高考数学 填空题的解题策略

1 高考中的填空题的解题策略高考中的填空题的解题策略 一 复习策略 填空题是一种只要求写出结果 不要求写出解答过程的客观性试题 是数学高考的三 种基本题型之一 求解填空题的基本策略是要在 巧解 二字上下功夫 在解答问题时 要 有合理的分析和判断 要求推理 运算的每一步骤都正确无误 还要求将答案表达得准确 完整 合情推理 优化思路 少算多思将是快速 准确地解答填空题的基本要求 在草纸 上少写一点 在头脑里多思考一点 这可能会加快解的速度 常用的方法有直接法 特殊 化法 数形结合法 等价转化法等 填空题的类型一般可分为 完形填空题 多选填空题 条件与结论开放的填空题 二 典例剖析 1 直接法 直接从题设条件出发 利用定义 性质 定理 公式等 经过变形 计算得出结论 这 是解填空题最常见的 也是最重要的方法 绝大多数的填空题使用该法求解 例 1 的展开式中 常数项为 解 设常数项为第 r 1 项 则令 0 得 r 6 所以常数项为 23 1 6 即 672 答案 672 例 2 若函数的图象关于直线对称 则 解 由已知抛物线的对称轴为 得 而 有 答案 6 例 3 设其中 i j 为互相垂直的单位向量 又 则实数 m 解 而 i j 为互相垂 直的单位向量 故可得 2 答案 2 例 4 已知函数在区间上为增函数 则实数 a 的取值范围是 解 由复合函数的增减性可知 在 上为增函数 答案 例 5 已知直线 不全为 与圆有公共点 且公共点的横 纵坐标均为整数 那么这样的直线有 条 解 先考虑时 圆上横 纵坐标均为整数的点有 依圆的 对称性知 圆上共有个点横纵坐标均为整数 经过其中任意两点的割线有 条 过每一点的切线共有 12 条 又考虑到直线不经过原点 而上述直 线中经过原点的有 6 条 所以满足题意的直线共有条 答案 72 2 特殊化法 当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时 可以把题中变 化的不定量用特殊值代替 即可以得到正确结果 例 6 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 a b c 成等差数列 则 3 解 特殊化 令 则 ABC 为直角三角形 从 而所求值为 答案 例 7 ABC 的外接圆的圆心为 O 两条边上的高的交点为 H 则实数 m 的值是 解 由于本题对任意三角形结论成立 故可取特殊的等腰直角三角形 ABC 求解 设 BAC 90 AB AC 则 H 与 A 重合 O 是 BC 边的中点 此时 m 1 注意 本题中的 ABC 不能取成等边三角形 否则有 此时 m 取任意实数 值不唯一 例 8 过抛物线的焦点 F 作一直线交抛物线于 P Q 两点 若线段 PF FQ 的长分别为 p q 则 分析 此抛物线开口向上 过焦点且斜率为 k 的直线与抛物线均有两个交点 P Q 当 k 变化 时 PF FQ 的长均变化 但从题设可以得到这样的信息 尽管 PF FQ 不定 但其倒数和 应为定值 所以可以针对直线的某一特定位置进行求解 而不失一般性 解 设 k 0 因抛物线焦点坐标为把直线方程代入抛物线方程得 从而 答案 例 9 求值 分析 4 题目中 求值 二字提供了这样信息 答案为一定值 于是不妨令 得结果为 答案 例 10 已知是公差不为零的等差数列 如果是的前 n 项和 那么 解 特别取 有 于是有 故应填 2 3 数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题 若能数中思形 以形助数 则往往可以简捷地解决 问题 得出正确的结果 例 11 如果不等式的解集为 A 且 那么实数 a 的取值范围是 解 根据不等式解集的几何意义 作函数和函数的图象 如图 从图上容易得出实数 a 的取值范围是 例 12 已知实数 x y 满足 则的最大值是 解 可看作是过点 P x y 与 M 1 0 的直线的斜率 其中点 P 的圆 上 当直线处于切线位置时 斜率最大 最大值为 5 例 13 设 P 是曲线 y2 4 x 1 上的一个动点 则点 P 到点 B 0 1 的距离与点 P 到 y 轴的距离之和的最小值是 解 设 y2 4x 则焦点为 1 0 准线方程为 x 1 将抛物线 y2 4x 向右平移 1 个单位 其图象的方程为 y2 4 x 1 焦点为 F 2 0 准线方程为 x 0 即 y 轴 点 P 到 y 轴 的距离 PG 就等于点 P 到焦点 F 的距离 所以 PB PG PB PF 由于 P 点在抛物线上 所以 当点 B P F 共线时 PB PF 的值最小 这个值是 4 等价转化法 通过 化复杂为简单 化陌生为熟悉 将问题等价地转化成便于解决的问题 从而得 出正确的结果 例 14 不等式的解集为 4 b 则 a b 解 设 则原不等式可转化为 a 0 且 2 与是方 程的两根 由此可得 例 15 不论 k 为何实数 直线与曲线恒有交点 则实数 a 的取值范围是 解 题设条件等价于点 0 1 在圆内或圆上 或等价于点 0 1 到圆心的距离小于或 等于半径 例 16 函数单调递减区间为 解 易知 y 与 y2 有相同的单调区间 而 可得结果为 5 构造模型法 有的填空题可根据题意构造一些几何模型快速求解 这种方法常称为构造法 例 17 在球面上有 4 个点 P A B C 如果 PA PB PC 两两互相垂直 且 PA a PB 2a PC 3a 那么这个球面的面积是 解 由 PA PB PC 两两垂直可构造球的内接长方体 使其同一顶点处的三条棱长依次为 a 2a 3a 那么这个长方体的对角线恰好是球的直径 所以有 6 2R 2 a2 2a 2 3a 2 14a2 所以有 4 R2 14 a2 即球面面积为 14 a2 例 18 已知四面体的各面棱长分别为 4 5 6 则此四面体的体积为 解 以四面体的各棱为侧面对角线 把原四面体补成一个长宽高分别为 a b c 的长方体 则原四面体的体积 V 等于长方体的体积减去四个相等的三棱锥的体积 而由 b2 c2 16 a2 c2 25 a2 b2 36 得 abc V 由于开放型命题最能考查和培养学生思维能力和探索能力 因此 近年来的高考试题 当中常有这样的创新题型出现 解开放型填空题 除了必须具备扎实的基础知识和思维敏捷 推理严密 联想丰富等 诸要素外 还应熟练掌握分析判断 演绎推理 联想类比 合理转化 尝试探索 猜想论 证等多种数学思维方法 对于出现的开放型填空题 一般可将其分为四类 探索型填空题 组合型填空题 信 息迁移型填空题和多选型填空题 1 探索型填空题 所谓探索型填空题 就是从问题给定的题设中探究其相应的结论 或从给定题断要求 中探究其相应的必须具备的条件 如果是条件探索型命题 解题时要求学生要善于从所给 的题断出发 逆向追索 逐步探寻 推理得出应具备的条件 进而施行填空 如果是结论 探索型命题 解题时要求学生充分利用已知条件或图形的特征进行大胆猜想 透彻分析 发现规律 获取结论 例 19 如图所示 在直四棱柱中 当底面四边形满足条件 时 有 注 填上你认为正确的一种条件即可 不必考虑所有可 能的情形 解 本例为条件探索型填空题 由题目的内在逻辑关系可知 应填 事实上 是直四棱柱 因此 要使只需 进而只需 7 例 20 若两个长方体的长宽高分别为 5cm 4cm 3cm 把它们两个全等的面重合在一起 组成大长方体 则大长方体的对角线最长为 cm 分析 本题为结论探索型填空题 我们应在分析利用条件的基础上 透彻分析 推理 发现规 律 获取结论 解 当大长方体的长 宽 高分别为 5cm 4cm 6cm 时 其对角线长cm 当大长方体的长 宽 高分别为 5cm 8cm 3cm 时 其对角线长 10cm 当大长方体的长 宽 高分别为 10cm 4cm 3cm 时 其对角长cm 综上 大长方体的对角线最长为cm 2 迁移型填空题 所谓信息迁移型填空题 就是指以已有知识为基础 并在此基础上进一步引申或定义 新的情景 即给出一定容量的新信息 考生未曾见过的 要求考生依据新信息进行解题的 问题 解答此类问题只须在理解新信息本质的基础上 紧扣新信息的意义 学会语言的翻 译 新旧知识的转化 便可使问题顺利获解 例 21 设 M P 是两个非空集合 定义 M 与 P 的差集为 则 等于 A P B C D M 分析 本题为信息迁移题 是一道新定义的集合运算问题 关键是将 M P 转化为我们熟悉 的交 并 补运算 解 设全集为 I 根据定义 等价于于 是有 故选 B 说明 本题属于应用性开放题 解答本题的突破口是对新信息的理解及转化 本题主要考查 阅读理解能力和抽象字母的运算能力 3 组合型填空题 所谓组合型填空题 就是给出若干个论断要求学生将其重新组合 使其构成符合题意 的命题 解这类题 就要求学生对所学的知识点间的关系有一个透彻的理解和掌握 通过 对题目的阅读 理解 分析 比较 综合 抽象和概括 用归纳 演绎 类比等推理方法 准确地阐述自己的观点 理清思路 进而完成组合顺序 例 22 是两个不同的平面 m n 是平面及之外的两条不同直线 给出四个论断 8 以其中三个论断作为条件 余下一个论断为结论 写 出你认为正确的一个命题 分析 读题并通过 线线垂直线面垂直面面垂直 的关系的透彻理解 作草图不难得出 下面两个真命题 或 4 多选型填空题 所谓多选型填空题 就是给出若干个命题或结论 要求从中选出所有满足题意的命题 或结论来 这类题不论多选还是少选都是不能得分的 因此 这就要求学生要有扎实的基 本功和 明辨是非 的能力 解此类题时 要对其中的命题一一进行分析判断 举反例是否 定一个命题的最有效的方法 例 23 已知是直线 是平面 给出下列命题 1 若 垂直于内的两条相交直线 则 2 若 平行于 则 平行于内的所有直线 3 若且则 4 若且 则 5 若且 则 其中正确命题的序号是 注 把你认为正确的命题的序号都填上 解 命题 1 是线面垂直的判定定理 所以正确 命题 2 但 不能平行于内所有直 线 命题 3 两线 与相垂直 不能保证 即分别包含 与的平面可能平行也可 能相交而不垂直 命题 4 为面面垂直的判定定理 所以正确 命题 5 两平面平行 但分 别在两面内的直线 与可能平行 也可能异面 故正确的答案只有 1 4 说明 本题的关键是将符号语言转化为图形语言 要求考生根据符号语言提供的信息去画图 再进行推理和判断 总之 能够多角度思考问题 灵活选择方法 是快速准确地解数学填空题的关键 1 已知函数 则 2 如果函数 那么 9 3 如果函数的图象关于直线对称 那么 4 不等式 的解集为 5 以双曲线的中心为焦点 且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 6 设椭圆上一点到左准线的距离为 10 是该椭圆的左焦点 若点满 足 则 7 8 定义一种运算 对于正整数满足以下运算性质 1 2 则的值是 9 如果直线与圆相交于两点 且点 关于直线对称 则不等式组所表示的平面区域的面积为 10 已知函数 f x Acos2 x 1 A 0 0 的最大值为 3 f x 的图象在 y 轴上的 截距为 2 其相邻两对称轴间的距离为 2 则 f 1 f 2 f 3 f 100 11 若函数满足 对于任意都有 且 成立 则称函数具有性质 M 给出下列四个函数 其中具有性质 M 的函数是 注 把满足题意的所有函数的序号都填上 12 如图 在杨辉三角中 斜线 l 上方 从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿数列 1 3 3 4 6 5 10 记其前 n 项和为 Sn 则 S19 等于 10 13 已知 f x y f x f y 对任意的实数 x y 都成立 且 f 1 2 则 14 已知为坐标原点 动点满足 其中 且 则的轨迹方程为 15 从装有个球 其中个白球 1 个黑球 的口袋中取出个球 共有种取法 在这种取法中 可以分成两类 一类是 取出的个球全部为白球 共有 即有等式 成立 试根据上述思想化简下列式子 16 数列中 则 17 正三棱锥 P ABC 的底面边长为 1 E F G H 分别是 PA AC BC PB 的中点 四边形 EFGH 的面积为 S 则 S 的取值范围是 18 若四面体各棱的长是 1 或 2 且该四面体不是正四面体 则其体积是 只需写出一个可能的值 19 椭圆上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m 则当 m 取最大值时 点 P 的坐标是 20 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分 它的函数解析式是 在杯 11 内放一个玻璃球 要使球触及酒杯底部 则玻璃球的半径 r 的取值范围是 提示 答案 1 4 提示 由 得 应填 4 2 提示 容易发现 这就是我们找出的有用的规律 于是原式 应填 3 提示 其中 是已知函数的对称轴 即 于是 故应填 4 提示 注意到 于是原不等式可变形为 而 所以 故应填 5 提示 双曲线的中心为 O 0 0 该双曲线的左焦点为 F 3 0 则 抛物线的顶点为 3 0 焦点为 0 0 所以 p 6 所以抛物线方程是 6 2 提示 椭圆左准线为 左焦点为 3 0 P 12 由已知 M 为 PF 中点 M 所以 7 提示 8 提示 设 则且 即 9 提示 两点 关于直线对称 又圆心在直线 上 原不等式组变为 作出不等 式组表示的平面区域并计算得面积为 10 200 提示 11 提示 可通过作差比较得到结论 12 283 提示 由条件知道 该数列的奇数项分别为 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 偶数项分别为 3 4 5 6 7 8 9 10 11 把奇数项的前 10 项与偶数项的前 9 项相加即得 S19 2