福建省师范大学附属中学2020届高三数学上学期期中试题 理

1 福建省师范大学附属中学福建省师范大学附属中学 20202020 届高三数学上学期期中试题届高三数学上学期期中试题 理理 试卷说明 1 本卷共三大题 22 小题 解答写在答卷的指定位置上 考试结束后 只交答卷 2 考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备 第第 卷 选择题 共卷 选择题 共 6060 分 分 一 选择题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目 要求的 1 已知集合 集合 则 110 axx lg1 bxx ab 2 若非零向量 满足 向量与垂直 则与的夹角为 a b ab 2ab b a b 3 已知 则的大小关系为 0 2 1 2 5 1 2 2log 2 2 abc a b c 4 周髀算经 中有这样一个问题 从冬至日起 依次小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列 冬至 立春 春分日影长之和为 31 5 前九个节气日影长之和为 85 5 尺 则芒种日影长为 5 设是首项为正数的等比数列 公比为 则 是 对任意的正整数 n aq0 qn a 110 xx b 110 xx c 010 xx d 010 xx a 150 b 120 c 60 d 30 a bac b cab c cba d bca a 1 5 尺b 2 5 尺 c 3 5 尺d 4 5 尺 2 的0 212 nn aa 6 若 则 1 sin 42 a cos2 2 a 7 7 己知某函数图象如图所示 则此函数的解析式可能是 a 1 sin 1 x x e f xx e b 1 sin 1 x x e f xx e c 1 cos 1 x x e f xx e d 1 cos 1 x x e f xx e 8 17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过 几何学里有两件宝 一个是勾股定 理 另一个是黄金分割 如果把勾股定理比作黄金矿的话 那么可以把黄金分割比作钻石矿 黄金三角形有两种 其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形 它是一个顶角为的等腰三角形 另一种是顶角为的等腰三角形 例如 五角星由 36 108 五个黄金三角形与一个正五边形组成 如图所示 在其中一个黄金中 根 abc 51 2 bc ac 据这些信息 可得sin234 a 1 2 5 4 b 35 8 c 51 4 d 45 8 9 若x y满足约束条件 目标函数仅在点 2 0 处取得最小 220 330 240 xy xy xy zaxy 值 则实数a的取值范围是 a 充要条件 b 充分而不必要条 件 c 必要而不充分条 件 d 既不充分也不必要条件 a 3 4 b 2 3 c 1 2 d 1 3 3 10 已知平面向量满足 若 则的最大 pa pb 1 1 2 papbpa pb 1bc ac 值为 11 已知函数 若函数在区间 2 31 cossin 0 r 222 x f xxx f x 内没有零点 则的取值范围是 2 12 设函数 有且仅有两个极值点 则实数的取值范 2 e x f xax ar 12 xx 12 xx a 围是 卷 非选择题 共卷 非选择题 共 9090 分 分 二 填空题 每小题 5 分 共 20 分 13 边界在直线及曲线上的封闭的图形的面积为 xe yx 1 y x 14 16 至 17 世纪之交 随着天文 航海 工程 贸易以及军事的发展 改进数字计算方法 成了当务之急 约翰 纳皮尔正是在研究天文学的过程中 为了简化其中的计算而发明了对 数 后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系 即 现在已知 b an logabn2 3 a a 1 2 2 b 11 00 32 c 1 0 2 d 1 1 3 2 a 21 b 31 c 21 d 31 a 5 0 12 b 55 11 0 126 12 c 5 0 6 d 55 11 0 126 12 a e e 2 b e 2 c e d e e 2 4 则 3 4 b ab 15 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象 被喻为 地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产 我国拥有世界上最深的海洋蓝洞 现要测量如图所示的蓝洞的口 径 两点间的距离 在珊瑚群岛上取两点 abcd 测得 80cd 135adb 15bdcdca 则 两点的距离为 120acb ab 16 已知数列的前项和为 且满足 若对 n an n s nn 2 1 2 nn ssnn 恒成立 则首项的取值范围是 1 nn nnaa 1 a 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 12 分 已知的内角a b c的对边分别为a b c 满足 abc 6 6 acb sin6sinbc 1 求的值 cos a 2 求的值 sin 2 6 a 18 12 分 已知数列的前项和为 n an n s 221 nn sna 1 求数列的通项公式 n a 5 2 设 数列的前项和为 证明 2 1 4 n n bnn a n bn n t1 n t 19 12 分 如图 在 中 角 的对边分别为 abc a b c a b c coscab sinc 1 求角 的大小 b 2 若为外一点 求四边形面积的最大值 2 ad abc 2 1dbdc abdc 20 12 分 已知数列满足 n a 12 121 222 nn nn aaaan nn 1 求数列的通项公式 n a 2 若数列满足 求数列的通项公式 n b 1 1b 1 2n nnn bba n b 21 12 分 已知函数 2 1 1 ln 2 f xxaxax ar 1 讨论的单调性 f x 2 当时 记的最小值为 证明 0a f xm 13 15 m 6 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第 一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系中 直线 的参数方程为 t 为参数 以坐xoyl 1cos 2sin xt yt 0 标原点为极点 以x轴的非负半轴为极轴 建立极坐标系 曲线 c 的极坐标方程为 已知直线 与曲线c交于不同的两点a b 2 6 cos8 sin210 l 1 求直线 的普通方程和曲线c的直角坐标方程 l 2 设p 1 2 求的取值范围 22 papb 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知函数 13f xxx 1 解不等式 1f xx 2 设函数的最小值为 实数满足 求证 f x cab0a 0b abc 22 1 11 ab ab 7 评分标准 一 选择题 一 选择题 题号 123456789101112 答案 cbcbccacaddb 二 填空题 二 填空题 13 14 15 16 2 3 2 e 2580 1 3 4 4 三 解答题三 解答题 17 解 1 sinbsinc 6 由正弦定理得 bc 2 分 6 a cb a 2c 4 分 6 6 由余弦定理知 cosa 6 分 222222 2 bca6cc4c36 2bc42 6c2 6 2 由 1 知 cosa a 为三角形内角 sina 7 分 6 4 2 10 1 cos a 4 sin2a 8 分 15 4 cos2a 9 分 2 cos a 2 1 sin a 4 sin2acos cos2a sin 12 分 sin 2a 6 6 3 51 68 18 解 因为 221 nn sna 所以当时 得 1 分1 n 11 231sa 1 1 a 当时 2 n 11 211 nn sna 得 3 分 1 1 2 2 nnn anana 即 n n a a n n 1 1 8 5 分 132 1 1221 131 1 122 nn n nn aaaannn aa aaaann 符合上式 故 6 分 1 1 a 1 2 n n a 2 9 分 22 11111 411 1 n n b an nnn n 12 分 11111111 111 2233411 n t nnn 19 解 1 在 中 abc coscab sinc 1 分 sincossinab sincc cossin bcsinb sincc cos 0bsincsinbsinc sinc 即 4 分 cosbsinb tan1b 0 b 6 分 4 b 2 在 中 bcd 2 1 bddc 222 122 1 2 cos54cosbcdd 又 2 a 则为等腰直角三角形 8 abc 2 1115 cos 2244 abc sbcbcbcd 分 又 9 分 1 2 bdc sbddcsindsind 11 分 55 cos2 444 abdc sdsindsin d 当 时 四边形 的面积最大值 最大值为 12 分 3 4 d abcd 5 2 4 9 20 解 1 时 1 分 1n 1 1a 12 121 222 nn nn aaaan 23 121 221 nn n aaan 2n 2 4 分 2 n an 2n 满足上式 故 5 分 1 1a 2 n an 2 有累加整理 1 22n nn bbn 1 21 2 32 1 1 1 2 0 2 322 n nn bb bb bbnn 7 分 121 1 1 20 2322 n n bnn 23 22 1 20 2322 n n bnn 得 2 21 2 1 2 1 2324252 1 2 n nn n bnnn 满足上式 故 12 分 1 1b 425 n n bn 21 1 因为的定义域为 f x 0 又 1 分 1 1 xxaa fxxa xx 所以当时 在单调递增 0a 0fx f x 0 当时 若时 在单调递减 0a 0 xa 0fx f x 0 a 若时 在单调递增 xa 0fx f x a 综上 当时 在单调递增 0a f x 0 当时 在上单调递减 在单调递增 4 0a f x 0 a a 分 2 当时 由 1 知 0a 10 5 分 2 min 1 ln 2 f xfaaaaa 令 则 2 1 ln 2 g xxxxx 0 x lngxxx 令 则 lnh xxx 0 x 11 10 x h x xx 所以在单调递减 h x 0 又 所以存在 111 0 2 h ee 11 1 0h ee 0 11 x ee 使得 且 0 0h x 00 ln0 xx 所以当时 单调递增 0 xx 0gx g x 当时 单调递减 0 0 xx 0gx g x 所以当时 取得最大值 0 xx g x 因为 2222 0000000000 111 ln 222 g xxxxxxxxxx 2 0 11 1 22 x 令 211 1 22 k xx 11 x ee 则在单调递减 k x 11 ee 所以 所以 2 111111213 225315 k x eeee 0 13 15 g x 因此当时 即 12 分 0a min 13 15 f x 13 15 m 22 解 1 因为 所以 两式相减可 1cos 2sin xt yt sinsincossin cos2cossincos xt yt 得 11 直线 的普通方程为 2 分 l sincossin2cos0 xy 因为 cosx siny 222 xy 所以曲线的直角坐标方程 4 分 c 22 68210 xyxy 2 将直线 的参数方程代入曲线的直角坐标方程 lc 整理得关于 的方程 t 2 4 sincos 40tt 因为直线 与曲线有两个不同的交点 所以上述方程有两个不同的解 设为 lc12 t t 则 5 分 12 tt 4 sincos 1 2 4t t 并且 2 16 sincos 1632sincos0 注意到 解得 6 分 0 0 2 因为直线 的参数方程为标准形式 所以根据参数 的几何意义 lt 有 22 papb 22 12 tt 2 121 2 2ttt t 2 16 sincos 8 8 分 16sin28 因