数学建模钢管下料问题

1 重重 庆庆 交交 通通 大大 学学 学学 生生 实实 验验 报报 告告 实验课程名称实验课程名称 数学建模数学建模 开课实验室开课实验室 数学实验室数学实验室 学学 院院 信息信息 院院 11 级级 软件软件 专业班专业班 1 班班 学学 生生 姓姓 名名 学学 号号 开开 课课 时时 间间 2013 至至 2014 学年第学年第 1 学期学期 2 综合评分依据综合评分依据优优良良中中差差 实验到课情况实验到课情况 论文表述的清晰度和结构的完整性论文表述的清晰度和结构的完整性 所构建数学模型及其求解方法的正确性所构建数学模型及其求解方法的正确性 数学建模的创新性数学建模的创新性 实验成绩实验成绩 实验指导教师实验指导教师官礼和官礼和 3 实验一 钢管下料问题 摘要摘要 生产中常会遇到通过切割 剪裁 冲压等手段 将原材料加工成规定大小的 某种 称为原料下料问题 按照进一步的工艺要求 确定下料方案 使用料最省 或 利润最大是典型的优化问题 下面我们采用数学规划模型建立线性规划模型并借 助 LINGO 9 0 来解决这类问题 关键词关键词 线性规划 最优解 钢管下料 一 问题重述一 问题重述 1 问题的提出 某钢管零售商从钢管厂进货 将钢管按照顾客的要求切割出售 从钢管厂 进货得到的原材料的钢管的长度都是 1850mm 现在一顾客需要 15 根 290 mm 28 根 315 mm 21 根 350 mm 和 30 根 455 mm 的钢管 为了简化生产过程 规定所使用的切割模式的种类不能超过 4 种 使用频率最高的一种切割模式按 照一根原料钢管价值的 1 10 增加费用 使用频率次之的切割模式按照一根原料 钢管价值的 2 10 增加费用 以此类推 且每种切割模式下的切割次数不能太多 一根原钢管最多生产 5 根产品 此外为了减少余料浪费 每种切割模式下的 余料浪费不能超过 100 mm 为了使总费用最小 应该如何下料 2 问题的分析 首先确定合理的切割模式 其次对于不同的分别进行计算得到加工费用 通过不同的切割模式进行比较 按照一定的排列组合 得最优的切割模式组 进而使工加工的总费用最少 二 基本假设与符号说明二 基本假设与符号说明 1 基本假设 假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化 不考虑偶然因素导致的整个切割过 程无法进行 2 定义符号说明 1 设每根钢管的价格为 a 为简化问题先不进行对 a 的计算 2 四种不同的切割模式 1 x 2 x 3 x 4 x 3 其对应的钢管数量分别为 非负整数 i r1 i r2 i r3 i r4 4 三 模型的建立三 模型的建立 由于不同的模式不能超过四种 可以用表示 按照第种模式 i xi 1 2 3 4 切割的原料钢管的根数 显然它们应当是非负整数 设所使用的i 第 i 种切割模式下每根原料钢管生产 290mm 315mm 350mm 和 455mm 的钢管数 量分别为 非负整数 i r1 i r2 i r3 i r4 决策目标 切割钢管总费用最小 目标为 Min 1 1 1 2 1 3 1 4 a 1 1 x 2 x 3 x 4 x 为简化问题先不带入 a 约束条件 为满足客户需求应有 15 2 11 r 1 x 12 r 2 x 13 r 3 x 14 r 4 x 28 3 21 r 1 x 22 r 2 x 23 r 3 x 24 r 4 x 21 4 31 r 1 x 32 r 2 x 33 r 3 x 34 r 4 x 15 5 41 r 1 x 42 r 2 x 43 r 3 x 44 r 4 x 每一种切割模式必须可行 合理 所以每根钢管的成品量不能大于 1850mm 也不 能小于 1750mm 于是 1750 290 315 350 455 1850 11 r 21 r 31 r 41 r 6 1750 290 315 350 455 1850 12 r 22 r 32 r 42 r 7 1750 290 315 350 455 1850 13 r 23 r 33 r 43 r 8 1750 290 315 350 455 1850 14 r 24 r 34 r 44 r 9 由于排列顺序无关紧要因此有 10 1 x 2 x 3 x 4 x 又由于总根数不能少于 15290 28315 21350 30455 1850 18 47 11 也不能大于 15290 28315 21350 30455 1750 19 525 12 由于一根原钢管最多生产 5 根产品 所以有 5 13 i r1 i r2 i r3 i r4 四 模型的求解四 模型的求解 5 将 1 13 构建的模型输入 Lingo11 0 经计算绘制成表格如下 切割模式 290mm315mm350mm455mm余料 mm 1 x022165 2 x300270 3 x013130 4 x000430 即取切割模式 14 根及切割模式 5 根 即可得到最优解 1 x 2 x Min 1411 10 512 10 a 21 4a 五 结果分析 模型的评价与改进五 结果分析 模型的评价与改进 下料问题的建模主要有两部分组成 一是确定下料模式 二是构造优化模型 对 于下料规格不太多时 可以采用枚举出下料模式 对规格太多的 则适用于本 模型 而从本模型中可以看出尽管切割模式 x3 x4 的余料最少 但是其成本比 较高因而舍弃 六 参考文献六 参考文献 1 姜启源 谢金星 叶俊 数学模型 第三版 清华大学出版社 第 121 页 七 附录七 附录 模型求解的算法程序 model min x1 1 1 x2 1 2 x3 1 3 x4 1 4 r11 x1 r12 x2 r13 x3 r14 x4 15 r21 x1 r22 x2 r23 x3 r24 x4 28 r31 x1 r32 x2 r33 x3 r34 x4 21 r41 x1 r42 x2 r43 x3 r44 x4 15 290 r11 315 r21 350 r31 455 r41 1850 290 r12 315 r22 350 r32 455 r42 1850 290 r13 315 r23 350 r33 455 r43 1850 290 r14 315 r24 350 r34 455 r44 1750 290 r12 315 r22 350 r32 455 r42 1750 290 r13 315 r23 350 r33 455 r43 1750 290 r14 315 r24 350 r34 455 r44 1750 x1 x2 x3 x4 19 x1 x2 x3 x4 x2 x2 x3 x3 x4 r11 r21 r31 r41 5 r12 r22 r32 r42 5 r13 r23 r33 r43 5 r14 r24 r34 r44 5 gin x1 gin x2 gin x2 gin x4 gin r11 gin r12 gin r13 gin r14 gin r21 gin r22 gin r23 gin r24 gin r31 gin r32 gin r33 gin r34 gin r41 gin r42 gin r43 gin r44 end 经运行得到输出如下 经运行得到输出如下 Global optimal solution found Objective value 21 40000 Objective bound 21 40000 Infeasibilities 0 000000 Extended solver steps 1 Total solver iterations 34507 Variable Value Reduced Cost X1 14 00000 0 1000000 X2 5 000000 0 000000 X3 0 000000 0 1000000 X4 0 000000 0 2000000 7 R11 0 000000 0 000000 R12 3 000000 0 000000 R13 0 000000 0 000000 R14 0 000000 0 000000 R21 2 000000 0 000000 R22 0 000000 0 000000 R23 1 000000 0 000000 R24 0 000000 0 000000 R31 2 000000 0 000000 R32 0 000000 0 000000 R33 3 000000 0 000000 R34 0 000000 0 000000 R41 1 000000 0 000000 R