福建省南安市侨光中学2020届高三数学上学期第一次阶段考试题 文（含解析）

1 福建省南安市侨光中学福建省南安市侨光中学 20202020 届高三数学上学期第一次阶段考试题届高三数学上学期第一次阶段考试题 文文 含解析 含解析 一 选择题 一 选择题 1 已知 是虚数单位 则复数 i 53 4 i i a b c d 1 i 1i 1i 1i 答案 a 解析 分析 本题考查复数的基本运算 除法运算 详解 答案选 a 53 4 531717 1 444 17 iiii i iii 点睛 复数的除法运算对于分母可直接识记公式 22 abi abiab 2 已知集合 集合 则等于 2 20 ax xxxz 0 2 4b ab a b c d 1 0 2 4 1 0 1 2 4 0 2 4 012 4 答案 b 解析 分析 本题考查集合的基本运算 并集 涉及的知识点有 一元二次不等式的解法 详解 在集合 a 中 用十字相乘法可解得 又因为 所以 2 20 xx 12x x z 集合 1 0 1 2a ab 1 0 1 2 4 答案选 b 点睛 集合的限定条件需要考试时仔细审读 避免漏解错解 2 3 直线与平行 则的值为 210 xay a a b 或c 0d 2 或 0 1 2 1 20 答案 a 解析 分析 若直线与平行 则 解出a值后 210 xay 1 10axay 1 2 1 0aa a 验证两条直线是否重合 可得答案 详解 若直线与平行 210 xay 1 10axay 则 1 2 1 0aa a 解得或 0a 1 2 a 又时 直线与表示同一条直线 0a 10 x 10 x 故 1 2 a 故选 a 本题考查的知识点是直线的一般式方程 直线的平行关系 正确理解直线平行的几何意义是解 答的关键 4 的值是 sin160 sin10cos20 cos10 a b c d 3 2 1 2 1 2 3 2 答案 d 解析 分析 先观察公式特点 可得是由余弦的差角公式展开得出 详解 sin160 sin10 cos20 cos10in20 sin10scos20 cos10 3 选 d cos20 cos10in20 si 3 s cos 20n1010 2 点睛 熟悉两角和与差的正弦余弦正切公式特点 并学会用诱导公式进行转化是解决此类 题性的关键 5 抛物线x2 4y上一点p到焦点的距离为 3 则点p到y轴的距离为 a 2b 1 2 c 2d 3 答案 a 解析 根据抛物线方程可求得焦点坐标为 0 1 准线方程为y 1 根据抛物线定义 得 yp 1 3 解得yp 2 代入抛物线方程求得xp 点p到y轴的距离为 2 22 2 故选 a 6 已知 则等于 3 sin 35 x cos 6 x a b c d 4 5 3 5 4 5 3 5 答案 d 解析 分析 本题考查的是诱导公式中正弦与余弦互化公式 详解 通过观察题目可得 与两角整体相加得 可由诱导公式的 3 x 6 x 2 所以 选 d sincos cos 3236 xxx cos 6 x 3 5 点睛 考生应熟记基本的一些角度转化形式 常见的互余关系有与 与 与等 3 6 3 6 4 4 4 常见的互补关系有与 与等 3 2 3 4 3 4 7 设双曲线的中心在原点 焦点在轴上 离心率 则该双曲线的渐近线方程为 x5e a b c d 1 2 yx 2yx 4yx yx 答案 b 解析 分析 本题考查的是双曲线的渐近线 焦点在 x 轴上渐近线方程为 焦点在 y 轴上的 b yx a 双曲线渐近线方程为 a yx b 详解 由题可知 解得 所以双曲线的渐近线方程为 5 c e a 222 cab 2 b a 选 b 2yx 点睛 求双曲线渐近线一定要要清楚焦点是在 x 轴还是在 y 轴上 8 若把函数的图象上的所有点向右平移m m 0 个单位长度后 所得到的 3cos 2 3 yx 图象关于y轴对称 则m的最小值是 a b c d 2 3 3 6 12 答案 c 解析 分析 根据平移性质写出解析式 再根据函数特点求解 5 详解 因为函数图像关于 y 轴 3cos 2 3cos2 m 36 m yxyx 向右平移个单位 对称 所以当时 当时 0 x 2 02 3 mkkz 62 k m 0k6 m 选 c 点睛 三角函数图像的平移变化有两种基本形式 解题时一定要加以甄别 9 方程表示双曲线的充要条件是 22 1 23 xy kr kk a b c d 2k 或k 33k 2k 32k 答案 a 解析 分析 观察题目 要使方程是双曲线 必须使分母的系数一个为正 一个为负 详解 第一种情况 解得 2030kk 且2k 第二种情况 解得 选 a 2030kk 且3k 点睛 考虑符号时 应将式子前的正负号考虑在内 10 同时具有性质 最小正周期是 图象关于直线对称 在上是增 3 x 6 3 函数 的一个函数是 a b sin 26 x y cos 2 3 yx c d sin 2 6 yx cos 2 6 yx 答案 c 解析 6 解 因为函数的周期为 因此 w 2 排除 a c 然后根据图像关于 x 对称 排除选项 3 d 选 c 11 是抛物线的焦点 是抛物线上的两点 则线段的 f 2 2yx a b 8afbf ab 中点到 轴的距离为 y a b c d 4 9 23 7 2 答案 d 解析 分析 根据抛物线的方程求出准线方程 利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线 的距离 列出方程求出 a b 的中点横坐标的和 求出线段 ab 的中点到 y 轴的距离 详解 是抛物线的焦点 f 2 2yx 准线方程 1 0 2 f 1 2 x 设 1122 a x yb xy 12 11 8 22 afbfxx 12 7xx 线段 ab的中点横坐标为 7 2 线段 ab 的中点到 y 轴的距离为 7 2 所以 d 选项是正确的 点睛 抛物线的弦长问题一般根据第一定义可简化运算 12 是双曲线的左 右焦点 过的直线 与的左 右两 12 f f 22 22 1 0 0 xy cab ab 1 f lc 7 支分别交于两点 若为等边三角形 则双曲线的离心率为 a b 2 abf c a b c 2d 3 37 答案 b 解析 分析 本题可先通过构造几何图形 先设为 再利用双曲线第一定义 列出与的关 2 af x 1 af 2 af 系式 与的关系式 利用几何关系 在中 利用余弦定理即可求得答案 1 bf 2 bf 12 aff 详解 如图所示 设 由于为等边三角形 所以 所以 abx 2 abfa 22 abafbfx 即 又 所以 121 2bfbfafxxa 1 2afa 21 22afafxaa 4xa 在中 12 aff 1 2afa 2 4afa 12 2ffc 12 120f af 所以根据余弦定理有 222 2 4 2 cos120 2 24 aac aa 1 2 整理得 即 所以离心率 222 52aca 22 7ca 7 c e a 故本题正确答案为 b 点睛 圆锥曲线跟几何问题机关的解法 常从以下几个方向考虑 圆锥曲线第一定义 圆锥曲线第二定义 几何关系所涉及的解三角形知识 13 已知命题p m0 对一切实数x恒成立 若p q为真命题 则实数m的取 8 值范围是 a 2 b 2 c 2 2 d 2 0 答案 d 解析 分析 若p q为真命题 则 q 必须为真命题 根据 q 可求得 m 的范围 最终确定 m 的范围 详解 对于 q x2 mx 1 0 对一切实数x恒成立 需满足 即 2 40m 又因为命题p m 0 所以 选 d 2 2 m 2 0 m 点睛 判断命题的真假一般需要对命题去伪存真 把每一个命题化到最简 再根据题设去 解题 14 在平面内 曲线上存在点p 使点p到点a 3 0 b 3 0 的距离之和为 10 则 c 称曲线 c 为 有用曲线 以下曲线不是 有用曲线 的是 a b 5xy 22 9xy c d 22 1 259 xy 2 16xy 答案 b 解析 分析 根据椭圆定义得 p 轨迹 再根据曲线有无交点直接化简判断 详解 由点 p 到点 a 3 0 b 3 0 的距离之和为 10 可得 22 1 2516 xy a 联立 化为 41x2 250 x 225 0 2502 41000 0 因此曲线 x y 5 上存在 22 5 1 2516 xy xy 点 p 满足条件 是 有用曲线 正确 同理与有交点 与显然有交点 因此可 22 1 259 xy 22 1 2516 xy 5 0 2 16xy 22 1 2516 xy 判断 c d 给出的曲线是 有用曲线 9 而 b 给出的曲线不是 有用曲线 在内部 无交点 22 9xy 22 1 2516 xy 点睛 本题考查了椭圆的定义 两点之间的距离公式 曲线的交点 考查了推理能力与技 能 还可从数形结合的方法来解此题 二 填空题 把答案填在答题卡相应位置二 填空题 把答案填在答题卡相应位置 15 抛物线的准线方程为 2 yx 答案 1 4 y 解析 由抛物线的标准方程为 x2 y 得抛物线是焦点在 y 轴正半轴的抛物线 2p 1 其准线方程是 y 2 p 1 4 y 故答案为 1 4 y 16 函数 则 2 log0 30 x xx f x x 1 4 ff 答案 1 9 解析 分析 先求的值 再求的值 1 4 f 1 4 ff 详解 由题得 2 11 log2 44 f 所以 2 11 2 3 49 fff 故答案为 1 9 10 点睛 本题主要考查指数对数运算和分段函数求值 意在考查学生对这些知识的理解掌握 水平 属于基础题 17 已知点m 0 椭圆与直线y k x 交于点a b 则 abm的周长 3 2 2 1 4 x y 3 为 答案 8 解析 分析 直线过定点 n 确定椭圆的几何量 再利用椭圆的定义 即可求 y kx 3 3 0 abm 的周长 详解 直线过定点 n 由题设知 m n 是椭圆的焦点 由椭圆定义 y kx 3 3 0 知 an am 2a 4 bm bn 2a 4 abm 的周长为 ab bm am an bn bm am an am bn bm 8 故答案为 8 点睛 本题考查椭圆的定义 直线过定点问题和利用椭圆的定义是解题的关键 18 已知中 若该三角形只有一解 则的取值范围是 abc 2 45ax bb x 答案 或 02x 2 2x 解析 详解 根据题意 由于中 abc 2 45ax bb 根据正弦定理 2 bsin 2 sin1 sinsin2 x aab a abb 2 2x 因为该三角形只有一解 所以或 02axb 2 2x 故答案为或 02x 2 2x 11 考点 解三角形 点评 主要是考查了解三角形的运用 属于基础题 19 直线与圆交于两点 且 则实数 3l yk x 22 4o xy a b 2 2ab k 答案 14 7 解析 分析 先由圆的方程得到圆心坐标与半径 根据弦长 求出圆心到直线的距离 22 abrd d 再根据点到直线距离公式 列出方程 即可求出结果 详解 因为圆圆心为 半径为 22 4o xy 0 0 o 2r 直线 被圆截得的弦长为 l 2 2ab 所以圆心到直线的距离 0 0 o 3l yk x 2 2 2 2 ab dr 即 解得 2 3 2 1 k k 14 7 k 故答案为 14 7 点睛 本题主要考查已知直线与圆位置关系求参数 熟记几何法求弦长的公式 以及点到 直线距离公式即可 属于常考题型 20 对大于 1 的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的 分裂 m 仿此 若的 分裂 数中有一个是 73 则的值为 333 13 7 315 2 3 9 4 517 11 19 3 mm 答案 9 12 解析 试题分析 所以的值为 732 36 1 23835 m9 考点 归纳 三 解答题三 解答题 21 在中 内角 所对的边分别为 已知 abc abcabcsin3 cosbaab 1 求角的大小 b 2 若 的面积为 求的值 2b abc 3ac 答案 1 2 3 b 4ac 解析 分析 1 第一题考查的是正弦定理 边化角即可 2 由正弦的面积公式和余弦定理可求得 详解 1 sin3 cosbaab 由正弦定理 得 sinsin3sincosbaab 即 sin0a sin3cosbb tan3b 0 b 3 b 2 由三角形的面积公式 得 解得 1 sin 2 abc sacb 13 3 22 ac 4ac 由余弦定理 222 2cosbacacb 得 22 1 42 2 acac 2 3acac 2 12ac 故 4ac 点睛 解三角形一般先用正弦定理再用余弦定理 22 在平面直角坐标系 xoy 中 已知曲线 c1 x2 y2 1 以平面直角坐标系 xoy 的原点 o 为极 13 点 x 轴的正半轴为极轴 取相同的单位长度建立极坐标系 已知直线 2cos sin l 6 将曲线 c1上的所有点的横坐标 纵坐标分别伸长为原来的 2 倍后得到曲线 c2 试写出直线 的直角坐标方程和曲线 c2的参数方程 l 在曲线 c2上求一点 p 使点 p 到直线 l 的距离最大 并求出此最大值 答案 260 xy 3cos 2sin x y 2 5 解析 分析 根据极坐标与普通方程的互化公式 将直线 2cos sin 6 化为参数方程 l c2的方程为 化为普通方程 利用点到直线的距离公式表示出距离 求最值 详解 由题意知 直线 的直角坐标方程为 2x y 6 0 l c2 1 c2 的参数方程为 为参数 设 p cos 2sin 则点 p 到 的距离为 l d 当 sin 60 1 即点 p 1 时 此时 2 max d 23 某种产品的广告费支出与销售额 单位 万元 之间有如下对应数据 x y x 24568 y 3040605070 14 1 求回归直线方程 参考公式 b 2 试预测广告费支出为 10 万元时 销售额多大 参考数据 1 2 5 145 i i x 1 2 5 13500 i i y 5 1 1380 ii i x y 答案 1 82 5 万元 6 517 5yx 解析 分析 1 由表中的数据求出代入公式 b 得 即可写出回 x y a b 归直线方程 2 令 得 就是销售额的预测值 10 x y 详解 1 2 4 5 6 825 5 55 x 30 40 60 50 70250 50 55 y 又已知 5 2 1 145 i i x 5 1 1380 ii i x y 于是可得 1 5 122 5 513805 5 50 6 5 51455 5 5 i ii i i x yxy b xx 506 5 517 5 a ybx 因此 所求回归直线方程为 6 517 5yx 2 解根据上面求得的回归直线方程 当广告费支出为 10 万元时 15 万元 即这种产品的销售收入大约为 82 5 万元 6 5 10 17 5 82 5y 24 已知椭圆经过点 离心率为 且 分别为椭圆的 22 22 1 0 xy ab ab 0 3 1 21 f 2 f 左右焦点 1 求椭圆的方程 c 2 过点作斜率为的直线 交椭圆于两点 为中点