§161平方根（1）

16 1 16 1 平方根与立方根平方根与立方根 1 1 平方根 平方根 1 1 杨瑞捷杨瑞捷 一 一 教学目标教学目标 1 掌握平方根及算术平方根的概念 2 能及时通过平方运算求一个非负数的平方根及算术平方根 3 培养学生观察问题和概括问题的能力 二 二 教学重点教学重点 平方根和算术平方根的概念和性质 三 三 教学难点教学难点 平方根与算术平方根的区别与联系 四 四 教学过程教学过程 一一 创设情境 导入新课创设情境 导入新课 洋洋在玩 七巧板 时 不小心把 七巧板 里面的正方形丢了 爸爸决 定自己做一个和原来一样的正方形 但现在只知道正方形的面积是 25 平方厘米 问爸爸能否完成这个任务 学生探讨 回答问题 二二 观察概括观察概括 由正方形的面积容易得到其边长为 5 厘米 故爸爸要完成任务只需做一个 边长为 5 厘米的正方形即可 由此引入平方根的意义 1 平方根 如果一个数的平方等于 a 则这个数叫做 a 的平方根 问题 25 的平方根只有一个吗 学生回答问题 引导发现一个正数的平方根有 2 个 且互为相反数 2 试一试 1 144 的平方根是多少 2 0 的平方根是多少 3 的平方根是多少 25 4 4 4 有没有平方根 为什么 请学生自己也编 3 道题目 同桌交换解答 你发现了什么 通过 试一试 让学生自己发现结论 教师再加以总结 概括 1 一个正数有两个平方根 且互为相反数 2 零只有一个平方根 3 负数没有平方根 3 算术平方根 正数的正的平方根 叫做的算术平方根 aa 记作 读作 根号 aa 问题 1 正数的平方根怎样记 a 2 零的算术平方根是什么 4 开平方 求一个非负数的平方根的运算 叫做开平方 引导学生认识到将一个正数开平方 关键是找出它的算术平方根 三三 练习反馈练习反馈 例 1 将下列各数开平方 1 49 2 1 69 题 1 由学生口述 老师边纠正边板演 题 2 由学生独立完成 四四 课堂小结课堂小结 本节课你有什么收获 谈谈你的看法 五五 布置作业布置作业 课本第 4 页练习第 1 题 补充 判断下列说法是否正确 1 1 的平方根是 1 2 1 的平方根是 1 3 25 的平方根是 5 4 18 324 5 9 是 9 的算术平方根 2 6 5 是 25 的平方根 16 1 16 1 平方根与立方根平方根与立方根 1 1 平方根平方根 2 2 郑劭鹏 一 一 教学目标教学目标 1 巩固平方根 算术平方根的概念 2 会用计算器求平方根 二 二 教学重点教学重点 计算器的使用操作 三 三 教学难点教学难点 领悟一个非负数的平方根存在的必然性 四 四 教学过程教学过程 一一 复习上节内容 创设问题情境复习上节内容 创设问题情境 上节课洋洋的爸爸替洋洋做了一个面积为 25 平方厘米的正方形 补齐了 七巧板 如果 七巧板 里的正方形面积是 26 平方厘米 请问 洋洋的爸 爸能否照样完成任务呢 二二 学生讨论 师生共同分析归纳学生讨论 师生共同分析归纳 这个问题即求 26 的算术平方根 分析 因为 5 6 2536 所以 5 26 6 但我们很难找到一个准确的有理数 使其平方等于 26 怎么办 三三 利用计算器求平方根利用计算器求平方根 例 用计算器求下列各数的算术平方根 1 121 2 529 3 26 解 1 在计算器上依次键入 1 2 1 显示结果为 11 所以 121 的算术平方根为 11 121 2 略 3 在计算器上依次键入 2 6 显示结果为 5 099 019 514 所以 26 的算术平方根为 5 099 019 514 26 如果精确到 0 01 那么 5 10 26 四四 练习反馈练习反馈 1 课本第 5 页练习第 2 3 题 2 补充练习 填空 精确到 0 001 1 2 354 0 3 4 6 3 5 5 的平方根是 6 的平方根是 49 五五 小结小结 1 一个非负数的平方根一般可通过平方运算或计算器求得 2 一个非负数的平方根可能是整数 也可能是小数 包括有限小数和无限 小数 六六 作业布置作业布置 课本第 7 页习题 16 1 第 1 4 题 16 1 16 1 平方根与立方根平方根与立方根 2 2 立立 方方 根根 刘雯雯 一 一 教学目标教学目标 1 理解立方根的概念 并会用根号表示 2 理解立方与开立方互为逆运算 会根据立方运算求一个数的立方根 3 会使用计算器求任意数的立方根 4 培养学生用类比的方法获取新知识的习惯 提高学生合理推理的能 力 二 二 教学重点教学重点 立方根的意义 三 三 教学难点教学难点 类比思想的运用 四 四 教学过程教学过程 一一 情景引入情景引入 现有体积为 216cm 的一个正方体木盒 它的每一条棱长是多少 3 二二 类比探索类比探索 这个问题的实质是提出怎样的一个计算问题 类比 平方根 的概念 你可 以抽象出一个什么样的概念 分组讨论 学生讨论发言 指出立方根的概念 下列各数的立方根分别是多少 1 27 2 27 3 0 自己编三道求立方根的题目 同桌交换解答 观察这些题目的答案 你有 什么发现 培养学生观察问题 概括问题的能力 概括 任何数都只有一个立方根 正数的立方根是正数 负数的立方根是 负数 0 的立方根是 0 我们已学过平方根如何表示 你能通过类比的方法 猜测立方根怎样表示 吗 学生讨论 小组合作 三三 应用举例应用举例 例 1 求下列各数的立方根 1 2 125 3 0 008 27 8 题 1 由学生口述 老师板演 其余两题由学生独立完成 例 2 用计算器求下列各数的立方根 1 1331 2 343 3 9 263 分析 与求平方根类似 可直接按书写顺序键入 学生动手操作 体会操作步骤 四四 练习巩固练习巩固 课本第 7 页练习第 1 2 题 五五 拓展延伸拓展延伸 1 27 的立方根与 27 的立方根有什么关系 2 a 的立方根与 a 的立方根有什么关系 六六 课堂小结课堂小结 这节课你学会了什么 与上节课相比有什么异同 七七 布置作业布置作业 课本第 7 页习题 16 1 第 2 3 题 16 2 16 2 二次根式二次根式 1 1 二次根式的概念二次根式的概念 陈友才 一 一 教学目标教学目标 一一 知识目标知识目标 了解二次根式的概念 理解二次根式的基本性质 二二 能力目标能力目标 培养学生分类讨论的数学思想 三三 情感目标情感目标 通过小组合作学习 体验探索学习数学的乐趣 二 二 教学重点教学重点 二次根式的基本性质 三 三 教学难点教学难点 探索化简的过程 2 a 四 四 教学过程教学过程 一一 提出问题提出问题 1 1 上一节课我们学习了平方根和算术平方根的意义 引进了一个新的记号 想a 一想 1 表示什么 a 2 需要满足什么条件 为什么 a 让学生合作交流 然后回答问题 归纳为 1 当是正数时 表示的算术平方根 aaa 当是零时 表示零 也是零的算术平方根 aa 2 是非负数 即应满足条件 0 因为负数没有平方根 aaa 概括 形如 0 的式子叫做二次根式 aa 范例 1 要使式子有意义 字母的取值必须满足什么条件 1 xx 解 由 1 0 得 x 1 x 显然可得 0 0 1 aa 探索 若 y 2 z 3 0 你能说出 x y z 的值是多少1 x 2 吗 试一试 完成课本第 10 页练习第 2 题 二二 提出问题提出问题 2 2 0 等于什么 说说你的理由并举例验证 2 aa 例如 4 10 等 通过小组活动用计算器举例验证 2 4 2 10 概括可得 0 2 2 aaa 反思 5 对不对 如果不对 错在哪里 2 5 试一试 完成课本第 10 页练习第 1 题 探索 能否用平方差公式把 3 分解因式 2 x 三三 提出问题提出问题 3 3 等于什么 的取值有没有限制 2 aa 我们不妨取 a 为 2 2 3 3 计算对应的值 有 2 2 24 2 2 2 4 3 2 39 3 2 3 9 概括 当 0 时 当 0 时 a 2 aa 2 a 也就是说 2 a 0 0 a a 引导学生体会分类讨论的数学方法 探索 与是一样的吗 说说你的理由 并与同学交流 2 a 2 a 学生分组讨论 并交流 归纳 总结 培养学生合作学习的意识 四四 知识回顾知识回顾 1 什么叫做二次根式 2 二次根式有哪些性质 1 0 0 2 0 aa 2 aaa 3 a 2 a 0 0 a a 五五 布置作业布置作业 1 课本第 14 页第 1 题 2 计算 1 2 3 4 2 5 2 7 2 8 2 16x 16 2 16 2 二次根式二次根式 3 3 二次根式的加减法二次根式的加减法 陈炳瑞 一 一 教学目标教学目标 1 使学生会辨别两个根式是同类二次根式 2 会合并同类二次根式 3 通过二次根式的加减运算 进一步体会分类的思想方法 二 二 教学重点教学重点 明确同类二次根式 会合并同类二次根式 三 三 教学难点教学难点 如何辨别两个根式是同类二次根式 四 四 教学过程教学过程 一一 新课引入新课引入 1 简述整式及同类项的概念 让学生自行编 1 2 道整式加减的题目并计 算 要求所编题目至少要有两项是同类项 例如 计算 1 2 yxyx 33 4431246 2222 baabbaab 2 请两个学生上台解答上述两题 解 1 原式 yxyx3 14 43 33 2 原式 1431 26 41 2222 baabbaab 3 简要讲评计算情况 二二 讲述新课讲述新课 1 让学生改题再计算 可改自己编的题 要求把同类项中的字母带上二次 根号 即 1 yxyx 33 443 2 2 让学生都改完题目后 提问1246 2222 baabbaab 如何计算 并鼓励学生上台计算上述两题 解 1 原式 yxxyx33 3 2 原式 143143 22 baabbaab 3 老师巡视过程中可能发现有不同解答方法 如第 1 小题答案可能有三种情况 直接合并 先合yx3 3 并 再化简 先化简 再合并 yxx3 yxx3 4 讲解什么是同类根式 什么是合并同类根式 5 以第 1 题为例 让学生充分讨论三种不同解法 提问如何选择方 法 方法一 yxyx 33 443 直接合并 但没有化成最简根式 yx3 3 方法二 yxyx 33 443 yx3 3 直接合并 再化为最简根式 yxx3 方法三 yxyx 33 443 yxx43 yxx 4 先化为最简根式 再合并 yxx3 学生讨论 发现第一种解法的答案不是最后结果 6 举两例让学生探索进行二次根式加减的方法 1 24312223233 2 3248381227 7 学生计算结果发现两题答案相同 第 1 题能直接合并 而第 2 题表面 看无同类根式 不能直接合并 通过化简二次根式后发现正好是第 1 题 因此 总结出二次根式加减的方法 应先化为最简二次根式 再合并同类二次根式 三三 课堂练习课堂练习 课本第 14 页练习第 2 题 四四 布置作业布置作业 课本第 14 页习题第 3 题的第 4 5 题 16 2 16 2 二次根式二次根式 2 2 二次根式的乘除法二次根式的乘除法 1 1 万 群 一 一 教学目标教学目标 1 使学生能够掌握二次根式的乘法运算法则 会用它进行简单的二次根式 的乘法运算 2 使学生掌握积的算术平方根的性质 会根据这一性质熟练地化简二次根 式 3 培养学生合情推理能力 二 二 教学重点教学重点 会利用积的算术平方根的性质化简二次根式 会进行简单的二次根式的乘 法运算 三 三 教学难点教学难点 二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用 四 四 教学过程教学过程 一一 引入新课引入新课 1 观察下面的例子 1 2 5 10 425 100 10 254 于是可以得到 425254 2 4 3 12 169 144 12 916 于是可以得到 169916 2 由学生归纳得出结论 由前面所举特殊例子 引导学生总结出 一般有 0 0 baabba 二二 新课新课 1 二次根式的乘法 注意 1 二次根式的乘法 可以直接利用公式 2 运算的结果 应该尽量化简 0 0 baabba 2 例 1 计算 1 2 76 2 1 32 解 1 7667 42 2 4 2 1 3232 2 1 16 等式 也可以写成 0 0 baabba 0 0 babaab 利用它可以进行二次根式的化简 例如 利用这 0 22 abababa 个性质可以对二次根式进行变形 将因式适当改变后移到根号外边 或将根号 外边的非负因式平方后移到根号内 例 2 化简 1 2 12 3 4a 解 1 1232323234 22 2 3 4aaaaaaa224 22 3 让学生思考 不查表 比较与的大小 2332 学生讨论得出 法一 231829 321234 因为 18 12 所以 1218 所以 2332 法二 18 23 2 12 32 2 因为 18 12 所以 2332 4 让学生讨论回答 用长 3cm 宽 2 5cm 的邮票 30 枚摆成一个正方形 这个正方形的边长是多 少 你可以用几种不同的方法求解 三三 作业作业 1 第 14 页习题 18 2 第 2 题的第 1 2 题 第 3 题的第 1 2 题 第 4 题 16 2 16 2 二次根式二次根式 2 2 二次根式的乘除法二次根式的乘除法 2 2 万 群 一 一 教学目标教学目标 1 使学生能掌握二次根式的除法运算法则 会用它进行简单的二次根式的 除法运算 2 使学生了解两个二次根式的商仍然是一个二次根式或有理式 二 二 教学重点教学重点 二次根式的除法运算法则以及用它进行简单的二次根式的除法运算 化简 二次根式 探索二次根式的除法运算法则的过程 三 三 教学难点教学难点 探求二次根式的除法运算法则 四 四 教学过程教学过程 一一 引入新课引入新课 回顾二次根式的乘法公式 0 0 baabba 二二 小组合作讨论 探索规律小组合作讨论 探索规律 让学生分小组讨论 参考二次根式的乘法法则的研究 探索二次根式的除 法法则 并归纳出 0 0 ba b a b a 提问 1 这里为什么要求 0 0 ba 2 能得到吗 0 0 ba b a b a 三三 范例范例 例 1 计算 1 2 3 15 3 24 1 1 由老师示范 2 可由学生讨论解题方法 提问 除了课本中的解答外 是否还有其他解法 如果有 讨论出另外解法 例如 3 15 5 3 53 9 45 33 315 2 学生讨论 上述解法哪种较简便 例 2 化简 要求分母不带根号 2 1 解 2 1 2 2 2 2 22 21 2 1 2 1 2 引导学生总结出 二次根式的化简结果应满足以下两点 1 被开方数不含分母 2 被开方数中不含能开得尽的因式或因数 也就是说 被开方数的每一 个因数或因式的指数都小于 2 引导学生总结出二次根式的化简的具体方法 化去根号下的分母 并把被开方数能开得尽的因数或因式用它的算术平方 根代替后移到根号外面 四四 做一做做一做 1 由学生板演 并由同学进行评价 化简 1 2 5 1 20 8 2 用提问的方法引导学生探索其他方法 五五 课堂练习课堂练习 第 12 页练习第 1 题的第 3 4 题 思考 化简 aab 六六 作业作业 第 14 页习题 18 2 第 2 题的第 3 题 第 3 题的第 3 题 16 3 16 3 实数与数轴实数与数轴 1 1 赵宏彬 一 一 教学目标教学目标 1 了解实数的意义 能对实数进行分类 2 了解数轴上的点与实数一一对应 能用数轴上的点表示无理数 3 会估计两个实数的大小 二 二 教学重点教学重点 了解实数意义 能对实数进行分类 了解数轴上的点与实数一一对应 并 能用数轴上的点来表示无理数 三 三 教学难点教学难点 用数轴上的点来表示无理数 四 四 教学过程教学过程 一一 创设问题情境 导入实数的概念创设问题情境 导入实数的概念 1 提出问题 问题 1 用什么方法求 其结果如何 2 问题 2 你能利用平方关系验算所得结果吗 即把所得结果平方后会等于 2 吗 为什么 问题 3 验证的结果不是 2 而是接近于 2 这说明了什么问题 问题 4 如果用计算机计算 2 结果如何呢 让学生阅读课本第 15 页计算机显示的结果 后面能否写完 后面有没有规 律呢 那么它的结果属于什么小数呢 问题 5 既然后面写不完 那么有没有一个有理数的平方等于 2 如果不2 是有理数 那么它是一个怎么样的数呢 2 回顾以往知识 1 什么叫做有理数呢 整数和分数统称有理数 2 随意写出三个分数 将它化成小数 看看结果如何 任何一个分数写成小数的形式 必定是有限小数或者无限循环小数 3 小数可以分为几种 有限小数 无限循环小数 无限不循环小数 3 导入无理数的概念 有限小数和无限循环小数都可以化为分数 所以它们都属于分数 都是有 理数 而无限不循环小数不能化为分数 所以不是有理数 我们把这样的无2 限不循环小数都叫做无理数 提问 除了之外 还有哪些也是无理数 为什么 2 有理数和无理数统称为实数 二二 试一试试一试 问题 1 按照计算器显示的结果 你能想像出在数轴上的位置吗 2 问题 2 你能在数轴上找到表示的点吗 2 请同学们准备两个边长为 1 的正方形纸片 分别沿它的对角线剪开 得到 四个什么三角形 如果把四个三角形拼成一个大的正方形 其面积为多少 其边 长为多少 根据这个事实 我们就可以画出表示 2 的点 如图 三三 反思提高反思提高 问题 1 如果将所有有理数都标到数轴上 那么数轴将被填满吗 问题 2 如果再将所有无理数都标到数轴上 那么数轴被填满了吗 总结 数轴上的任一点必定表示一个实数 反过来每一个实数 有理数或无 理数 也都可以用数轴上的一个点来表示 即实数与数轴上的点一一对应 四四 例题讲解例题讲解 例 试估计与 的大小关系 23 说明 正实数的大小比较和运算 通常可以取它们的近似值来进行 提问 若将本题改为 与 的大小关系 如何解答 23 五五 课堂练习课堂练习 课本第 17 页练习第 1 题 第 18 页练习第 3 题 六六 小结小结 1 什么叫无理数 2 什么叫实数 3 有理数和数轴上的点一一对应吗 为什么 4 无理数和数轴上的点一一对应吗