对2009年上海高考理科数学试卷第23题的研究[1].doc

对2009年上海高考理科数学试卷第23题的研究嘉定二中 谷求华考研究性问题，是上海高考数学命题改革的一个重要部分。2009年上海高考理科数学试卷第23题以两个基本数列为研究对象，让学生感觉不陌生，能上手，但要研究好、研究透，实属不易。本文以该试题为研究对象，对解答数列型等式问题做些粗浅的探索，意为抛砖引玉。【2009年上海高考理科数学试卷第23题】已知是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列。（1）若，是否存在，有？说明理由；（2）找出所有数列、，使对一切，并说明理由；（3）若，试确定所有的p，使数列中存在某个连续p项的和是数列中的一项，请证明。分析：第（1）题探索存在性，第（2）题探索一般性，第（3）题探索存在性。一般来说，探索的策略是先假设存在满足条件和结论的量，获得含有该量的等式，再由此出发求解相应的量的可能值。因为（1）（3）属于同类问题，我们先解答，然后再重点研究（2）。解：第（1）题假设存在，有成立，即，即，所以不存在，使。评价：解答此题的关键是把关于的等式变换成为用一个变量（如m）表示出另一个变量（如k），再考虑其取值范围是整数这个制约条件，即利用了数的整除性数列中的项数是整数的性质。第（3）题类似于第（1）题，设满足条件，整理得，所以是的约数，即是3的自然数次幂。不妨设，则无论是奇数还是偶数，都可以找到值，使得能被4整除。所以，当时，能使数列中存在连续p项的和是数列中的一项。评价：本小题牵涉到多个待定的量，难度明显较（1）大，但是解题的策略不改。归纳来看，这两道小题其实就是探求数列中等式成立的条件的问题，都是利用数的整除性数列中的项数是整数的性质。第（2）题是要求学生探索符合给定条件的所有数列，粗看起来很抽象，目标感不强，下面巧用数学思想对它进行研究。研究一，从特殊到一般，既是我们认识事物的过程，也是我们探索规律并得到结论的常用方法，由此我们用从特殊到一般思想来解答。设，则，由于是等比数列，即，整理得 或当时，；当时，检验不成等比数列。综上所述，数列为非零常数数列、是恒为1的常数数列。研究二，一个关于n的恒等式，可以看成为所有的正整数n都是关于n的方程的解，由此我们用方程思想来解答。设，则，即对一切正整数n都成立，解得或，当时，；当时，即，综上所述，数列为非零常数数列、是恒为1的常数数列。研究三，由于等式中的n是变化的，存在无限增大的变化过程，联想到数列的极限，由此我们用极限思想来解答。令，则，即，当时，即数列为非零常数数列、是恒为1的常数数列；当时，分子分母同除以d，得，因为，（当时，无极限）所以，即，矛盾。综上所述，数列为非零常数数列、是恒为1的常数数列。研究四，教材明确指出数列是一类特殊的函数，和都可以看作自变量为n的函数，由此我们用函数思想来解答。令，则，即，当时，即数列为非零常数数列、是恒为1的常数数列；当时，分子分母同除以d，得，若，则，有；若，则，也有。 ，又是减函数， ，等式左边随n的变化呈双曲线规律（类反比例函数）变化，等式右边随n的变化呈指数曲线规律（指数函数）变化，所以等式并不能对一切都成立。综上所述，数列为非零常数数列、是恒为1的常数数列。评价：数列中等式