反比例函数的图象为什么是双曲线

精品文档 1欢迎下载 反比反比例函数的图象为什么是双曲线 浙江龙泉一中 李好孺 前段日子 我化了一个月的时间 读完了刘鸿坤编著的 解析几何基础 一书 颇多感慨 其中之一就是反比例函数的图象为什么是双曲线 这一个问 题 是我从教三十年以来 第一次生出这样的疑问 并通过阅读全书得到析疑 以往 在初中反比例函数的教学当中 总是提 反比例函数 y k 0 的图 x k 象叫做双曲线 注意这里的 叫做 二字 至于 为什么是双曲线 直到今 日才得以知晓 内心的深处实在是先惭愧于读书既少又迟 后惭愧于笔头既懒 又疏 1 回顾 先回顾初中数学的反比例函数的教学过程 1 反比例函数的定义 函数 y k 是不等于零的常数 叫做反比例函数 k 叫做反比例系数 x k 这里 x 是自变量 例如函数 t h y y 它们都是反比例 v 200 r 50 x2 3 x 2 函数 比例系数分别为 200 50 2 3 2 2 反比例函数的图象 以函数 y 为例 画出它的图象 总结出它的画法 x 6 选取自变量 x 的一些值 算出 y 的对应值 列表如下 x 6 5 4 3 2 1123456 y 1 1 2 1 5 2 3 66321 51 21 以表中各组对应值为点 的坐标 先描出在第一象限内 的点 并按照自变量由小到大 的顺序用光滑曲线把它们连结 起来 得到图象的一个分支 用与 相同的方法 在 第三象限画出图象的另一个分支 这两个分支合起来 就是 反比例函数 y 图象 图 1 x 6 从上述画法中 我们可以看到 画反比例函数的图象 要经过列表 描点 连线三个步骤 这种描图象的方法叫做描点法 显然 用描点法所画的图象一 般是近似的 若要使画出的图象越精确 需要画出图象上的点也就越多 y x 6 图 1 xO y 精品文档 2欢迎下载 反比例函数 y k 0 的图象叫做双曲线 x k 3 反比例函数的性质 反比例函数 y 有下列性质 x k 当 k 0 时 函数图象的两个分支分别位于第一 三象限内 在每一个象 限内 y 随 x 的增大而减少 当 k 0 时 函数图象的两个分支分别位于第二 四象限内 在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大 两个分支都无限接近但永远不能达到 x 轴和 y 轴 再来回顾高中解析几何有关双曲线的教学过程 1 双曲线的定义 平面内与两个定点 F F 的距离的差的绝对值是常数 小于 F F 的 1212 点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点 两焦点的距离叫做焦距 2 双曲线的标准方程 1 这个方程叫做双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在 2 2 a x 2 2 b y x 轴上 焦点是 F c 0 F c 0 这里 c a b 12 222 3 双曲线的几何性质 标准方程 1 2 2 a x 2 2 b y 图形 顶点坐标 a 0 a 0 对称轴 x 轴 实轴长 2a y 轴 虚轴长 2b 焦点坐标 c 0 c 0 这里 c a b 222 离心率e e 1 a c 准线x c a 2 渐近线y x a b 4 等轴双曲线 xO y 精品文档 3欢迎下载 在方程 1 中 如果 a b 那么双曲线方程为 x y a 它的实轴 2 2 a x 2 2 b y 222 和虚轴的长都等于 2a 这时 四条直线 x a y a 围成正方形 渐近线方 程成为 x y 它们互相垂直 并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角 这种 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 2 析疑 经过了以上两个回顾 我们如果把反比例函数的图象称为彼双曲线 而把 解析几何当中的双曲线称为此双曲线 那么彼双曲线与此双曲线是否如出一辙 1 坐标轴的旋转 如果原点不动 两条坐标轴按同一个方向绕原点转动同一个角度 这种坐 标变换称为坐标轴的旋转 如图 2 Ox Oy 是原坐标轴 Ox Oy 是坐标轴按逆时针旋转 角后的新坐标轴 设 P 是平面内 任意一点 它在旧坐标系 xOy 中的 坐标是 x y 在新坐标系 x Oy 中的坐标是 x y 现在我们 来研究同一个点 P 在新旧两个坐标系 里的坐标的关系 作 PM Ox PN Ox 并设 Ox 与 OP 的夹角为 那么 x ON OP cos y NP OP sin 所以 x OM OP cos OP cos cos sin sin x cos y sin y MP OP sin OP sin cos cos sin x sin y cos 于是 我们得到了点 P 在不同坐标系下 它的坐标 x y 和 x y 之 间有如下的关系 cossin sincos yxy yxx 我们把它叫做转轴公式 这个公式是用点的新坐标 x y 来表示它 的旧坐标 x y 2 研究 xy k 的图形 不妨设 k 0 设坐标轴旋转 角 把坐标旋转公式 cossin sincos yxy yxx 代入方程 xy k 得 x cos y sin x sin y cos k 即 cos sin sin cos cos sin k 2 x 2 y y x 22 要使新方程中无项 只要 cos sin 0 即 cos2 0 y x 22 4 x 图 2 N M y x y O P 精品文档 4欢迎下载 因此 当坐标轴旋转时 所得新方程无项 此时以 cos sin 4 y x 4 4 代入原方程 得 2k 2 2 2 x 2 y 这是一条等轴双曲线 旧坐标轴 是它的渐近线 图 3 方程 xy k k 0 的图形是以坐 标轴为渐进线的等轴双曲线 这个方 程又可以写成 y 的形式 它所表示 x k 的 x y 间的关系就是反比例关系 因 此 方程 xy k k 0 或者函数 y k 0 x k 都可以统一说成双曲线 xy k k 0 3 双曲线 xy k k 0 的性质 我们根据方程 2k k 0 结合转轴公式 2 x 2 y 或 2 2 2 2 yxy yxx 2 2 2 2 yxy yxx 不难得到双曲线 xy k k 0 的性质 1 代数性质 定义域是 x 0 值域是 y 0 函数在区间 0 和 0 内是减函数 是奇函数 它的反函数是本身 2 几何性质 图象是等轴双曲线 图象的对称中心是坐标原点 O 对称轴方程是 x y 0 顶点是 A 和 A 1 kk 2 kk 实半轴长和虚半轴长是 半焦距是 2 k2k 实轴所在直线为 x y 0 虚轴所在直线为 x y 0 焦点是 F 和 F 1 k2k2 2 k2k2 渐进线是 x 轴和 y 轴 其方程为 y 0 和 x 0 准线方程是 x y 0 和 x y 0 k2k2 y Ox y x 图 3 精品文档 5欢迎下载 准线与对称轴的交点是 E 和 E 1 2 k 2 k 2 2 k 2 k 离心率 e 2 4 引深一例 例 讨论 y 的图象 其中 ad bc dcx bax 思路 先用平移消去一次项 然后用旋转消去 xy 项 解 先进行平移 设新原点的坐标是 m n 那么平移公式为 nyy mxx 代入原方程 化简得 c cn a cm d cmn am dn b 0 1 y x x y 为了消去一次项 那么 0 0 dcm acn 解这个方程组 得 m n 代入 1 即得平移后的方程是 c d c a c ad bc 0 2 2 y x 再进行转轴 旋转角度为 因此转轴公式为 4