高中数学必修二直线与圆方面的知识点

高中数学必修高中数学必修 2 2 知识点知识点 直线与圆直线与圆 整理整理 徐福扬徐福扬 一 直线与方程一 直线与方程 1 1 直线的倾斜角 直线的倾斜角 定义 定义 x x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角 特别地 当直线与特别地 当直线与 x x 轴平行或重合时轴平行或重合时 我们规定它的倾斜角为我们规定它的倾斜角为 0 0 度 因此 倾斜角的取值范围是度 因此 倾斜角的取值范围是 0 0 180 180 2 2 直线的斜率 直线的斜率 定义 倾斜角不是定义 倾斜角不是 90 90 的直线 它的倾斜角的正切叫做这条直的直线 它的倾斜角的正切叫做这条直 线的斜率 直线的斜率常用线的斜率 直线的斜率常用 k k 表示 即表示 即 斜率反映直 斜率反映直tank 线与轴的倾斜程度 线与轴的倾斜程度 当当时 时 当当时 时 当当时 时 90 0 0 k 180 90 0 k 90 不存在 不存在 k 过两点的直线的斜率公式 过两点的直线的斜率公式 21 12 12 xx xx yy k 注意下面四点 注意下面四点 1 1 当当时 公式右边无意义 直线的斜率不时 公式右边无意义 直线的斜率不 21 xx 存在 倾斜角为存在 倾斜角为 90 90 2 k 2 k 与与 P P1 1 P P2 2的顺序无关 的顺序无关 3 3 以后求斜率可不通过倾斜角而由以后求斜率可不通过倾斜角而由 直线上两点的坐标直接求得 直线上两点的坐标直接求得 4 4 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到 3 3 直线方程 直线方程 点斜式 点斜式 直线斜率直线斜率 k k 且过点 且过点 11 xxkyy 11 y x 注意 注意 当直线的斜率为当直线的斜率为 0 0 时 时 k 0k 0 直线的方程是 直线的方程是 y yy y1 1 当直线的斜率为当直线的斜率为 90 90 时 直线的斜率不存在 它的方程不时 直线的斜率不存在 它的方程不 能用点斜式表示 但因能用点斜式表示 但因 l l 上每一点的横坐标都等于上每一点的横坐标都等于 x x1 1 所以它 所以它 的方程是的方程是 x xx x1 1 斜截式 斜截式 直线斜率为 直线斜率为 k k 直线在 直线在 y y 轴上的截距为轴上的截距为 b bbkxy 两点式 两点式 直线两点 直线两点 11 2121 yyxx yyxx 1212 xxyy 11 y x 22 y x 截矩式 截矩式 1 xy ab 其中直线其中直线 与与 轴交于点轴交于点 与与 轴交于点轴交于点 即即 与与 轴 轴 轴轴lx 0 ay 0 blxy 的截距分别为的截距分别为 a b 一般式 一般式 A A B B 不全为不全为 0 0 0 CByAx 注意 注意 各式的适用范围各式的适用范围 特殊的方程如 特殊的方程如 1 1 2 2 平行于平行于 x x 轴的直线 轴的直线 b b 为常数 为常数 平行于平行于 y y 轴的直线 轴的直线 by a a 为常数 为常数 ax 5 5 直线系方程 即具有某一共同性质的直线 直线系方程 即具有某一共同性质的直线 一 平行直线系 一 平行直线系 平行于已知直线平行于已知直线 是不全为是不全为 0 0 的常数 的常数 0 000 CyBxA 00 B A 的直线系 的直线系 C C 为常数 为常数 0 00 CyBxA 二 过定点的直线系 二 过定点的直线系 斜率为 斜率为 k k 的直线系 的直线系 直线过定点 直线过定点 00 xxkyy 00 y x 过两条直线 过两条直线 的的0 1111 CyBxAl0 2222 CyBxAl 交点的直线系方程为交点的直线系方程为 为参数 为参数 其中直线 其中直线不在直线不在直线 0 222111 CyBxACyBxA 2 l 系中 系中 6 6 两直线平行与垂直 两直线平行与垂直 当当 时 时 111 bxkyl 222 bxkyl 212121 bbkkll 1 2121 kkll 注意 利用斜率判断直线的平行与垂直时 要注意斜率的存在注意 利用斜率判断直线的平行与垂直时 要注意斜率的存在 与否 与否 7 7 两条直线的交点 两条直线的交点 相交相交0 1111 CyBxAl0 2222 CyBxAl 交点坐标即方程组交点坐标即方程组的一组解 的一组解 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 方程组无解方程组无解 方程组有无数解方程组有无数解与与 21 l l 1 l 重合重合 2 l 8 8 两点间距离公式 设 两点间距离公式 设是平面直角坐标系是平面直角坐标系 1122 A x yB xy 中的两个点 中的两个点 则则 22 2121 ABxxyy 9 9 点到直线距离公式 一点 点到直线距离公式 一点到直线到直线 00 y xP 的距离的距离 0 1 CByAxl 22 00 BA CByAx d 1010 两平行直线距离公式 两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点 再转化为点到直线的距离进行求在任一直线上任取一点 再转化为点到直线的距离进行求 解 解 二 圆与方程二 圆与方程 圆的标准方程圆的标准方程 1 1 圆的标准方程 圆的标准方程 222 xaybr 圆心为圆心为 A a b A a b 半径为半径为 r r 的圆的方程的圆的方程 2 2 点 点与圆与圆的关系的判断方法 的关系的判断方法 00 M xy 222 xaybr 1 1 点在圆外 点在圆外 2 2 22 00 xayb 2 r 22 00 xayb 2 r 点在圆上点在圆上 3 3 点在圆内 点在圆内 22 00 xayb 2 r 4 1 24 1 2 圆的一般方程圆的一般方程 1 1 圆的一般方程 圆的一般方程 0 22 FEyDxyx 2 2 圆的一般方程的特点 圆的一般方程的特点 1 x2 1 x2 和和 y2y2 的系数相同 不等于的系数相同 不等于 0 0 没有没有 xyxy 这样的二这样的二 次项 次项 2 2 圆的一般方程中有三个特定的系数圆的一般方程中有三个特定的系数 D D E E F F 因之只要求 因之只要求 出这三个系数 圆的方程就确定了 出这三个系数 圆的方程就确定了 3 3 与圆的标准方程相比较 它是一种特殊的二元二次方程 与圆的标准方程相比较 它是一种特殊的二元二次方程 代数特征明显 圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小 代数特征明显 圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小 几何特征较明显 几何特征较明显 4 2 14 2 1 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 1 1 用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系 用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系 设直线设直线 圆 圆 圆的半径为 圆的半径为l0 cbyaxC0 22 FEyDxyx 圆心 圆心到直线的距离为到直线的距离为 则判别直线与圆的位置关系 则判别直线与圆的位置关系r 2 2 ED d 的依据有以下几点 的依据有以下几点 1 1 当 当时 直线时 直线 与圆与圆相离 相离 2 2 当 当时 直线时 直线 与圆与圆rd lCrd l 相切 相切 C 3 3 当 当时 直线时 直线 与圆与圆相交 相交 rd lC 4 2 24 2 2 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 两圆的位置关系 两圆的位置关系 设两圆的连心线长为设两圆的连心线长为 则判别圆与圆的位置关系的依据有以下 则判别圆与圆的位置关系的依据有以下l 几点 几点 1 1 当 当时 圆时 圆与圆与圆相离 相离 2 2 当 当时 圆时 圆 21 rrl 1 C 2 C 21 rrl 与圆与圆外切 外切 1 C 2 C 3 3 当 当时 圆时 圆与圆与圆相交 相交 21 rr 21 rrl 1 C 2 C 4 4 当 当时 圆时 圆与圆与圆内切 内切 5 5 当 当时 圆时 圆 21 rrl 1 C 2 C 21 rrl 与圆与圆内含 内含 1 C 2 C 4 2 34 2 3 直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用 1 1 利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系 利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系 2 2 过程与方法 过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤 用坐标法解决几何问题的步骤 第一步 建立适当的平面直角坐标系 用坐标和方程表示问题第一步 建立适当的平面直角坐标系 用坐标和方程表示问题 中的几何元素 将平面几何问题转化为代数问题 中的几何元素 将平面几何问题转化为代数问题 第二步 通过代数运算 解决代数问题 第二步 通过代数运算 解决代数问题 第三步 将代数运算结果第三步 将代数运算结果 翻译翻译 成几何结论 成几何结论 4 3 14 3 1 空间直角坐标系空间直角坐标系 1 1 点 点 M M 对应着唯一确定的有序实数组对应着唯一确定的有序实数组 zyxxy 分别是分别是 P P Q Q R R 在在 轴上的坐标轴上的坐标zxyz 2 2 有序实数组 有序实数组 对应着空间直角坐标系中的一点 对应着空间直角坐标系中的一点 zyx 3 3 空间中任意点 空间中任意点 M M 的坐标都可以用有序实数组的坐标都可以用有序实数组来表示 该来表示 该 zyx 数组叫做点数组叫做点 M M 在此空间直角坐标系中的坐标 记在此空间直角坐标系中的坐标 记 M M 叫做叫做 zyxx 点点 M M 的横坐标 的横坐标