（江西版）2013年高考数学总复习 第十一章11.3 合情推理与演绎推理教案 理 北师大版

1 20132013 年高考第一轮复习数学北师年高考第一轮复习数学北师 江西版江西版 理第十一章理第十一章 11 311 3 合情推合情推 理与演绎推理理与演绎推理 考纲要求考纲要求 1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 了解合情推理在数学 发现中的作用 2 了解演绎推理的重要性 掌握演绎推理的基本模式 并能运用它们进行一些简单推 理 3 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 知识梳理知识梳理 1 合情推理主要包括 和 合情推理的过程 1 归纳推理 由某类事物的 具有某些特征 推出该类事物的 都具 有这些特征的推理 或者由 概括出 的推理 称为归纳推理 简称归纳 简言之 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 归纳推理的基本模式 结论 d M d也具有某属性 2 类比推理 由 具有某些类似特征和其中 的某些已知特征 推出 也具有这些特征的推理称为类比推理 简称类比 简言之 类比推理是由 到 的推理 类比推理的基本模式 A具有属性a b c d B 结论 B具有属性d a b c d与a b c d 分别相似或相同 2 演绎推理 从 的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 我们把这种推理称 为演绎推理 简言之 演绎推理是由 到 的推理 1 三段论是演绎推理的一般模式 包括 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 结论 根据一般原理 对特殊情况做出的判断 2 三段论 可以表示为 大前提 M是P 小前提 S是M 结论 S是P 用集合说明 即若集合M的所有元素都具有性质P S是M的一个子集 那么S中所有 元素也都具有性质P 基础自测基础自测 1 金导电 银导电 铜导电 锡导电 所以一切金属都导电 此推理方法是 A 演绎推理 B 归纳推理 C 类比推理 D 以上均不对 2 某同学在电脑上打下了一串黑白圆 如图所示 按这种规律往下排 那么第 36 个圆的颜色应是 A 白色 B 黑色 C 白色可能性大 D 黑色可能性大 3 观察 x2 2x x4 4x3 cos x sin x 由归纳推理可得 若定义在 R R 上的函数f x 满足f x f x 记g x 为f x 的导函数 则g x A f x B f x C g x D g x 2 4 在平面上 若两个正三角形的边长的比为 1 2 则它们的面积比为 1 4 类似地 在空间中 若两个正四面体的棱长的比为 1 2 则它们的体积比为 思维拓展思维拓展 合情推理与演绎推理有什么联系与差异 提示 总体来说 从推理形式和推理所得结论的正确性上讲 二者有差异 从二者在认 识事物的过程中所发挥的角度考虑 它们又是紧密联系 相辅相成的 合情推理得到的结论 需要演绎推理的验证 而演绎推理的思路一般是通过合情推理获得的 一 归纳推理 例 1 观察 sin210 cos240 sin 10 cos 40 3 4 sin26 cos236 sin 6 cos 36 3 4 由上面两题的结构规律 你能否提出一个猜想 并证明你的猜想 方法提炼方法提炼 1 归纳推理的特点 1 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 2 归 纳的前提是部分的 个别的事实 因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围 其前提和 结论之间的联系不是必然的 而是或然的 所以 前提真而结论假 的情况是可能发生的 3 人们在进行归纳推理时 总是先收集一定的事实材料 有了个别性的 特殊性的事实作 为前提 然后才能进行归纳推理 因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行 4 归纳推 理能够发现新事实 获得新结论 是做出科学发现的重要手段 2 归纳推理的一般步骤 首先 对有限的资料进行观察 分析 归纳整理 然后 在 此基础上提出带有规律性的结论 即猜想 最后 检验这个猜想 请做请做 针对训练针对训练 2 2 二 类比推理 例 2 1 在平面几何中 ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为 把这 AE EB AC BC 个结论类比到空间 在三棱锥A BCD中 如图所示 平面DEC平分二面角A CD B且与AB 相交于点E 则得到的类比的结论是 例 2 2 在 ABC中 AB AC AD BC于点D 求证 1 AD2 1 AB2 1 AC2 那么在四面体ABCD中 类比上述结论 你能得到怎样的猜想 并说明理由 方法提炼方法提炼 1 类比推理的特点 1 类比推理是由特殊到特殊的推理 2 类比推理是从 人们已经掌握了的事物的特征 推测正在被研究中的事物的特征 所以类比推理的结果具有 猜测性 不一定可靠 3 类比推理以旧的知识作基础 推测新的结果 具有发现的功能 4 由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征 所以进行类比 推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征 2 类比推理的步骤 首先 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 然后 用一 类对象的已知特征去推测另一类对象的特征 从而获得一个猜想 最后 检验这个猜想 类 比是科学研究最普遍的方法之一 在数学中 类比是发现概念 方法 定理和公式的重要手 段 也是开拓新领域和创造新分支的重要手段 类比在数学中应用广泛 数与式 平面与空 间 一元与多元 低次与高次 相等与不等 有限与无限之间有不少结论 都是先用类比法 猜想 而后加以证明的 3 请做请做 针对训练针对训练 3 3 三 演绎推理 例 3 如图 已知直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是直角梯形 AB BC AB CD E F分别是棱BC B1C1上的动点 且 EF CC1 CD DD1 1 AB 2 BC 3 1 证明 无论点E怎样运动 四边形EFD1D都为矩形 2 当EC 1 时 求几何体A EFD1D的体积 方法提炼方法提炼 1 演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式 2 演绎推理的一般模式是由大前提 小前提推出结论的三段论推理 三段论推理常用 的一种格式 可以用以下公式来表示 如果b c a b 则a c 3 演绎推理是一种必然性推理 演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系 因而 只要 前提是真实的 推理的形式是正确的 那么结论必定是真实的 错误的前提可能导致错误的 结论 三段论推理也可用集合论的观点来解释 若集合M的所有元素都具有性质P S是M 的子集 那么S中所有元素也都具有性质P 三段论的公式中包含三个判断 第一个判断称为 大前提 它提供了一个一般性的原理 第二个判断叫小前提 它指出了一个特殊情况 这两 个判断联合起来 揭示了一般原理和特殊情况的内在联系 从而产生了第三个判断结论 请做请做 针对训练针对训练 4 4 考情分析考情分析 从近几年的高考试题来看 合情推理 演绎推理等问题都是高考的热点 归纳 类比推 理大多数出现在填空题中 为中低档题 突出了 小而巧 主要考查类比 归纳推理能 力 在数学证明中 合情推理只能为我们证明问题提供思路和方向 通常由已知条件归纳出 一个结论 或运用类比的形式给出某个结论 再运用演绎推理进行证明 针对训练针对训练 1 2011 陕西高考 理 13 观察下列等式 1 1 2 3 4 9 3 4 5 6 7 25 4 5 6 7 8 9 10 49 照此规律 第n个等式为 2 2011 山东高考 理 15 设函数f x x 0 观察 x x 2 f1 x f x x x 2 f2 x f f1 x x 3x 4 f3 x f f2 x x 7x 8 f4 x f f3 x x 15x 16 根据以上事实 由归纳推理可得 当n N N 且n 2 时 fn x f fn 1 x 4 3 设面积为S的平面四边形的第i条边的边长记为ai i 1 2 3 4 P是该四边形内任 意一点 P点到第i条边的距离记为hi 若 k 则 ihi 类比上述 a1 1 a2 2 a3 3 a4 4 4 i 1 2S k 结论 体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si i 1 2 3 4 Q是该三棱锥内的任意一 点 Q点到第i个面的距离记为Hi 则相应的正确命题是 若 k 则 S1 1 S2 2 S3 3 S4 4 4 已知函数f x 在区间 2 上是递增的 求实数a的取值范围 ax 1 x 2 5 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 归纳推理 类比推理 1 部分对象 全部对象 个别事实 一般结论 a b c M且a b c具有某种属性 2 两类对象 一类对象 另一类对象 特殊 特殊 具有属性a b c 2 一般性 一般 特殊 基础自测基础自测 1 B 解析 解析 由个别到一般的推理叫归纳推理 2 A 解析 解析 由图知 图形是三白二黑的圆周而复始相继排列 是一个周期为 5 的三白 二黑的圆列 因为 36 5 7 余 1 所以第 36 个圆应与第 1 个圆颜色相同 即白色 3 D 解析 解析 由已知的三个求导式可归纳推理得到偶函数的导函数是奇函数 又 f x 是 偶函数 所以g x 是奇函数 故g x g x 4 1 8 解析 解析 两个正三角形是相似的三角形 它们的面积之比是相似比的平方 同理 两个正四面体是两个相似几何体 体积之比为相似比的立方 它们的体积比为 1 8 考点探究突破考点探究突破 例 1 解 解 猜想 sin2 cos2 30 sin cos 30 3 4 证明 左边 sin2 cos 30 cos 30 sin sin2 Error Error 3 2 cos 1 2sin sin2 cos2 sin2 3 4 1 4 3 4 右边 所以 猜想是正确的 例 2 1 解析 解析 易知点E到平面BCD与平面ACD的距离相等 故 BE EA S BCD S ACD VE BCD VE ACD BE EA S BCD S ACD 例 2 2 证明 如图所示 由射影定理 得 AD2 BD DC BD BC AC2 BC DC 2 AB 1 AD2 1 BD DC BC2 BD BC DC BC BC2 AB2 AC2 又 BC2 2 AC2 AB 1 AD2 AB2 AC2 AB2 AC2 1 AB2 1 AC2 1 AD2 1 AB2 1 AC2 猜想 类比AB AC AD BC 猜想四面体ABCD中 AB AC AD两两垂直 AE 平面BCD 则 1 AE2 1 AB2 1 AC2 1 AD2 下面证明上述猜想成立 6 如下图所示 连接BE并延长交CD于点F 连接AF AB AC AB AD AC AD A AB 平面ACD 而AF 平面ACD AB AF 在Rt ABF中 AE BF 1 AE2 1 AB2 1 AF2 同理可得在 Rt ACD中 AF CD 1 AF2 1 AC2 1 AD2 1 AE2 1 AB2 1 AC2 1 AD2 故猜想正确 例 3 1 证明 在直四棱柱ABCD 中 1111 ABC D 1 DD 1 CC EF EF 1 CC 1 DD 又 平面 平面 ABCD 1111 ABC D 平面 平面 EFD1D ED ABCD 平面 平面 1111 ABC D 1 EFD D 1 FD ED 四边形为平行四边形 1 FD 1 EFD D 侧棱 底面 又 DE 平面 1 DDABCDABCD DE 1 DD 四边形为矩形 1 EFD D 2 解 解 连接AE 四棱柱 为直四棱柱 ABCD 1111 ABC D 侧棱 底面ABCD 1 DD 又AE 平面 AE ABCD 1 DD 在 Rt ABE中 2 BE 2 AB 则AE 2 2 在 Rt CDE中 EC 1 CD 1 则DE 2 在直角梯形中 ABCDAD 2 2 10BCABCD 即AE 222 AEDEAD ED 又 ED D 1 DD 7 AE 平面 1 EFD D 由 1 可知 四边形为矩形 且DE 1 1 EFD D2 1 DD 矩形的面积为 DE 1 EFD D 1 EFD D S矩形 1 DD2 几何体A 的体积为 AE 2 1 EFD D 1 AEFD D V 形 1 1 3 EFD D S形形 1 322 4 3 演练巩固提升演练巩固提升 针对训练针对训练 1 n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 解析 解析 观察等式左侧 第一行有 1 个 数是 1 第二行是 3 个连续自然数的和 第一个数为 2 第三行是 5 个连续自然数的和 第 一个数为 3 第四行是 7 个连续自然数的和 第一个数为 4 依此规律 第n行是 2n 1 个连 续自然数的和 其中第一个数为n 第n行左侧为 n n 1 n 2 n 2n 2 n n 1 n 2 3n 2 等式右侧 第一行 1 12 第二行 9 32 第三行 25 52 第四行 49 72 依 此规律 第n行是 2n 1 2 第n个等式为n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 2 解析 解析 由已知可归纳如下 21 2 nn x x 1 fx 11 21 2 x x 2 fx 22 21 2 x x 3 fx 33 21 2 x x 4 fx 44 21 2 x x n fx 21 2 nn x x 3 iHi 解析 解析 由 k 4 i 1 3V k 3124 1234 SSSS 得 1 Sk 2 Sk 2 3 Sk 3 4 Sk 4 11223344 111