高中数学等比数列教案

1 天津职业技术师范大学 人教人教 A A 版数学必修版数学必修 5 5 第第 48 5248 52 页页 2 42 4 等比数列等比数列 理学院 数学 0801 刘瑞平 2 等比数列教案等比数列教案 一 课题 等比数列 二 课型 新授课 三 教材分析 等比数列的学习在本章中占很大的比重 在日常生活中 人们经常遇到的 像存款利息等问题 都需要用有关等比数列的知识来解决 本节内容可以类比 等差数列进行教学 四 学情分析 学生已经已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力 在学完等 差数列的基础上 也已经具有了必要的与数列相关的知识 因此 可以通过生 活中的例子引入等比数列的概念 然后 再类比等差通项的迭加思想引导学生 用迭乘的思想推导等比数列的通项公式 这样 学生既学习了知识又培养了能 力 五 教学目标 1 知识目标 使学生理解等比数列的概念 学会利用等比数列的定义判断一 个数列是否为等比数列 利用通向公式求项 2 能力目标 让学生感知数学与生活的普遍联系 培养学生类比的思想方法 掌握迭乘的思想 调动学生积极观察思考 3 情感目标 使学生体验数学活动充满着探索 感受数学思维的严谨性 提 高学生数学思维的情趣 4 教学重点与教学难点 教学重点 等比数列的概念 教学难点 等比数列通项的推导 有关等比数列的证明 六 教学方法 讲授法 讨论法 七 教学过程 设问激疑 引出课题 巩固定义 严谨思维 类比等差 推导通项 证明等比 揭示内涵 设问思考 积极探索 反思小结 培养能力 1 导入 设问激疑 3 师 上课之前 先问大家一个问题 一张报纸 厚度大约为 0 1mm 将它 对折 50 次会有多厚 如果拿它做云梯能到哪 师生互动 一起来分析这道题目 报纸厚度为 初始 0 1mm 折叠 1 次 0 1 2 0 1 2 1 折叠 2 次 0 1 2 2 0 1 2 2 折叠 3 次 0 1 2 2 2 0 1 2 3 折叠 4 次 0 1 2 2 2 2 0 1 2 4 可以猜想得出 折叠 50 次之后 报纸厚度为 0 1 2 lg2 5050 15 05 也就是说 2是一个 15 位整数 20 1mm km 这个 5050 10001000 1 0250 数字我们不知道他确切的值是多少 但可以知道它是一个八位数 而地球到月 球的距离仅有 385400km 六位数 让学生感受事实与想象之间的差距 2 新课引入 回过头来 再次分析报纸的折叠问题 将报纸每次折叠后的厚度 看成是 一个数列 初始 0 1mm 折叠 1 次 0 1 2 0 1 2 1 折叠 2 次 0 1 2 2 0 1 2 2 折叠 3 次 0 1 2 2 2 0 1 2 3 折叠 4 次 0 1 2 2 2 2 0 1 2 4 按等差数列来看 它是等差数列吗 显然不是等差数列 同学们观察一下 这个数列的前项与后项有什么关系 4 我们会发现一些特点 从第二项开始 每一项与前一项的比都等于 2 以后 我们就把具有这种特点或特征的数列称为等比数列 今天我们就一 起来认识这种新的数列 等比数列 板书课题 ppt 定义 一般地 如果一个数列从第二项起 每一项与它前一项的比等于同 一常数 那么这个数列叫等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比常用 字母 q 来表示 q 0 师 等比数列的定义还可以用怎样的式子刻画呢 生 常数 n 1 2 3 q a a n n 1 师 以上我们学习了等比数列的定义 接下来我们就利用定义一起来判断以下 一个数列是否为等比数列 例 1 判断以下数列是否为等比数列 1 16 1 8 1 4 1 2 1 1 2 1 2 4 8 16 20 3 aaaaa 生 1 是等比数列 因为 n 1 2 3 2 1 1 n n a a 2 不是等比数列 因为不等于同一个常数 4 5 2 5 6 1 2 a a a a 3 是等比数列 因为1 1 a a a a n n 师 有不同意见吗 生 当时不是 时是等比数列 当00 aa 师 由此可以联想到等比数列的项和公比有何限制 生 0 0 qan 2 设首项为 公比为 它的通项怎么写 1 aq 下面 我们类比等差数列 一起来推导等比数列的通项 5 在等差数列中 n a dnaa daadaadaadaa n nn 1 1 1342312 迭加得到等差通项为 类比推导 我们用迭乘的方法证明了猜想的正确性 迭乘的方法在这里体现了极大的优 越性 当然迭乘不是求数列通项公式的唯一方法 等我们学完数学归纳法之后 我们还可以给出另一种关于数列通项的推导 我们把这个结果称为等比数列的 通项公式 Nnqan 0 0 与刚学过的知识进行类比 例 2 已知某些项 求 a 和 q 已知一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是 12 和 18 求它的第 1 项和第二项 解 设这个等比数列的第 1 项是 公比是 那么 1 aq 12 2 1 qa 18 3 1 qa 得 2 3 q 3 16 1 a 1 1 1 3 4 2 3 1 2 n n n n qaa q a a q a a q a a q a a 6 因此 qaa 12 8 2 3 3 16 答 这个数列的第 1 项和第 2 项分别是与 8 3 16 例 3 已知数列和是项数相同的等比数列 求证数列也是等比 n a n b nn ba 数列 板书证明 证明 设数列的公比为 p 的公比为 q 那么数列的第 n 项和 n a n b n a nn ba 第 n 1 项分别为 与 即与 nn nnnn pqbapqbaqbpaqbpa 11 1 1111 1 1 1 1 它是一个与 n 无关的常数 所以数列是 1 11 1111 pq pqba pqba ba ba n n nn nn 因为 nn ba 一个以为公比的等比数列 pq 师生一起总结证明思路 例 4 已知项 求项 已知 是一个等比数列 在下表中填入适当的数 n a 1 a 3 a 5 a 7 a q 2 8 3 2 2 3 学生完成教师预先发下的表格 思考 课后探索题 已知 是一个无穷等比数列 公比为 思考 n aq 1 取出数列中的奇数项 组成一个新的数列 这个新数列是等比数列吗 n a 如果是 请给出证明 并求出它的首项和公比 2 在数列中 每隔 10 项取出一项 组成一个新的数列 这个新数列有什 n a 么特点呢 证明你的猜想 7 八 本课小结 这节课 我们一起认识学习了一种新的数列 等比数列 通过学习 我 们知道 这种数列的特点是 从第二项开始 每一项与前一项的比都是同一个 定值 称之为 q 通过与等差数列的类比学习 可以知道等比数列的通项是 1 1 n n qaa 九 板书设计 等比数列 等差 dna 1 1 等比 1 1 n n qaa 通项推导 迭 乘 思 想 类比等差数列的迭加思想 体会迭乘的思想 十 印发表格 课前发给学生 完成下列表格 1 1 1 3 4 2 3 1 2 n n n n qaa q a a q a a q a a q a a 证明 设数列的公比为 p 的公比为 n a n b q 那么数列的第 n 项和第 n 1 n a nn ba 项分别为 与即 与 nn nn nn pqbapqba qbpa qbpa 11 1 11 11 1 1 1 1 它是一个 1 11 1111 pq pqba pqba ba ba n n nn nn 因为 与 n 无关的常数 所以数列是一个 nn ba 以为公比的等比数列 pq 8 已知 是一个等比数列 在下表中填入适当的数 n a 1