37切线长定理

兰兰 州十一中教州十一中教 案案 教师 2014 2015 学年度第 二 学期 首页 课 题 切线长定理切线长定理共 1 课时第 1 课时 授 课 时 间 2015 年 月 日 第 周 第 节 课 型新授课 教 学 目 的 1 使学生理解切线长定义 2 使学生掌握切线长定理 并能初步运用 3 通过本节教学 进一步培养学生的动手操作能力和创新意识 4 学生在猜想 探索 验证切线长定理活动中通过相互间的合作与交 流 进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力 5 通过分析问题 解决问题的过程 激发学生学数学的兴趣 使学生积极参与 体验成功 重 点 1 使学生理解切线长定义 2 使学生掌握切线长定理 并能初步运用 难 点 证明过程中需添加辅助线 教 学 方 法 合作探究 教 具 多媒体课件 板 书 设 计 切线长定理切线长定理 定定 义义 做一做做一做 教 学 过 程 教师 2014 2015 学年度第二学期 续页 教学 第一环节第一环节 设置情境 引入新课设置情境 引入新课 活动内容活动内容 问题 有一天 同学们去王老师家做客 王老师正在洗锅 就问 谁能 测出这个锅盖的半径 就可以得到一根雪糕 同学们都跃跃欲试 但老师 家里只有一个曲尺 到底谁能得到这根雪糕呢 这里让学生们小组讨论 那么 该如何测量这个锅盖的半径呢 学生 们众说纷纭 可能会利用 90 的圆周角所对的弦是直径来作答 也有可能 会利用曲尺的两边与圆构造正方形来解答 哪一种方法更好呢 教师引导学生发现 A B 分别为 O 与 PA PB 的切点 连结 OB OA 则四边形 OBAP 是正方形 所以 圆的半径为 A 点或 B 点的刻度 PA PB 如果这根尺子的夹角不是 90 是否还能得到 PA PB 第二环节 新课讲解第二环节 新课讲解 一 切线长定义 1 板书定义 从圆外一点可以引圆的两条切线 这一点和切点之间线 段的长度叫做圆的切线长 2 剖析定义 1 找出中心词 把定义进行缩句 线段的长叫做切线长 2 定义中的 线段 具有什么特征 在圆的切线上 两个端点一个是切点 一个是圆外已知点 3 在图形中辨别 1 已知 如图 1 PC 和 O 相切于点 A 点 P 到 O 的切线长可以用哪一条线段的长来表示 线段 PA 例 1 P A O B O A P 例 2 2 已知 如图 2 PA 和PB 分别与 O 相切于点 A B 点 P 到 A B O P A B O P C D O 的切线长可以用哪一条线段的长来表示 线段 PA 或线段 PB 3 如图 2 思考 点 P 到 O 的切线长可以用三条或三条以上不同的 线段的长来表示吗 这样的线段最多可以有几条 为什么 4 既然点 P 到 O 的切线长可以用两条不同的线段的长来表示 那 么这两条线段之间一定存在着某种关系 是什么关系呢 我们来探索一 下 出示探索问题 1 从而进入定理教学 二 切线长定理 1 探索问题 1 从 O 外一点 P 引 O的两条切线 切点分别为 A B 那么线段 PA 和 PB 之间有何关系 探索步骤 1 根据条件画出图形 2 度量线段 PA 和 PB 的长度 3 猜想 线段 PA 和 PB 之间的关系 4 寻找证明猜想的途径 5 在图 3 中还能得出哪些结论 并把它们归类 6 上述各结论中 你想把哪个结论作为切线长的性质 请说明理由 活动目的 活动目的 定理教学的方式是学生自主探索 相互交流相结合 首 先出示探索步骤的前三个 等学生猜想出结论后 再明确仅凭观察 度 量 利用圆的对称性 通过折叠 猜想并不能说明结论的正确性 还 需证明结论的正确性 同时激励学生寻找证明猜想的途径 之后 再让 学生探索更多的结论 并由 6 得出定理 定理的剖析以对话形式进行 在整个过程中 教师相应地进行板书 此环节让学生经历观察 猜想 验证 最后归纳得出切线长定理 使学生的直观操作与逻辑推理有机的整合到一起 让学生在探究的过程 中体验数学活动充满着探索性和创造性 感受证明的必要性 证明过程 的严谨性以及结论的确定性 然后 通过动态演示强化切线长定理这一 核心知识 可以看出设置探究性的问题 可以树立学生已知与未知 简 单与复杂 特殊与一般在一定条件下可以转化的思想 使学生学会把未 例 3 O P B A 知转化为已知 把复杂问题化为简单问题 把一般问题转化为特殊问题 的思考方法 本环节教师通过学生探究 学生讲解 学生总结 归纳总 结得出本节课的核心知识 切线长定理 又通过动态演示强化核心知 识 最后通过习题 生活中的实例让学生应用核心知识 树立学生的应 用意识 这样多种形式 多种角度强化核心知识 更易学生接受 3 剖析定理 1 指出定理的题设和结论 2 用符号语言表示定理 PA PB分别是 O的切线 点A B分别为切点 PA PB分别与 O相切于点A B PA PB APO BPO 3 切线和切线长区别 切线是到圆心距离等于圆的半径的直线 而切线长是线段 指过圆 外一点做圆的切线 该点到切点的距离 活动目的 此处通过学生思考得出结论 再次加深学生对概念的理 解 也使学生了解切线长与切线的关系 4 拓展 1 图3是轴对称图形吗 如图4 连结图3中的两个切点AB交OP于 点C OP所在的直线交 O于点D E 又能得出什么结论 并把它们分类 2 如图5 已知 O 的两条切线互相平行 A B 两点为切点 如果连接两切点AB 则AB是 O 的直径吗 数学来源于生活 又应用 于生活 请同学们再思考下 它们在我们的日常生活中各有什么应用 答 图3是轴对称图形 连接AB 结论 PAB 是一个等腰三角 形 并且存在等腰三角形的三线合一定理 AB OP 出现了圆的垂径 定理 AAAA ADBD AEBE AB是 O 的直径 我们的日常生活中 球放在墙角 V 形架中放 入一个圆球等 如图7 可以应用于解决日常生活中测量球体的直径 例 4 O P EDC B A O 例 5 EB FA 例 7 F E D CB A O 4 如图8中 作出三角形三条切线后与三角形各边都相切的圆 叫做三角形的内切圆 图8中存在切线长定理吗 例 8 OO O 5 老师有一张三角形的铁皮 如何在它的上面截下一块圆形的 用料 并且使圆的面积尽可能最大 答 只要作出这个三角形的内切圆便是这个三角形中取出的用料 活动目的 此环节让学生指出切线长定理的题设和结论 并让学生 熟练掌握定理的三种几何语言 符号语言 文字语言 图形语言 的表 示 学生在总结出切线长定理的同时 又通过观察图形发现了圆心和这 一点的连线为圆的对称轴 利用对称性还可得到更多的边等 角等 弧 等的结论 接着让学生观察三角形的内切圆从而发现其中也存在切线长 定理 问题的引入自然流畅 层层递进不仅符合学生认知规律 也激发 了学生进一步研究的兴趣 达成本节课知识目标的教学 最后 通过在 三角形铁皮上裁下一个最大的圆的实际问题的探究 帮助学生从实际中 发现数学问题 运用所学知识解决实际问题 提高他们数学的应用意识 和解决问题的能力 三 圆的外切四边形的性质 请同学们先在草稿本中作出有关已知圆O 的四条切线 再互相交流 与讨论你的发现与结论并加以验证 例 9 O D C B A 结论 圆的外切四边形的两组对边的和相等 活动目的 学生通过在图形中识别切线长定理的基本图形 总结的 出圆外切四边形的性质 学生再次应用本节核心知识发现新的结论 这 样教学 教师不只是让学生 见到树木 也看到了他们所在的森林 第三环节 随堂练习第三环节 随堂练习 活动内容 活动内容 一 例题学习 1 例题 已知如图 Rt ABC 的两条直角边 AC 10 BC 24 O 是 ABC 的内切圆 切点分别为 D E F 求 O 的半径 例 例 1例 A F B D E O C 变式一 变式一 由于切线长定理的运用是本节的难点 为了化解难点 在 例题完成后 将例题加以变式训练 将 Rt ABC 变为一般 ABC 即 课本 96 页知识技能第 2 题已知 如图 5 ABC 的内切圆 O 与 BC CA AB 分别相切于点 D E F 且 AB 9cm BC 14cm CA 13cm 求 AF BD CE 的长 例 2例 O F E DCB A 变式二 在变式一完成后 将变式一再加以变式训练 将切线 AC 平 移到圆的另一侧 即知识技能第 1 题例 1 如图 P 是 O 外一点 PA O A B D C E P 与 PB 分别 O 切于 A B 两点 DE 也是 O 的切线 切点为 C PA PB 5cm 求 PDE 的周长 让学生分析问题后 提出问题 1 从图中可得出哪些结论 请说明理由 2 求 PDE 的周长时 应如何利用已知条件 提出引导问题的目的让学生对所学的知识加以归纳 形成知识系统 问题 2 是解决本题的关键 可以引导学生寻找思路 请一学生板演完成 此题 并让学生进行题后小结 活动目的 活动目的 本环节利用由简入深的变式 充分发挥学生的主体地 位 加深学生对本课内容的学习与了解 加强数学思想的渗透力 从而 提高学生自主建构知识网络 分析 解决问题的能力 达到触类旁通 二 巩固练习 1 填空 如图 10 PA PB 分别与 O 相切于点 A B 1 若 PB 12 PO 13 则 AO 2 若 PO 10 AO 6 则 PB 3 若 PA 4 AO 3 则 PO PD D 例 10 O P B A 2 已知 如图 10 PA PB 分别与 O 相切于点 A B PO 与 O 相交于 点 D 且 PA 4cm PD 2cm 求半径 OA 的长 现在让我们回到锅盖的半径问题上 如何解决这个问题呢 3 为了测量一个圆形锅盖的半径 某同学采用了如下办法 将锅盖平放 在水平桌面上 用一个锐角为 30 的三角板和一个刻度尺 按图中所示 的方法得到相关数据 进而可求得锅盖的半径 若测得 PA 5cm 则锅 盖的半径长是多少 引导学生连结 OA OB OP 利用切线长定理解答 PA B O 活动目的 活动目的 本环节加深了学生对知识的理解 让学生体验数学的严 谨性 意在培养学生自主学习的习惯 自主探索 引导学生爱读书敢质 疑 能自主建构切线长 并利用切线长定理解答问题 对本节知识进行 巩固练习 第四环节 想一想第四环节 想一想活动内容 活动内容 1 你的学习心得 体会是什么 2 你有哪些好的经验可推广 3 你还存在哪些困难 疑问 提醒学生注意由切线长可得到一个等腰三角形 这一点和圆心的连 线不但平分两切线的夹角 还垂直平分两切点间的线段 让学生自由提 问 同时也可利用这个机会 辅导有困难的学生 从而使每个学生都能 达标 第五环节 第五环节 推荐作业 巩固拓展推荐作业 巩固拓展 活动内容 活动内容 A 层 1 已知 如图 5 O 是 ABC 的内切圆 切点分别为 D E F 1 图中共有几对相等线段 2 若 AF 4 BD 6 CE 8 则 ABC 的周长是 3 若 AB 9 BC 15 AC 12 则 AF BD CE 例 1例 O F E DCB A 第 2 题图 2 如图 PA PB 分别切 O 于 A B 两点 C 是上任意一点 过 A AB C 作 O 的切线 交 PA 及 PB 于 D E 两点 已知 P 50 PA PB 6cm 则 DOE PDE 的周长是 B 层 1 如图 过 O 外一点作 O 的切线 PA PB A B 为切点 C 为 A B P D O E C 作 业