极坐标和参数方程基础知识及重点题型

精品文档 1欢迎下载 高中数学回归课本校本教材 24 一 基础知识 参数极坐标 1 1 极坐标定义极坐标定义 M 是平面上一点 表示 OMOM 的长度的长度 是 则有序实数实数对 MOx 叫极径 叫极角 一般地 0 2 0 2 2 常见的曲线的极坐标方程常见的曲线的极坐标方程 1 直线过点 M 倾斜角为常见的等量关系 00 正弦定理 sinsin OPOM OMPOPM 0 OMP OPM 2 圆心 P半径为 R 的极坐标方程的等量关系 勾股定理或余弦定理 00 3 圆锥曲线极坐标 当时 方程表示双曲线 当时 方程表示抛物线 当 1cos ep e 1e 1e 时 方程表示椭圆 提醒提醒 极点是焦点 一般不是直角坐标下的坐标原点 极坐标方程01e 表示的曲线是 双曲线 3 24cos 3 3 参数方程 参数方程 1 圆的参数方程 222 xaxbr cos sinxarxbr 2 椭圆的参数方程 22 22 1 xy ab cos sinxaxb 3 直线过点 M 倾斜角为倾斜角为的参数方程 即 00 xy 0 0 tan yy xx 00 cossin xxyy t 即注 据锐角三角函数定义 T T 几何意义是有向线段几何意义是有向线段的数量的数量 0 0 cos sin xxt yyt 0 cos xx t 0 sin yy t MP 000 00 00 tlMM xyM MM M MMtMMt 其中表示直线上以定点为起点 任意一点 为终点的有向线段的数量 当点在的上方时 当点在的下方时 如 如 将参数方程为参数化为普通方程为 将代入即可 但是 2 2 2sin sin x y 2 23 yxx 2 siny 2 2sinx 2 0sin1 4 4 极坐标和直角坐标互化公式 极坐标和直角坐标互化公式 或 的象限由点 x y 所在象限确定 cos sin x y 222 tan 0 xy y x x 1 它们互化的条件则是 极点与原点重合 极轴与 x 轴正半轴重合 2 将点变成直角坐标 也可以根据几何意义和三角函数的定义获得 cos sin 5 极坐标的几个注意点 极坐标的几个注意点 1 极坐标和直角坐标转化的必要条件是具有共同的坐标原点 极点 如如 已知圆的参数方程为 C 32cos 2sin x y 为参数 若是圆与轴正半轴的交点 以圆心为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求过点的圆的 PCyCxPC 切线的极坐标方程 5 cos 2 6 如如 已知抛物线 以焦点 F 为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求抛物线的极坐标方程 即 2 4yx x 2 1cos 2 对极坐标中的极径和参数方程中的参数的几何意义认识不足 2 2 2 420 2 1 xpt ypx pt ypt y t xt 抛物线的参数方程为 为参数 由于 因此参数的几何意义是抛物线上的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数 精品文档 2欢迎下载 如如 已知椭圆的长轴长为 6 焦距 过椭圆左焦点 F1作一直线 交椭圆于两点 M N 设 当 12 4 2FF 21 0 F FM 为何值时 MN 与椭圆短轴长相等 5 66 或 3 直角坐标和极坐标一般不要混合使用 如如 已知某曲线的极坐标方程为 1 将上 2 2 2 sin 20 4 述曲线方程化为普通方程 2 若点是该曲线上任意点 求的取值范围 P x yxy 22 2 22 2 二 基本计算 二 基本计算 1 1 求点的极坐标求点的极坐标 有序实数实数对 叫极径 叫极角 如 点的直角坐标是 则点的极坐标为 M 1 3 M 提示 都是点的极坐标 2 2 3 2 2 2 3 kkZ M 2 2 求曲线轨迹的方程步骤 求曲线轨迹的方程步骤 1 建立坐标系建立坐标系 2 在曲线上取一点在曲线上取一点 P P 3 写出等式写出等式 4 根据根据几何意几何意 义用义用表示上述等式 并化简表示上述等式 并化简 注意 5 验证 如 如 长为的线段 其端点在轴和轴正方 xy 2aOxOy 向上滑动 从原点作这条线段的垂线 垂足为 求点的轨迹的极坐标方程 轴为极轴 再化为直角坐标方程 MMOx 解 设设点的极坐标为 则 且 点M OBMAOM 2 sinOAa cos2 sincossin2OAaa M 的轨迹的极坐标方程为 由可得 sin2 0 2 a sin2a 32 2sincosa 其直角坐标方程为 3 22 2 2xyaxy 3 22 2 2 0 0 xyaxy xy 3 3 求轨迹方程的常用方法 求轨迹方程的常用方法 直接法 直接通过建立 之间的关系 构成 是求轨迹最基本的方法 xy 0F x y 待定系数法 可先根据条件设所求曲线的方程 再由条件确定其待定系数 代回方程 代入法 相关点法或转移法 如 如 从极点作圆的弦 求各弦中点的轨迹方程 解 设所求曲线上的动点的极坐2 cosa M 标为 圆上的动点的极坐标为由题设可知 将其代入圆的方程得 2 cosa 11 1 1 2 cos 22 a 定义法 如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义 则可由曲线定义直接写出方程 交轨法 参数法 当动点坐标之间的关系不易直接找到 也没有相关动点可用时 可考虑将 均用一 P x yxy 中间变量 参数 表示 得参数方程 再消去参数得普通方程 4 4 参数和极径的几何意义的运用 参数和极径的几何意义的运用 表示 OMOM 的长度 的长度 T T 几何意义是有向线段几何意义是有向线段的数量的数量 如 已知过点的直线 与 MP 9 3 Pl 轴正半轴 轴正半轴分别交于 A B 两点 则 AB 最小值为 提示 设倾斜角为倾斜角为 则 则xy8 3 9cos 3sin xt yt 或 AB 则 令 12 ABtt 12 tt 12 93 cossin tt 93 cossin l 22 9sin3cos cossin l 33 22 9sin3cos cossin 所以 注意 本题可以 0l 3 3 31 tan 9 3 1 tan 150 3 min 93 150 8 3 cos150sin150 ll 取倾斜角的补角为倾斜角的补角为 如如 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线 交抛物线于两点 求线段的长度 解 对此抛 2 8yx F 4 A BAB 物线有 所以抛物线的极坐标方程为 两点的极坐标分别为和 1 4ep 4 1cos A B 4 5 4 4 1 cos4 4 22 FA 4 1 cos54 4 22 FB 线段的长度为 16 16ABFAFB AB 5 5 参数方程的应用参数方程的应用 求最值 求最值 如如 已知点是圆上的动点 1 求的取值范围 2 若 P x y 22 2xyy 2xy 恒成立 求实数的取值范围 2 0 xya a 51 51 cossin10 xyaa 21 如 在椭圆上找一点 使这一点到直线的距离的最小值 解 设椭圆的参数方程为 22 1 1612 xy 2120 xy 4cos 2 3sin x y 精品文档 3欢迎下载 当 即时 此 4cos4 3sin12 5 d 4 54 5 cos3sin32cos 3 553 cos 1 3 5 3 min 4 5 5 d 时所求点为 2 3 C C 选修选修 4 4 4 4 参数方程与极坐标参数方程与极坐标 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合 极轴与已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合 极轴与轴的正半轴重合 若曲线轴的正半轴重合 若曲线 C C1 1的方程为的方程为 x 2 8 sin15 曲线曲线 C C2 2的方程为的方程为 2 2cos 2sin x y 为参数 1 1 将 将 C C1 1的方程化为直角坐标方程 的方程化为直角坐标方程 2 2 若 若 C C2 2上的点上的点 Q Q 对应的参数为对应的参数为 P P 为为 C C1 1上的动点 求上的动点 求 PQPQ 的最小值 的最小值 3 4 提示 提示 1 1 22 8150 xyy 2 2 当时 得 点到的圆心的距离为 所以 的最小值为 3 4 2 1 Q Q 1 C13PQ131 在极坐标系中 求经过三点在极坐标系中 求经过三点O O 0 0 0 0 A A 2 2 B B 的圆的极坐标方程 的圆的极坐标方程 2 2 2 4 解解 设是所求圆上的任意一点 则 故所求的圆的极坐标方程 P cos 4 OPOB 为 2 2cos 4 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合 极轴与已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合 极轴与轴的正半轴重合轴的正半轴重合 若直线若直线 的极坐标方程为的极坐标方程为xl 23 4 sin 1 1 把直线 把直线 的极坐标方程化为直角坐标系方程 的极坐标方程化为直角坐标系方程 l 2 2 已知 已知为椭圆为椭圆上一点 已知曲线上一点 已知曲线C C的参数方程为的参数方程为 求 求到直线到直线P1 916 22 yx C 4cos 3sin x y 为参数P 的距离的最大值的距离的最大值 l 解 解 1 1 直线l的极坐标方程 则 sin3 2 4 22 sincos3 2 22 即 所以直线l的直角坐标方程为 sincos6 60 xy 2 2 P为椭圆上一点 设 其中 22 1 169 xy C 4cos3sin P 0 2 图 x BA O P 精品文档 4欢迎下载 则P到直线l的距离 其中 4cos3sin6 5cos 6 22 d 4 cos 5 所以当时 的最大值为 cos 1 d 11 2 2 在极坐标系中 圆在极坐标系中 圆的方程为的方程为 以极点为坐标原点 极轴为 以极点为坐标原点 极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标轴的正半轴建立平面直角坐标C2 2sin 4 x 系 直线系 直线 的参数方程为的参数方程为 为参数 为参数 判断直线 判断直线 和圆和圆的位置关系 的位置关系 l 12 xt yt tlC 解 解 消去参数 得直线 的直角坐标方程为 即 tl21yx 2 2 sin 4 2 sincos 两边同乘以得 得 的直角坐标方程为 2 2 sincos C 22 1 1 2xx 圆心到直线 的距离 所以直线 和 相交 Cl 22 21 1 2 5 2 5 21 d lC 已知曲线已知曲线的极坐标方程是的极坐标方程是 直线 直线 的参数方程是的参数方程是 为参数 为参数 C2sin l 3 2 5 4 5 xt yt t 1 1 将曲线 将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程 的极坐标方程化为直角坐标方程 C 2 2 设直线 设直线 与与轴的交点是轴的交点是 是曲线是曲线上一动点上一动点 求求的最大值的最大值 lxMNCMN 解 解 1 1 曲线的极坐标方程可化为 C 2 2 sin 又 222 cos sinxyxy 所以曲线的直角坐标方程为C 22 20 xyy 2 2 将直线l的参数方程化为直角坐标方程 得 4 2 3 yx 令 得 即点的坐标为 2 0 0y 2x M 又曲线为圆 圆的圆心坐标为 1 0 半径 则 CC1r 5MC 所以51MNMCr 精品文档 5欢迎下载 1 2 3 123 12 4sin 42 3 4cos 2 422 4 0 2 1 2 4 2 0 0 242 t a 2010 n Ox C C C CCC MN CCABO ABMN A如图 在极坐标系中 已知曲线 或 求由曲线 围成的区域的面积 设 射线 与 曲线 分别交于 不同于极点两点 若线段 的中点恰好落在直线上 变 浙江 卷 求 式训练 的值 2 0 sin 03 4 121 Alm m mPlQOPOP OQ Q A 在极坐标系中 已知点 到直线 的距离为 求实数的值 设是直线上的动点 在线段上 且满足 求点的轨迹方程 并指出轨迹是什么图形 0 0 00 0 0 1 2 0 22 20 13 2 2 1 1 21sin 2 4 xA m lxymAldm lPQ m 以极点为原点 极轴为轴的正半轴 建立直角坐标系 则点的直角坐标为 直线的直角坐标方 解 程为因为到直线的距离 由得直线的方程为设 所 则 析 以 0 22 000 1 sin 2211 31 88164 2 sin 2 44 1 si 4 n 4 4 2 Plr Q xyQ 因为点 在直线上 所以 将 代入 得 即 这就是点的轨迹方 化为直角坐标方程为因此点的轨迹是以 为圆心 为 程 半径的圆 222 22 111 1222 22 2 4 422 11 42464 42 2 2sin2cos 2 OSP AB SS S ABGONG 弓形阴影部分 由已知 所以 故所求面积 设的中点 解 为 由题意知 析 精品文档 6欢迎下载 2 21 sincos sinsin55 22sin2cos sin sin sin2 sincos sin sin2cos sin3sincos0sin0tan3 ONOG OGN OGNONG 在中 即 所以 化简得 又因为 所以