概率统计试题及答案(本科完整版)

精品文档 1欢迎下载 填空题 每题填空题 每题 2 2 分 共分 共 2020 分 分 A1A1 记三事件为 记三事件为A A B B C C 则用则用A A B B C C及其运算关系可将事件 及其运算关系可将事件 A A B B C C中只有一个发中只有一个发 生生 表示为表示为 A3A3 已知 已知 P A 0 3P A 0 3 P P B B 0 50 5 当 当 A A B B 相互独立时 相互独立时 0 650 5P AB P B A A4A4 一袋中有 一袋中有 9 9 个红球个红球 1 1 个白球 现有个白球 现有 1010 名同学依次从袋中摸出一球 不放回 名同学依次从袋中摸出一球 不放回 则第 则第 6 6 位同学摸出白球的概率为位同学摸出白球的概率为 1 101 10 A5A5 若随机变量 若随机变量在区间在区间 上服从均匀分布 则对上服从均匀分布 则对以及任意的正数以及任意的正数 必 必X a bacb 0e 有概率有概率 P cxce e ceb ba bc ceb ba A6A6 设 设服从正态分布服从正态分布 则 则 N N 3 23 2 4 4 2 2 X 2 N 23XY A7A7 设 设 1 12836 3 XBEXDX n p n p 且且 则则 A8A8 袋中装有 袋中装有 5 5 只球 编号为只球 编号为 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 在袋中同时取出 在袋中同时取出 3 3 只 以只 以表示取出表示取出 3 3 只只X 球中的最大号码 则球中的最大号码 则的数学期望的数学期望 4 54 5 X XE A9A9 设随机变量 设随机变量的分布律为的分布律为 X Y X X Y Y 1 12 23 3 1 10 120 120 100 100 280 28 2 20 180 180 00 120 12 3 30 00 150 150 050 05 则条件概率则条件概率 2 52 5 2 3 YXP A10A10 设 设来自正态总体来自正态总体 当常数当常数 121 XX 1 0 N 2 12 9 2 8 5 2 4 1 i i i i i i XXXYk 1 41 4 时 时 服从服从分布 分布 kY 2 A A 二 计算题 每小题二 计算题 每小题 1010 分 共分 共 7070 分 分 A1A1 三台机器因故障要人看管的概率分别为 三台机器因故障要人看管的概率分别为 0 10 1 0 20 2 0 150 15 求 求 1 1 没有一台机器要看管的概率 没有一台机器要看管的概率 2 2 至少有一台机器不要看管的概率 至少有一台机器不要看管的概率 3 3 至多一台机器要看管的概率 至多一台机器要看管的概率 解 以解 以A Aj j表示表示 第第j j台机器需要人看管台机器需要人看管 j j 1 1 2 2 3 3 则 则 P P A A1 1 0 10 1 P P A A2 2 0 20 2 P P A A3 3 0 150 15 由各台机器间的相互独立性可得由各台机器间的相互独立性可得 123123 10 9 0 8 0 850 612P A A AP AP AP A ABCABCABC 精品文档 2欢迎下载 123123 211 0 1 0 2 0 150 997P AAAP A A A 123123123123 123123123123 3 0 1 0 8 0 850 9 0 2 0 850 9 0 8 0 150 9 0 8 0 85 0 0680 1530 1080 6120 941 P A A AA A AA A AA A A P A A AP A A AP A A AP A A A A2A2 甲袋中有 甲袋中有n n只白球 只白球 m m只红球 乙袋中有只红球 乙袋中有N N只白球 只白球 M M只红球 今从甲袋任取一球放只红球 今从甲袋任取一球放 入乙袋后 再从乙袋任取一球 问此球为白球的概率是多少 入乙袋后 再从乙袋任取一球 问此球为白球的概率是多少 解 以解 以W W甲 甲表示 表示 第一次从甲袋取出的为白球第一次从甲袋取出的为白球 R R甲 甲表示 表示 第一次从甲袋取出的为红球第一次从甲袋取出的为红球 W W乙 乙表示 表示 第二次从乙袋取出的为白球第二次从乙袋取出的为白球 则所求概率为则所求概率为 P WP W WR WP W WP R W 乙乙甲甲乙乙甲甲乙乙甲甲乙乙甲甲乙乙 P WP W WP RP WR 甲甲乙乙甲甲甲甲乙乙甲甲 1111 1 1111 11 nmNN n mNMn mNM CCCC CCCC 1 11 n NmNnm Nn nmNMnmNM A3A3 设随机变量 设随机变量X X的概率密度为的概率密度为 试求 试求 1 1 常数 常数A A cos 2 0 Axx f x 其它 2 2 分布函数分布函数 3 3 概率概率 F x 0 4 PX 解 解 1 1 由归一性可得 由归一性可得 从而 从而 2 2 12fx dxAcos xdxA 12 A 2 2 2 2 22 2 x xx x fx dx x F xfx dxfx dx x fx dx x 0 2 1 1 22 2 1 2 x sin x x x 4 0 12 30 4 24 P X cos xdx A4A4 1 1 已知 已知 X X 的分布律为的分布律为 X 1 1 0 0 1 1 2 2 3 3 精品文档 3欢迎下载 P 12 1 6 1 3 1 12 1 3 1 计算计算 5 5 分 分 21 2 XD 解 解 2 2242 1 244D X D XE XE X 115225235 4 4164 2 2 设 设 求 求的概率密度的概率密度 5 5 分 分 1 0 NX 2 XY 解 解 Y Y的密度函数为 的密度函数为 2 1 0 2 00 y e y f y y y A5A5 设 设的概率密度为的概率密度为 X Y 00 0 xy exy f x y 其它 1 1 试求分布函数试求分布函数 yxF 2 2 求概率求概率其中区域其中区域由由轴轴 轴以及直线轴以及直线所围成所围成 Px yG GXY1 yx 解解 00 00 1 0 xy xy xyedxdy x y F x yfx y dxdy 其其他他 1100 0 xy ee x y 其其他他 2 G P x y Gfx y dxdy 11 1 00 1 2 x xy edy dxe A6A6 设二维随机变量 设二维随机变量的概率密度为的概率密度为 求常数求常数及边缘及边缘 X Y 1 01 0 kxyx f x y 其它 k 概率密度概率密度 并讨论随机变量并讨论随机变量的相互独立性 的相互独立性 YX 解 由归一性知 解 由归一性知 01 11 y x f x y dxdykx dxdy 1 00 1 1 6 x kdxx dyk 6k X fxf x y dy 0 6101 0 x x dyx 他 他他他 6101 0 xxx 他 他他他 Y fyf x y dx 1 6101 0 y x dxy 他 他他他 2 3101 0 其他 yy 显然显然 故 故X X与与Y Y不相互独立 不相互独立 XY f x yfxfy 精品文档 4欢迎下载 A7A7 设总体 设总体的概率密度为的概率密度为 其中其中为未知参数为未知参数 若若X 1 0 1 0 xx f x 其它 0 是来自母体的简单子样 试求是来自母体的简单子样 试求的矩估计与极大似然估计的矩估计与极大似然估计 n XX 1 解 解 1 1 令令 1 1 0 1 XEXxxdx 解得解得的矩估计为的矩估计为 2 1 X X 2 2 似然函数 似然函数 11 2 11 n nn ii ii Lxx 对数似然函数对数似然函数 1 lnln1ln 2 n i i n Lx 令令 1 2 1 ln1 ln0 22 n i i Ln x 解得解得的极大似然估计为的极大似然估计为 2 2 1 ln n i i n x A A 三 证明题 每题三 证明题 每题 5 5 分 共分 共 1010 分 分 A A 1 1 为来自总体为来自总体X X的样本 证明当的样本 证明当时 时 为总体均值为总体均值的无的无 12 XX1ab 12 aXbX E X 偏估计 偏估计 证明 设总体均值证明 设总体均值 由于 由于为来自总体为来自总体X X的样本 的样本 E X 12 XX 因此因此 12 E XE X 而而 为总体均值为总体均值的无偏估计 故应该有的无偏估计 故应该有 12 aXbX E X 1212 E aXbXaE XbE Xab 从而从而 1ab A A 2 2 设 设是相互独立的随机变量 它们分别服从参数为是相互独立的随机变量 它们分别服从参数为的泊松分布 证明的泊松分布 证明 X Y 21 服从参数为服从参数为的泊松分布 的泊松分布 ZXY 21 证明 由题知证明 由题知 即 即 12 XPYP 12 12 mn P XmeP Yne mn 令令 且由 且由的相互独立性可得 的相互独立性可得 ZXY X Y P ZkP XYk 0 k m P Xi Yki 12 12 0 ik i k i ee iki 12 12 0 k ik i i eek kiki 12 12 0 1 k ek k 即即 服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布ZXY 21 精品文档 5欢迎下载 B B 一 填空 每小题一 填空 每小题 2 2 分 共分 共 1010 分 分 B1 若随机变量 的概率分布为 则 B2 设随机变量 且 则 B3 设随机变量 则 B4 设随机变量 则 B5 若随机变量的概率分布为 则 B B 二 单项选择二 单项选择 每题的四个选项中只有一个是正确答案 请将正确答案的番号填在括号内 每题的四个选项中只有一个是正确答案 请将正确答案的番号填在括号内 每小题每小题 2 2 分 共分 共 2020 分分 B1 设 与 分别是两个随机变量的分布函数 为使 是某一随机变量的分布函数 在下列给定的各组数值中应取 A B C D B2 设随机变量的概率密度为 则 A B C D B3 下列函数为随机变量分布密度的是 A B C D B4 下列函数为随机变量分布密度的是 A B C D B5 设随机变量的概率密度为 则的概率密度为 精品文档 6欢迎下载 A B C D B6 设服从二项分布 则 A B C D B7 设 则 A B C D B8 设随机变量的分布密度为 则 A 2 B 1 C 1 2 D 4 B9 对随机变量来说 如果 则可断定不服从 A 二项分布 B 指数分布 C 正态分布 D 泊松分布 B10 设为服从正态分布的随机变量 则 A 9 B 6 C 4 D 3 B B 三 计算与应用题 每小题三 计算与应用题 每小题 8 8 分 共分 共 6464 分 分 B1 盒内有 12 个乒乓球 其中 9 个是新球 3 个是旧球 采取不放回抽取 每次取一个 直到取到新球为止 求求抽取次数的概率分布 B2 车间中有 6 名工人在各自独立的工作 已知每个人在 1 小时内有 12 分钟需用小吊车 求求 1 在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少 2 若车间中仅有 2 台小吊车 则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少 B3 某种电子元件的寿命是随机变量 其概率密度为 求求 1 常数 2 若将 3 个这种元件串联在一条线路上 试计算该线路使用 150 小时后仍能正 常工作的概率 B4 某种电池的寿命 单位 小时 是一个随机变量 且 求求 1 这样的电池寿命在 250 小时以上的概率 2 使电池寿命在内的概率不小于 0 9 精品文档 7欢迎下载 B5 设随机变量 求求 概率密度 B6 若随机变量服从泊松分布 即 且知 求求 B7 设随机变量的概率密度为 求求 和 B8 一汽车沿一街道行使 需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口 每个信号灯为红 或绿与其他信号灯为红或绿相互独立 求红或绿两种信号灯显示的时间相等 以 表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数 求求 1 的概率分布 2 B B 四 证明题 共四 证明题 共 6 6 分 分 设随机变量服从参数为 2 的指数分布 证明 在区间上 服从均匀分布 试卷二试卷二 参考答案参考答案 一 填空一 填空 1 6 由概率分布的性质有 即 得 2 则 3 0 5 精品文档 8欢迎下载 4 5 0 25 由题设 可设 即 01 0 50 5 则 二 单项选择二 单项选择 1 由分布函数的性质 知 则 经验证只有满足 选 2 由概率密度的性质 有 3 由概率密度的性质 有 4 由密度函数的性质 有 5 是单减函数 其反函数为 求导数得 精品文档 9欢迎下载 由公式 的密度为 6 由已知服从二项分布 则 又由方差的性质知 7 于是 8 A 由正态分布密度的定义 有 9 D 如果时 只能选择泊松分布 10 D X为服从正态分布N 1 2 EX 1 E 2X 1 3 三 计算与应用题三 计算与应用题 1 解 设为抽取的次数 只有 个旧球 所以的可能取值为 由古典概型 有 则 1234 2 解 设 表示同一时刻需用小吊车的人数 则是一随机变量 由题意有 于是 1 的最可能值为 即概率达到最大的 精品文档 10欢迎下载 2 3 解 1 由 可得 2 串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作 而这里三个元件的 工作是相互独立的 因此 若用表示 线路正常工作 则 而 故 4 解 1 查正态分布表 2 由题意 即 查表得 5 解 对应的函数单调增加 其反函数为 求导数得 精品文档 11欢迎下载 又由题设知 故由公式知 6 解 则 而 由题设知 即 可得 故 查泊松分布表得 7 解 由数学期望的定义知 而 故 8 解 1 的可能取值为且由题意 可得 即 0123 2 由离散型随机变量函数的数学期望 有 精品文档 12欢迎下载 四 证明题四 证明题 证明 由已知 则 又由 得 连续 单调 存在反函数 且 当时 则 故 即 试卷三试卷三 C C 一 填空 请将正确答案直接填在横线上 每小题一 填空 请将正确答案直接填在横线上 每小题 2 2 分 共分 共 1010 分 分 C1 设二维随机变量的联合分布律为 则 C2 设随机变量和相互独立 其概率分布分别为 则 精品文档 13欢迎下载 C3 若随机变量与相互独立 且 则 服从 分布 C4 已知与相互独立同分布 且 则 C5 设随机变量的数学期望为 方差 则由切比雪夫不等式有 C C 二 单项选择二 单项选择 在每题的四个选项中只有一个是正确答案 请将正确答案的番号填在括号在每题的四个选项中只有一个是正确答案 请将正确答案的番号填在括号 内 每小题内 每小题 2 2 分 共分 共 2020 分分 C1 若二维随机变量的联合概率密度为 则系数 A B C D C2 设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和 则下列 结论正确的是 A B C D C3 设随机向量 X Y 的联合分布密度为 则 A X Y 服从指数分布 B X与Y不 独立 C X与Y相互独立 D cov X Y 0 C4 设随机变量相互独立且都服从区间 0 1 上的均匀分布 则下列随机变量中服 从均匀分布的有 A B C D C5 设随机变量与随机变量相互独立且同分布 且 则下列各式中成立的是 A B C D C6 设随机变量的期望与方差都存在 则下列各式中成立的是 A B 精品文档 14欢迎下载 C D C7 若随机变量是的线性函数 且随机变量存在数学期望与方 差 则与的相关系数 A B C D C8 设是二维随机变量 则随机变量与不相关的充要条件是 A B C D C9 设是个相互独立同分布的随机变量 则对于 有 A B C D C10 设 为独立同分布随机变量序列 且Xi i 1 2 服从参数为 的指数分布 正态分布N 0 1 的密度函数为 则 C C 三 计算与应用题 每小题三 计算与应用题 每小题 8 8 分 共分 共 6464 分 分 C1 将 2 个球随机地放入 3 个盒子 设表示第一个盒子内放入的球数 表示有球的 盒子个数 求二维随机变量的联合概率分布 C2 设二维随机变量的联合概率密度为 1 确定的值 2 求 C3 设的联合密度为 精品文档 15欢迎下载 1 求边缘密度和 2 判断与是否相互独立 C4 设的联合密度为 求的概率密度 C5 设 且与相互独立 求 1 的联合概率密度 2 3 C6 设的联合概率密度为 求及 C7 对敌人阵地进行 100 次炮击 每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是 4 标准差是 1 5 求 100 次炮击中有 380 至 420 课炮弹命中目标的概率 C8 抽样检查产品质量时 如果发现次品数多于 10 个 则认为这批产品不能接受 问应检查多少个产品才能使次品率为 10 的这批产品不被接受的概率达 0 9 C C