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2020 4 5 正交试验设计 本章主要内容 多因素试验问题 正交试验 正交表符号的意义 因素 水平 自由度 试验指标 交互作用 均衡分散性 整齐可比性 自由度选表原则 表头设计 正交表的特点 用正交表安排试验及结果分析 正交试验的步骤 问题的提出 多因素的试验问题 几个术语试验指标 作为试验研究过程的因变量 常为试验结果特征的量 因素 作为试验研究过程的自变量 常常是造成试验指标按照某种规律发生变化的那些原因 水平 试验中因素所处的具体状态或情况 又称为等级 问题的提出 多因素的试验问题 对于单因素或两因素试验 因其因素少 试验的设计 实施与分析都比较简单 但在实际工作中 常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素 若进行全面试验 则试验的规模将很大 往往因试验条件的限制而难于实施 正交试验设计就是安排多因素试验 寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法 例1 某化工厂为了提高产品的产率 根据具体情况和经验决定用正交表安排实验 所需控制的条件如下 因素A反应温度 A1 80 A2 85 A3 90 因素B反应时间 B1 90min B2 120min B3 150min因素C碱用量 C1 5 C2 6 C3 7 这里 对因素A B C在试验范围内分别选取三个水平A A1 80 A2 85 A3 90 B B1 90Min B2 120Min B3 150MinC C1 5 C2 6 C3 7 正交试验设计中 因素可以定量的 也可以使定性的 而定量因素各水平间的距离可以相等也可以不等 取三因素三水平 通常有两种试验方法 1 全面实验法 A1B1C1A2B1C1A3B1C1A1B1C2A2B1C2A3B1C2A1B1C3A2B1C3A3B1C3A1B2C1A2B2C1A3B2C1A1B2C2A2B2C2A3B2C2A1B2C3A2B2C3A3B2C3A1B3C1A2B3C1A3B3C1A1B3C2A2B3C2A3B3C2A1B3C3A2B3C3A3B3C3共有3 27次试验 如图所示 立方体包含了27个节点 分别表示27次试验 全面试验法的优缺点 优点 对各因素于试验指标之间的关系剖析得比较清楚缺点 1 试验次数太多 费时 费事 当因素水平比较多时 试验无法完成 2 不做重复试验无法估计误差 3 无法区分因素的主次 例如选六个因素 每个因素选五个水平时 全面试验的数目是56 15625次 简单比较法法 简单比较法的优缺点 优点 试验次数少缺点 1 试验点不具代表性 考察的因素水平仅局限于局部区域 不能全面地反映因素的全面情况 2 无法分清因素的主次 3 如果不进行重复试验 试验误差就估计不出来 因此无法确定最佳分析条件的精度 4 无法利用数理统计方法对试验结果进行分析 提出展望好条件 1 1正交试验设计的基本概念正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法 它是由试验因素的全部水平组合中 挑选部分有代表性的水平组合进行试验的 通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况 找出最优的水平组合 下一张 主页 退出 上一张 1正交试验设计的概念及原理 正交试验设计的基本特点是 用部分试验来代替全面试验 通过对部分试验结果的分析 了解全面试验的情况 正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的 它不可能像全面试验那样对各因素效应 交互作用一一分析 当交互作用存在时 有可能出现交互作用的混杂 虽然正交试验设计有上述不足 但它能通过部分试验找到最优水平组合 因而很受实际工作者青睐 下一张 主页 退出 上一张 正交试验法优点 1 试验点代表性强 试验次数少 2 不需做重复试验 就可以估计试验误差 3 可以分清因素的主次 4 可以使用数理统计的方法处理试验结果 提出展望好条件 用正交试验法安排试验只需要9次试验 1 A1B1C1 2 A1B2C2 3 A1B3C3 4 A2B1C2 5 A2B2C3 6 A2B3C1 7 A3B1C3 8 A3B2C1 9 A3B3C2 1 2正交试验设计的基本原理 9个试验点在选优区中分布是均衡的 在立方体的每个平面上 都恰是3个试验点 在立方体的每条线上也恰有一个试验点 正交表的正交性 以L9 34 为例 1 3正交表及其基本性质 等水平正交表符号的意义 L8 27 正交表的代号 正交表的横行数 需要进行的试验次数 字码数 因素的水平数 正交表的纵列数 最多允许安排因素的个数 混合水平正交表符号的意义 L8 41 24 常简写为L8 4 24 此混合水平正交表含有1个4水平列 4个2水平列 共有1 4 5列 等水平正交表各列水平数相同的正交表称为等水平正交表 如L4 23 L8 27 L12 211 等各列中的水平为2 称为2水平正交表 L9 34 L27 313 等各列水平为3 称为3水平正交表 混合水平正交表各列水平数不完全相同的正交表称为混合水平正交表 如L8 4 24 表中有一列的水平数为4 有4列水平数为2 也就是说该表可以安排一个4水平因素和4个2水平因素 再如L16 44 23 L16 4 212 等都混合水平正交表 下一张 主页 退出 上一张 1 4正交表的类别 2020 4 5 2020 4 5 2水平正交表 L4 23 L8 27 L12 211 L16 215 3水平正交表 L9 34 L27 313 L81 340 4水平正交表 L16 45 L64 421 正交试验设计 用正交表L9 34 9组 正交试验设计的优点 能在所有试验方案中均匀挑选出代表性强的少数试验方案 通过对这些少数试验方案的试验结果进行统计分析 可以推出较优的方案 所得优方案通常不包含在上述试验方案中 获得更多信息 如各试验因素对试验结果影响的重要程度 各因素对试验结果的影响趋势等 正交试验设计的基本步骤 试验设计数据处理明确试验目的 确定试验指标 挑选因素 确定水平 列出因素水平表 试验因素以3 7个为宜 确定因素的水平数时 重要因素可多取一些水平 各水平的数值应适当拉开 选正交表 进行表头设计 一般要求因素水平数与正交表对应的水平数一致 因素个数小于或等于正交表的列数 在满足上述条件的前提下 选择较小的表 明确试验方案 进行试验 得到结果 对实验结果进行统计分析 进行验证实验 做进一步分析 用正交表安排试验 一 指标 因素和水平试验需要考虑的结果称为试验指标 简称指标 可以直接用数量表示的叫定量指标 不能用数量表示的叫定性指标 定性指标可以按评定结果打分或者评出等级 可以用数量表示 称为定性指标的定量化试验中要考虑的对试验指标可能有影响的变量简称为因素 用大写字母A B C 表示每个因素可能出的状态称为因素的水平 简称水平 进行试验 记录试验结果 试验结果极差分析 计算K值 计算k值 计算极差R 绘制因素指标趋势图 优水平 因素主次顺序 优组合 结论 试验结果分析 试验结果方差分析 列方差分析表 进行F检验 计算各列偏差平方和 自由度 分析检验结果 写出结论 四 用正交表安排试验 以例1为例 1 明确试验目的 确定试验指标例1中 试验目的是搞清楚A B C对转化率的影响 试验指标为转化率 2 确定因素 水平表 3 选用合适正交表本试验可选取正交表L9 34 安排试验 因 素 水 平 A温度 B时间 Min C用碱量 x 123 808590 90120150 5 6 7 因 素 水 平 A B C 123 A1A2A3 B1B2B3 C1C2C3 4 确定试验方案 5 试验结果的计算与分析方法 直观分析法 极差分析法 方差分析法分析内容 分清各因素对指标影响的主次顺序 即明确哪个是主要因素 哪个是次要因素 找出优化的方案 即所考察的每个因素各取什么水平才能达到试验指标的要求 分析因素与指标的关系 找出指标随因素变化的规律和趋势 用于指出进一步试验研究的方向 2020 4 5 6 验证试验试验内容 将直接分析得出的最好条件与通过计算分析得到的最优条件同时验证 以确定其中的优劣 也可结合因素的主次和趋势图 对于重要因素 一定要按照有利于指标要求选取 对于次要因素 则可以考虑实际生产条件 对直接分析最要条件与计算分析得到的最优条件进行综合分析 确定验证试验方案 Kjm kjm 计算简便 直观 简单易懂 是正交试验结果分析最常用方法 试验结果的直观分析法 极差分析法 极差分析法 R法 1 计算 2 判断 Rj 因素主次 优水平 优组合 Kjm为第j列因素m水平所对应的试验指标和 kjm为Kjm平均值 由kjm大小可以判断第j列因素优水平和优组合 Rj为第j列因素的极差 反映了第j列因素水平波动时 试验指标的变动幅度 Rj越大 说明该因素对试验指标的影响越大 根据Rj大小 可以判断因素的主次顺序 正交试验设计的直观分析 单指标正交试验设计例2 某工厂为提高农产品综合利用价值 从废弃的洋葱皮中提取总黄酮 为获取较高的提取得率 欲通过正交试验确定各影响因素的主次顺序和最佳工艺条件 不考虑因素间的相互作用 正交试验方案设计 1 明确试验目的 确定试验指标 黄酮得率 2 挑选因素与水平 制定因素 水平表 在单因素实验基础上 以乙醇 水体系作提取溶剂 选取4个主要因素 2020 4 5 2020 4 5 洋葱皮中提取总黄酮试验因素水平表 3 选择正交表及表头设计选择L9 34 正交表 洋葱皮中提取总黄酮试验表头设计 2020 4 5 4 确定试验方案 2020 4 5 2 根据正交试验方案进行试验3 试验结果的计算与分析 计算方法如下 第1列 K1A 3 22 4 14 3 51 10 87 k1A K1A 3 3 62K2A 3 79 4 06 3 47 11 32 k2A K2A 3 3 77K3A 3 59 4 40 4 31 12 30 k3A K3A 3 4 10K1A K2A K3A分别表示因素A取1 2 3水平相应的试验结果之和 k1A k2A k3A分别表示因素A相应水平的平均得率 由此得出最佳水平组合R 极差 在任一列上R max K1 K2 K3 min K1 K2 K3 或R max k1 k2 k3 min k1 k2 k3 1 直接分析第8号试验组合条件A3B2C1D3的试验结果最好 2 计算分析 极差分析 确定因素的主次顺序 极差R的大小反映了试验中各因素作用的大小 极差大表明该因素对指标的影响大 为主要因素 极差小次要因素 根据正交设计的特性 对A1 A2 A3来说 三组试验的试验条件是完全一样的 综合可比性 可进行直接比较 如果因素A对试验指标无影响时 那么k1A k2A k3A应该相等 但由上面的计算可见 k1A k2A k3A实际上不相等 说明 A因素的水平变动对试验结果有影响 因此 根据k1A k2A k3A的大小可以判断A1 A2 A3对试验指标的影响大小 2020 4 5 选取原则 1 对主要因素 选使指标最好的那个水平于是本例中B选B2 A选A3 2 对次要因素 以节约方便原则选取水平本例中D可选D1或者D3于是用A3B2C2D3 A3B2C2D1各做一次验证试验 结果如下 最后确定最优生产条件为A3B2C2D1 即乙醇浓度80 浸提温度70 C 料液比1 20 浸提时间1 5h 4 验证试验 70605040 A1A2A3B1B2B3C1C2C3 趋势图 因素 指标 也可以选取图形中最高的水平点得到最优生产条件 同时可以估计 随着A的增加 指标还有向上的趋势 练习 HAP生产工艺正交试验最优条件设计羟基磷灰石 Hydroxyapatite HAP 化学式Ca10 PO4 6 OH 2 是一类生物陶瓷材料 利用正交试验设计法的原理 对湿法制备羟基磷灰石的几个重要因素 如反应物初始浓度 回流时间 NaOH浓度 陈化时间作为正交表的因子 并分别拟定了三个水平 建立正交试验表L9 34 进行实验研究 HAP生产工艺正交试验因子表和试验安排和试验结果如下 多指标正交试验设计 综合平衡法 例 在用乙醇溶液提取葛根中有效成分的试验中 为了提高葛根中有效成分的提取率 对提取工艺进行优化试验 需要考察三项指标 提取物得率 提取物质量与葛根质量之比 提取物中葛根总黄酮含量 总黄酮中葛根素含量 三个指标都是越大越好 根据前期探索性试验 决定选取3个相对重要的因素 乙醇浓度 液固比和提取剂回流次数进行正交试验 它们各有3个水平 具体数据如表所示 不考虑因素间的交互作用 试进行分析 找出较好的提取工艺条件 2020 4 5 2020 4 5 选用L9 34 正交表 2020 4 5 综合平衡法的分析过程 因素A 对于后两个指标都是取A3号 而且对于葛根总黄酮含量 A因素是最主要的因素 在确定优水平时应重点考虑 对于提取物得率则是A2好 但分析可知 取 2和 3时相差不大 且 为较次要的因素 因此 根据多数倾向和A因素对不同指标的重要程度 选取A3 因素B 对于提取物得率 取B2或B3基本相同 对于葛根总黄酮含量取B3好 对于葛根素含量取B2 且对于这三个指标而言 B因素都是处于末位的次要因素 对指标的影响较小 本着降低消耗的原则 选取B2 因素C 对于三个指标来说 都是以C3为最佳水平 所以去C3 最优方案为 A3B2C3 综合平衡法中 依据三原则 对于某个因素 可能对某个指标是主要因素 但对另外的指标则可能是次要因素 那么在确定该因素的优水平时 应首先选取作为主要因素时的优水平 若某因素对各指标的影响程度相差不大 可按 少数服从多数 的原则 选取出现次数较多的优水平 当因素各水平相差不大时 可依据降低消耗 提高效率的原则选取合适的水平 若各试验指标的重要程度不同 则在确定因素优水平时应首先满足相对重要的指标 2020 4 5 考虑交互作用的正交试验设计 交互作用的判别设有两个因素A和B 它们各取两个水平A1 A2和B1 B2 在4个因素下各做一次试验 结果如下表所示 A1 A2 A1 A2 B1 B2 B1 B2 2020 4 5 某一反应的因素 水平表如下 考察指标为某物质的产率 考虑A和B A和C的交互作用 交互作用的处理 交互作用当作因素看待 安排在正交表的相应列上 分析其对指标的影响 用于考察交互作用的列不影响试验方案及实施 但在分析结果时 将其看成是一个单独因素 计算它的极差 以反映交互作用的大小 4因素及交互作用A B A C 选择L8 27 正交表 表头设计 把需要试验的各因素的各水平安排入正交表内一定列 得到试验设计表的过程 1 考虑交互作用的因素A和B 将A放第1列 B放第2列 则由L8 27 的交互作用表查得A B在第3列 2 考虑要照顾到交互作用的因素C 将C放在第4列 此时A C由L8 27 的交互作用表查得占第5列 第6 7列为空 D可排其中任意一列 我们将其排在第6列 则 正交表交互作用表的使用 以L8 27 为例 如需要查第1列和第2列的交互作用列 则 从 1 横向右看 从 2 竖向上看 它们的交叉点为3 第3列就是1列与2列的交互作用列 如果第1列排A因素 第2列排B因素 第3列则需要反映它们的交互作用A B 就不能在第3列安排C因素或者其它因素 这称为不能混杂 一列安排多个因素或交互作用 表头设计 注 表头设计时 各因素及其交互作用不能任意安排 必须严格按交互作用列表进行安排 这是有交互作用正交试验设计的一个重要特点 也是关键的一步 在表头设计中 为了避免混杂 那些主要因素 重点要考察的因素 涉及交互作用较多的因素 应该优先安排 次要因素 不涉及交互作用的因素后安排 所谓混杂 就是指在正交表的同列中 安排了两个或两个以上的因素或交互作用 这样 就无法区分同一列中这些不同因素或交互作用对试验指标的影响效果 试验方案及计算结果表 例题的试验方案及试验结果如下 从极差可以看出 因素和交互作用主次为 由极差知 A C是次要因素 可不必考虑 A B C是重要因素 A是较重要因素 B D是次重要因素 它们对指标的影响较大 对其水平的选取按下列原则 1 不涉及交互作用的因素 或交互作用不考虑的因素 它的水平选平均值中指标较好的水平 2 有交互作用的因素 它的水平的选取无法单独考虑 需要画出二元表和二元图 进行比较后再选择对指标优先的水平 A与B间有交互作用 二元表和二元图如下 可以看出 A1B2 50 2小时 平均产率较高 与A2B1 70 1小时 产率差不多 从提高工效来看 A2B1比用A1B2好 因为时间可以减少一半 于是得到最好条件为 A2B1C2D2 两点启示 1 在安排表头时 应使要考虑的交互作用和因素不致发生混杂 2 对试验结果的数据进行计算后 在优选各个因素的水平时 有交互作用的因素 他们的水平不能单独考虑 必须用二元表和二元图进行综合考虑 极差分析法简单明了 通俗易懂 计算工作量少便于推广普及 但这种方法不能将试验中由于试验条件改变引起的数据波动同试验误差引起的数据波动区分开来 也就是说 不能区分因素各水平间对应的试验结果的差异究竟是由于因素水平不同引起的 还是由于试验误差引起的 无法估计试验误差的大小 此外 各因素对试验结果的影响大小无法给以精确的数量估计 不能提出一个标准来判断所考察因素作用是否显著 为了弥补极差分析的缺陷 可采用方差分析 下一张 主页 退出 上一张 正交试验结果的方差分析 正交试验结果的方差分析 方差分析基本思想是将数据的总差异分解成因素引起的差异和误差引起的差异两部分 构造F统计量 作F检验 即可判断因素作用是否显著 总离差平方和 各列因素离差平方和 误差离差平方和 1 离差平方和分解 2 自由度分解 3 均方差 方差分析的基本步骤 4 构造F统计量 5 列方差分析表 作F检验 若计算出的F值F0 Fa 认为该因素或交互作用对试验结果有显著影响 若F0 Fa 则认为该因素或交互作用对试验结果无显著影响 正交试验方差分析说明 由于进行F检验时 要用误差离差平方和SSe及其自由度dfe 因此 为进行方差分析 所选正交表应留出一定空列 当无空列时 应进行重复试验 以估计试验误差 误差自由度一般不应小于2 dfe很小 F检验灵敏度很低 有时即使因素对试验指标有影响 用F检验也判断不出来 为了增大dfe 提高F检验的灵敏度 在进行显著性检验之前 先将各因素和交互作用的均方与误差均方差比较 若MS因 MS交 MSe 可将这些因素或交互作用的离差平方和 自由度并入误差的离差平方和