第四章一次函数

第四章 一次函数知识点总结 基本概念 1 变量 在一个变化过程中可以取不同数值的量 常 量 在一个变化过程中只能取同一数值的量 例题 在匀速运动公式 s vt 中 v 表示速度 t 表 示时间 s 表示在时间 t 内所走的路程 则变量是 常量是 在圆的周长公式 C 2 r 中 变量是 常量是 2 函数 一般的 在一个变化过程中 如果有 两个变量 x 和 y 并且对于 x 的每一个确定的值 y 都有唯一确定的值与其对应 那么我们就把 x 称为自变量 把 y 称为因变量 y 是 x 的函数 判断 Y 是否为 X 的函数 只要看 X 取值 确定的时候 Y 是否有唯一确定的值与之对应 例题 下列函数 1 y x 2 y 2x 1 3 y 1 x 4 y 2 1 3x 5 y x2 1 中 是一次函数的 有 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 3 定义域 一般的 一个函数的自变 量允许取值的范围 叫做这个函数的定义域 的取值范围 x 一 次 函 数 1 自变量 x 和因 变量 y 有如下关系 y kx b k 为任意不为零实数 b 为任意实数 则此时称 y 是 x 的一次 函数 特别的 当 b 0 时 y 是 x 的正比例函数 即 y kx k 为任意不为零实数 定义域 自变量的取值范围 自变量的取值应使函数有意义 要与实际有意义 2 当 x 0 时 b 为函数在 y 轴上的截距 一次函数性质 1 在一次函数上的任意一点 P x y 都满足等式 y kx b k 0 2 一 次函数与 y 轴交点的坐标总是 0 b 与 x 轴总是交于 b k 0 正比例函数的图像总是 过原 点 3 函数不是数 它是指某一变量过程中两个变量之间的关系 特别地 当 b 0 时 直线通 过原点 O 0 0 表示的是正比例函数的图像 这时 当 k 0 时 直线只通过一 三象限 当 k 0 时 直线只通过二 四象限 4 特殊位置关系 当平面直角坐标系中两直线平行时 其函数 解析式中 K 值 即一次项系数 相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时 其函数解析式中 K 值 互为负倒数 即两个 K 值的乘积为 1 应用 一次函数 y kx b 的性质是 1 当 k 0 时 y 随 x 的增大而增大 2 当 k 0 时 y 随 x 的增大而 减小 利用一次函数的性质可解决下列 问题 一 确定字母系数的取值范围 例 1 已知正比例函数 y 3m 5 x 则当 m 时 y 随 x 的增大而减小 解 根据正比例函数的定义和性质 得 且 my2 则 x1 与 x2 的大小关系是 A x1 x2 B x10 且 y1 y2 根据一次函数的性质 当 k 0 时 y 随 x 的增大而增大 得 x1 x2 故选 A 判断函数图象的位置 例 3 一次函数 y kx b 满足 kb 0 且 y 随 x 的增 大而减小 则此函数的图象不经过 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解 由 kb 0 知 k b 同号 因为 y 随 x 的增大而减小 所以 k 0 所以 b0 时 图像经过一 三象限 k0 y 随 x 的增大而增大 k0 时 向上平移 当 b0 y 随 x 的增大而增大 k0 时 将直线 y kx 的图象向上平移 b 个单位 当 b0 b0 图象从左到右上升 y 随 x 的增大而增大 经过第一 二 四象限 经过第二 三 四象限 经 过第二 四象限 k0 时 向上平移 当 b 0 时 向下平移 13 直线 y k1x b1 与 y k2x b2 的位 置关系 1 k1 k2 且 b1 b2 两直线重合 2 k1 k2 且 b1 b2 两直线平行 3 k1 k2 且 b1 b2 两直线相交 4 k1 k2 b1 b2 两直线相交于 y 轴上即点 0 b 14 用待 定系数法确定函数解析式的一般步骤 确定一次函数的表达式 已知点 A x1 y1 B x2 y2 请确定过点 A B 的一次函数的表达式 1 设一次函数的表达式 也叫解析式 为 y kx b 2 因为在一次函数上的任意一点 P x y 都满足等式 y kx b 所以可以列出 2 个方程 y1 kx1 b 和 y2 kx2 b 3 解这个二元一次方程 得到 k b 的值 4 最后得到一次函数的表达式 15 一元一次 方程与一次函数的关系 任何一元一次方程到可以转化为 ax b 0