窗函数在频率响应函数计算中的影响分析.docx

窗函数在频率响应函数计算中的影响分析一. 窗函数简介为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截短，截短函数称为窗函数，简称为窗。 信号截短以后产生的能量泄漏现象是必然的，因为窗函数w(t)是一个频带无限的函数，所以即使 原信号x(t)是限带宽信号，而在截短以后也必然成为无限带宽的函数，即信号在频域的能量与分布被扩展了。又从采样定理可知，无论采样频率多高，只要信号 一经截短，就不可避免地引起混叠，因此信号截短必然导致一些误差。 泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱，为此，在时间域中可采用不同的窗函数来截短信号。在信号处理中，窗函数是一种除在给定区间之外取值均为0的实函数。譬如：在给定区间内为常数而在区间外为0的窗函数被形象地称为矩形窗。任何函数与窗函数之积仍为窗函数，所以相乘的结果就像透过窗口“看”其他函数一样。窗函数在频谱分析、滤波器设计、波束形成、以及音频数据压缩（如在Ogg Vorbis音频格式中）等方面有广泛的应用。二. 常见的几种窗函数1. 矩形窗矩形窗属于时间变量的零次幂窗。矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。2. 三角窗三角窗亦称费杰（Fejer）窗，是幂窗的一次方形式。与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。3. 汉宁（Hanning）窗汉宁窗又称升余弦窗，汉宁窗可以看作是3个矩形时间窗的频谱之和，或者说是3个 sin(t)型函数之和，而括号中的两项相对于第一个谱窗向左、右各移动了 /T，从而使旁瓣互相抵消，消去高频干扰和漏能。可以看出，汉宁窗主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。4. 海明（Hamming）窗海明窗也是余弦窗的一种，又称改进的升余弦窗。海明窗与汉宁窗都是余弦窗，只是加权系数不同。海明窗加权的系数能使旁瓣达到更小。分析表明，海明窗的第一旁瓣衰减为一42dB海明窗的频谱也是由3个矩形时窗的频谱合成，但其旁瓣衰减速度为20dB/（10oct），这比汉宁窗衰减速度慢。海明窗与汉宁窗都是很有用的窗函数。5. 高斯窗高斯窗是一种指数窗。高斯窗谱无负的旁瓣，第一旁瓣衰减达一55dB。高斯富谱的主瓣较宽，故而频率分辨力低高斯窗函数常被用来截短一些非周期信号，如指数衰减信号等。6. 窗函数的选择对于窗函数的选择，应考虑被分析信号的性质与处理要求。如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例 如测量物体的自振频率等；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用 指数窗来提高信噪比。三. 窗函数对消除频率响应曲线残余旁瓣3.1 窗函数根据数字信号处理理论，一般希望窗函数满足两项要求：1 窗谱主瓣尽可能窄，以获得较陡的过渡带；2 尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度，也就是能量尽量集中于主瓣，这样使肩峰和波纹减小，增大阻带的衰减。但是这两项要求是不能同时得到满足的，往往是增加主瓣宽度以换取对旁瓣的抑制选用不同形状的窗函数是为了得到平坦的通带幅度响应和较小的阻带波纹，即加大阻带衰减因而所选用的窗函数，其频谱旁瓣电平要较小，而主瓣会加宽。常用的窗函数有：汉宁(Hanning)窗、汉明(Hamming)窗、布拉克曼(Blackman)窗、高斯(Gauss)窗。3.2 布喇格结构加窗技术为了有效抑制反射器的谐波分量，提高反射器反射性能，根据滤波器理论，用窗函数来加权处理内外导体壁上波纹幅度大小，从而减小通带内的起伏，同时保证阻带的频带宽度和抑制深度。从滤波器设计理论来说，观测信号与窗函数在时域相乘后，观测信号被窗函数截断，因此窗函数对观测的信号起到了一种滤波的作用。3.2.1 结构加汉明窗加汉明窗后的反射器性能如图3。1所示图3。1从图3。1可以看出，同轴布喇格反射器经过汉明窗加权后性能发生了很大的改变，首先通带内S的驻波变得比较小。S也随着波纹相位差的增大，逐步加深由此可见加汉明窗后，反射器的通带特性得到了明显的改善，起伏明显减小。3.2.2 结构加布拉克曼窗图3。2是加布拉克曼窗后的仿真结果，与图l各图相比，当内外波纹相位差为0时，其反射系数变小，但是其通带的平滑度更好，没有明显的起伏。图3。23.2.3 结构加高斯窗高斯窗与前面讨论的两种窗的形式截然不同，前面两种窗都属于余弦窗系列，而高斯窗是一种指数窗，它与凯塞窗都是在某种优化准则下得到的优化窗。图3。3是加高斯窗后的仿真结果。图3。3从图3。3可以看出布喇格结构加高斯窗后，其传输通带波纹变小，当相位差为0时，反射系数是这3个窗中最高的；另一个特点就是加高斯窗后的带宽变小。图3。4无论布喇格结构加何种窗，其通带的平滑度都得到了明显的改善，这可以从图4清楚地看到，高斯窗的平滑度最好，但是其边带的相对幅值比较大，其次是加布拉克曼窗，它的平滑度也非常好。加窗技术不仅可以提高布喇格反射器的性能，也可以减少仿真时间。因为用CST时域求解器求解时，傅立叶变换计算S参数要求时间信号完全衰减到零，否则就会引入截断误差而布喇格反射器是高谐振器件，时间信号中可能会出现谐振，这使得信号的衰减非常缓慢，需要很长的仿真时间进行精确的傅立叶变换，而采用了加窗技术，在仿真时，瞬态场衰减到一定程度就会被傅立叶变换正确的截断而不产生很大的误差，又可以平滑通带。加窗后能量的衰减非常快，这样仿真所需要的时间也大大的减小。四. 窗函数用于频谱分析影响4.1 频谱分析频谱分析中易出现泄漏现象，加窗函数是减少频谱泄漏的有效方法，但传统的仅用某一固定类型的窗进行频谱分析的做法会造成旁瓣泄漏和主频精度之间的矛盾，导致无法全面准确地认识信号频谱。针对此缺陷，本文详细讨论各种不同窗函数对信号傅氏变换后频谱的影响，揭示各种窗的特点和作用，提出用窗函数进行频谱分析时的改进措施：根据分析信号的性质与处理要求，选用合适的窗，达到实际测量目的；在不同窗口下得到的频谱相互参考，取长补短，从而对信号频谱作出全面准确的判断。仿真实验表明，此方法可大大提高频谱分析的精确度和全面性，是科学有效的。目前频谱分析广泛应用FFT算法，但该方法容易因截取信号时间长度不恰当而引起频谱泄漏，影响到对信号频谱的准确解释。在傅立叶变换时对时域信号加合适形状的窗，可降低频谱泄漏的发生，但各种窗口函数都有其优缺点。通过分析频谱泄漏产生的原因，提出用窗函数法进行频谱分析时的改进措施及应遵循的准则。4.2 FFT 算法的频谱泄漏用FFT 进行频谱分析时，涉及以下三个步骤：首先对信号采样，变换为离散序列；然后建立数据窗，忽略数据窗前后信号波形；最后，将FFT 应用到数据窗得到结果。进行以上三个步骤时，必须满足以下要求：首先满足采样定理，以免引起混叠失真，这一点容易做到。其次，信号截取长度必须是信号周期的整数倍，否则将产生频谱泄漏。也就是说，当信号周期为T0，采样周期为Ts，数据窗内采样点数为N(N为整数)时，必须满足(1)式：LT0Tx=N (1)即数据窗长度为L 倍信号周期，L 为整数。若此式得不到满足，则会产生频谱泄漏影响测量结果。在实际测量过程中，采样频率和信号频率受到很多因素的影响，会随时变化，对信号做FFT 分析时，采取简单的措施很难使数据窗记录的是整数个周期。从时域来说，这种情况在信号周期延拓时就会导致其边界点不连续，使信号附加了高频分量；从频域来说，由于FFT 算法只是对有限长度的信号进行变换，有限长度信号在时域相当于无限长信号和矩形窗的乘积， 对应到频域中是实际信号频谱与矩形窗频谱做卷积运算，当(1)式不成立时，由此卷积得到的FFT 频谱与信号的真实频谱存在误差，产生泄漏失真。目前减少频谱泄漏的方法主要有两大类： 第一类是通过减少同步误差来降低频谱泄漏； 第二类是在同步误差一定的情况下， 通过对采样数据的处理或对测量结果的修正来减少测量误差。本文所讨论的加窗函数法属于第二类方法，文章针对传统的仅用某一固定类型的窗进行频谱分析所带来的缺陷，提出了改进办法，取得了好的效果。4.3 加窗函数减少频谱泄露为了降低频谱泄露的影响， 可以在傅立叶变换时对时域信号乘以一个适当形状的窗函数，窗函数幅度逐渐减小，从而减少由于数据突然截断而产生的较高的旁瓣分量，降低频谱泄漏。但是，窗口函数会产生相应的副作用，它们是以牺牲信号的主瓣频率精度为代价，来换取频谱泄露的降低。窗口函数有很多，各有其不同的特点和作用，本文只研究加矩形窗、Bartlett 窗、Hanning窗、Blackman窗对信号频谱的影响。为便于与理想频谱相比较，下面以单频率谐波信号为例，分析其加窗后的离散傅立叶变换。图4。1为频率为10Hz 的谐波信号加不同类型窗后的频谱图，其中窗长度和取样频率都相同。从图中可看出，不同类型窗口函数对信号频谱的影响是不同的。矩形窗的泄漏程度最严重，其第一旁瓣幅值为-12dB，旁瓣衰减慢，衰减率(第10 个旁瓣与第1 个旁瓣峰值之比的分贝数)为-14。7dB，泄漏波及的频率范围广，对邻域产生严重污染，但矩形窗的主瓣最窄，主频精度高，容易定位主频；Bartlett 窗的泄漏大大降低， 其第一旁瓣幅度为-24dB，旁瓣衰减加速，衰减率为-31。2dB，但主瓣宽度是矩形窗的2 倍，主频精度降低了；Hanning 窗的泄漏较Bartlett 窗又有改善，其第一旁瓣幅度为-31dB， 旁瓣衰减率为-38。2dB， 主瓣宽度较Bartlett窗没有增加；Blackman 窗的泄漏继续改善，其第一旁瓣幅值为-56dB，旁瓣衰减率为-24。6dB，但其主瓣宽度是矩形窗的3倍，主频精度低。图4。1 频率为10Hz 的谐波加不同窗后的频谱图由以上分析可知，这四种窗的旁瓣幅值依次降低，向邻域的谱泄漏逐渐改善，但主瓣宽度逐渐增加，主频精度降低，主瓣精度和频谱泄漏是一对矛盾。因此要想得到全面准确的频谱，该如何选用窗口函数成为一个重要问题。4.4 窗口函数的选择我们通过一个例子说明不同窗口函数的作用， 进而探讨选用窗口函数时应遵循的准则。设待分析的信号为不同频率谐波组合而成，10Hz、15Hz、16Hz 谐波的幅值为1，11。5Hz 谐波的幅值为0。1，它的理想频谱图如图4。2所示。对该信号以250Hz 的取样频率取样512个点，加不同类型窗后的幅频图如图5 所示。这里需要说明两点：一是为了减少栅栏效应，图5 是对512 个数据点延长补零至1024 个点后的频谱图；二是为了使加窗后的幅值谱不受窗函数的影响，图5 是考虑幅值相等恢复系数后的幅频图。图4。2 一组谐波信号的理想频谱图从图5 可以看出，加矩形窗后的频谱波形细节丰富，能够分辨出15Hz 和16Hz 两个临近的频率成分，主频分辨率高，但频谱泄漏非常严重， 以致幅值为0。1 的11。5Hz 谐波淹没在了10Hz和15Hz 谐波的旁瓣纹波中，使小幅度的谐波信号不易被识别。加Bartlett 窗、Hanning 窗、Blackman 窗后，对于15Hz 和16Hz 临近频率成分的分辨能力下降，但旁瓣逐渐减小，能越来越清晰地识别出11。5Hz 这个小信号。图4。3 一组谐波信号加不同类型窗后的频谱图由此可知， 不同的窗口是以不同的远近距离来观察原信号的频谱结构， 每一个窗口只反映理想谱线在某一特定焦距镜头下的特征。矩形窗相当于近距离微观观察，能分辨频谱细节，但过多的细节却又干扰了对小幅度信号的识别；Blackman 窗相当于远距离宏观观察，舍弃了局部频谱细节，而从全局把握信号频谱的概貌。Bartlett 窗和Hanning 窗属于以上二者的过渡情景。因此，各种窗都有自己的优缺点和特定用途，究竟选用何种类型的窗，应根据频谱分析的不同目的而定。例如，若仅要求精确求出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，测量物体的自振频率就属于这种情况；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如Hanning 窗等。同时，为了更加全面、准确地分析信号谱结构，应该分别在不同窗口下观察，各种窗口得到的频谱互相结合，取长补短，相互参考和补充，从而对信号频谱作出科学全面的判断。4.5 分析小结加窗可以改善频谱泄漏， 但泄漏程度和主频精度是一对矛盾。频谱分析时应该摒弃只采用某一固定窗的做法，而须根据分析信号的性质与处理要求，选用合适的窗，达到实际测量目的。为了兼顾信号频谱的细节和全貌，对频谱有全面准确的把握，可分别采用多种窗，从宏观和微观两种角度认识信号，这样得到的频谱更加科学全面。一是用仿真实验直观地分析了频谱泄露现象，克服了纯理