 角所对应的边分别为 已知 则的值为 ABC A B C a b c 2 bac BBCA2coscos cos 变式变式 3 3 在中 角所对应的边分别为 若 b A c C a 2 3 2 cos 2 cos 22 则之间的关系可用等式表示为 ABC A B C a b c a b c 变式变式 4 4 在中 角所对应的边分别为 已知3 cos2 cosaCcA 求B ABC A B C a b c 3 1 tan A 变式变式 5 5 已知是三角形三内角 向量 且 若 求的值 A B CABC 1 3 cos sinmnAA 1m n 22 1 sin2 3 cossin B BB tanC 变式变式 6 6 在ABC 中 已知 1 求证 tan3tanBA 2 若 5 cos 5 C 求 A 的值 3AB ACBA BC 变式变式 7 7 已知的内角 面积满足所对ABC 2 1 sin sin 2sin BACCBAACBA满足 SCBAcbaS 21分别为 记 的边 求证 8 cbbc 变式变式 8 8 在锐角三角形中 若 则的最小值是 ABCsin2sinsinABC tantantanABC 6 26 2 不能遗忘的不能遗忘的 切化弦切化弦 典例典例 已知锐角中 角所对应的边分别为 且 则角B的大小为 ABC A B C a b c 222 3 tan ac B acb 评注评注 在三角函数部分切弦互化是很容易想到 在解三角形问题中 遇到切也要考虑是否需要采用在三角函数部分切弦互化是很容易想到 在解三角形问题中 遇到切也要考虑是否需要采用 切化弦切化弦 变式变式 1 1 在中 已知 则 ABC 3AB AC 0AB BC A B tan tan 变式变式 2 2 在锐角中 角所对应的边分别为 6cos ba C ab 则 ABC A B C a b c B C A C tan tan tan tan 变式变式 3 3 在中 角所对的边分别为 若 且 则该三角形的面积的ABC A B C a b cBCCABAtantantantantantan 3 c 最大值为 7 常见的解三角形实例常见的解三角形实例 7 17 1 距离的测量问题距离的测量问题 典例典例 在相距 2 千米的两点处测量目标点C 无法到达 若 则两点之间的距离为 千 A B 75 CAB 60 CBA A C 米 评注评注 1 在测量上 我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线 如本题中的线段在测量上 我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线 如本题中的线段 ABAB 一般来说 基线越长 测量的精确度越高 一般来说 基线越长 测量的精确度越高 2 解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意 正确做出图形 把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边 角 解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意 正确做出图形 把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边 角 通过建立数学模型来求解 通过建立数学模型来求解 变式变式 1 1 如图 一艘船上午 9 30 在A处测得灯塔S在它的北偏东 30 处 之后它继续沿正北方向匀速航行 上午 10 00 到达B处 此时又 测得灯塔S在它的北偏东 75 处 且与它相距 8 n mile 此船的航速是 n mile h 2 变式变式 2 2 要测量对岸两点之间的距离 选取相距 km 的两点 并测得 A B 3 C D75 45 30 45ACBBCDADCADB 求之间的距离 A B 7 27 2 高度的测量问题高度的测量问题 典例典例 1 1 如图所示 为测一树的高度 在地面上选取两点 从两点分别测得树尖的仰角为 30 45 且两点间的距离为 A B A B A B 60m 则树的高度为 m 评注评注 仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线上方叫仰角 目标视线在水平视线下方叫仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线上方叫仰角 目标视线在水平视线下方叫 俯角俯角 如图如图 变式变式 1 1 如图 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B C 的俯角分别为 此时气球的高是 则河流的宽度 BC 约等于 67 30 46m 用四舍五入法将结果精确到个位 参考数据 msin670 92 cos670 39 sin370 60 cos370 80 31 73 变式变式 2 2 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为 45 沿倾斜角为 30 的斜坡前进 1000 m 后到达D处 又测得山顶的仰角为 60 则山 的高度BC为 m 变式变式 3 3 在某个位置测得某山峰仰角为 对着山峰在水平地面上前进 900 m 后测得仰角为 继续在水平地面上前进 300 m 后 测得 2 3 山峰的仰角为 则该山峰的高度为 m 4 变式变式 4 4 如图 在湖面上高为 10 m 的处测得天空中一朵云 C 的仰角为 30 测得云 C 在湖中之影 D 的俯角为 45 则云 C 距湖面BMA 的高度为 m BMCM 典例典例 2 2 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北的方向上 行驶 600m 后到达处 A30 B 测得此山顶在西偏北的方向上 仰角为 则此山的高度 m 75 30 CD 评注评注 方向角 从东 西 南 北的某一方向开始最小角旋转到另一方向时所转的角度 如西偏北方向角 从东 西 南 北的某一方向开始最小角旋转到另一方向时所转的角度 如西偏北 75 75 就是从西开始旋转到正北 转过的 就是从西开始旋转到正北 转过的 角度为角度为 75 75 方位角 从测者所站位置逆时针旋转到正北方向时所转的最小角 方位角 从测者所站位置逆时针旋转到正北方向时所转的最小角 变式变式 1 1 要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度 在黄浦江西岸选择两观测点 在两点测得塔顶的仰角分别为 45 AB C D C D 30 在水平面上测得电视塔底部与地连线及两地连线所成的角为 120 两地相距 500 m 则电视塔的高度是 BCBC C DCD C D A 100 m B 400 m C 200 m D 500 m 23 变式变式 2 2 如图 测量河对岸的塔高时 可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与 测得ABBCD 30m 并在点测得塔顶的仰角为 60 则塔高 BCD 15 BDC 30 CDCAAB m 变式变式 3 3 如图 为测量山高 选择和另一座山的山顶为测量观测点 从点测得点的仰角 点的仰角MNACAM60MAN C 以及 从点测得 已知山高m 则山高 m 45CAB 75MAC C60MCA 100BC MN 变式变式 4 4 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到处时测得北侧远处一山顶在西偏北的方向上 仰角为 行驶 4km 后AD 30 15 到达处 测得山顶在西偏北的方向上 BD 45 求山的高度 设汽车行驶过程中 仰望山顶的最大仰角为 求 D tan 变式变式 5 5 如图 跳伞塔高 4 在塔顶测得地面上两点的俯角分别是 又测得 求两地的距离 CDBA 4530 30ADBAB 7 37 3 角度的测量问题角度的测量问题 典例典例 甲船点发现乙船在北偏东 60 的处 乙船以每小时海里的速度向北行驶 已知甲船的速度是每小时海里 问甲船应沿着ABa 3a 什么方向前进 才能最快与乙船相遇 评注评注 追及问题常用正余弦定理求解 追及问题常用正余弦定理求解 变式变式 1 1 两座灯塔和与海岸观察站的距离相等 灯塔在观察站北偏东 40 灯塔在观察站南偏东 60 则灯塔在灯塔的 ABCABAB A 北偏东 10 B 北偏西 10 C 南偏东 10 D 南偏西 10 变式变式 2 2 如图 两座相距 60 m 的建筑物的高度分别为 20m 50m 为水平面 则从建筑物的顶端看建筑物的张角为 AB CDBDABACD 变式变式 3 3 如图所示 位于处的信息中心获悉 在其正东方向相距 40 海里的处有一艘渔船遇险 在原地等待营救 信息中心立即把消息告AB 知在其南偏西 30 相距 20 海里的处的乙船 现乙船朝北偏东的方向即沿直线前往处救援 求的值 C CBBcos 变式变式 4 4 某渔船在航行中不幸遇险 发出呼救信号 我海军舰艇在处获悉后 立即测出该渔船在方位角为 45 距离为 10 海里的处 AC 并测得渔船正沿方位角为 105 的方向 以 10 海里 小时的速度向小岛B靠拢 我海军舰艇立即以 10海里 小时的速度直线航行前去营救 求 3 舰艇的航向和靠近渔船所需的时间 A P C B 7 4 是否进入某区域问题是否进入某区域问题 典例典例 海滨某城市 A 附近海面上有一台风 在城市 A 测得该台风中心位于方位角 150 距离 40