平面几何基础知识

平面几何基础知识 基本定理 基本性质 平面几何基础知识 基本定理 基本性质 余弦定理 正弦定理 三角定理 外接圆线的交点外心 三角形的三条中 内接圆线的交点内心 三角形的角平分 线的交点垂心 三角形的三条高 线的交点重心 三角形的三条中 四心 角平分线定理 垂线定理 中线定理 三线定理 三角形 1 中线定理 设 ABC 的边 BC 的中点为 P 则有 中线长 BPAPACAB 2222 2 2 22 222 acb 2 垂线定理 AB CD BDBCADAC 2222 高线长 CbBcA a bc sinsinsin 3 角平分线定理 三角形的一个角的平分线对边所成的两条线段与 这个角的两边对应成比例 4 重心性质 设 G 为 ABC 的重心 1 连结 AG 并延长交 BC 于 D 则 AG GB 2 1 2 ABCACG SSSS BCG 3 1 ABG 3 GCABGBCAGBBC333 222222 CABCABGCGBGA 222222 3 1 P 为 ABC 内任意一点 PGGCGBGAPCPBPA3 2222222 4 三角形内到三顶点距离的平方和最小的点是重心 即 最小 GCGBGA 222 5 三角形内到三边距离之积最大的点是重心 5 垂心性质 1 三角形任一顶点的距离等于外心到对边距离的两倍 2 垂心关于 ABC 的三边的对称点均在 ABC 的外接圆上 3 ABC 的垂心为 H 则 ABC ABH BCH ACH 的外接圆 是等圆 6 内心的性质 设 I 为 ABC 的内心 则 1 I 到 ABC 三边的距离相等 2 BIC 90 A AIC 90 B AIB 90 C 2 1 2 1 2 1 3 A 平分线交 BC 于 D 交 ABC 外接圆于点 K 则 a cb KD IK KI AK ID AI 7 外心性质 1 外心到三角形各顶点距离相等 2 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外切圆半 径之和 8 梅涅劳斯定理 定理定理 一条直线与 ABC 的三边 AB BC CA 所在直线分别交于点 D E F 且 D E F 均不是 ABC 的顶点 则有 1 ADBECF DBECFA 梅涅劳斯定理的逆定理 定理定理 在 ABC 的边 AB BC 上各有一点 D E 在边 AC 的延长 线上有一点 F 若 1 AD BE CF DB EC FA 那么 D E F 三点共线 9 塞瓦定理 定理定理 在 ABC 内一点 P 该点与 ABC 的三个顶点相连所在的 三条直线分别交 ABC 三边 AB BC CA 于点 D E F 且 D E F 三点均不是 ABC 的顶 点 则有 1 AD BE CF DB ECFA 塞瓦定理的逆定理 A B C D E F P 定理定理 在 ABC 三边 AB BC CA 上各 有一点 D E F 且 D E F 均不是 ABC 的顶点 若 那么直线 1 AD BE CF DB ECFA CD AE BF 三线共点 10 托勒密定理 定理定理 凸四边形 ABCD 是某圆的内接四边形 则有 AB CD BC AD AC BD 托勒密定理的逆定理 定理定理 如果凸四边形 ABCD 满足 AB CD BC AD AC BD 那么 A B C D 四点共圆 托勒密定理的推广 定理定理 如果凸四边形 ABCD 的四个顶点不在同一个圆上 那么就 有 AB CD BC AD AC BD 11 西姆松定理 定理定理 从ABC 外接圆上任意一点 P 向 BC CA AB 或其延长线 引垂线 垂足分别为 D E F 则 D E F 三点共线 12 欧拉定理 A B C D E F P D A B C D E M 定理定理 设 ABC 的重心 外心 垂心分别用字母 G O H 表 示 则有 G O H 三点共线 欧拉线 且满足 3OHOG 13 蝴蝶定理 定理定理 如图 过圆中弦 AB 的中点 M 任引两弦 CD 和 EF 连接 CF 和 ED 分别