2017年高三深一模数学试卷(理科)(带完美解析)

第 1 页 共 28 页 2017 年广东省深圳市高考数学一模试卷 理科 年广东省深圳市高考数学一模试卷 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 60 分分 在每小题给出的四个选项中 只在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 若集合 A 2 4 6 8 B x x2 9x 18 0 则 A B A 2 4 B 4 6 C 6 8 D 2 8 2 若复数 a R 为纯虚数 其中 i 为虚数单位 则 a A 2 B 3 C 2 D 3 3 袋中装有大小相同的四个球 四个球上分别标有数字 2 3 4 6 现从中随机选取 三个球 则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是 A B C D 4 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn a 3n 1 b 则 A 3 B 1 C 1 D 3 5 直线 l kx y 4 0 k R 是圆 C x2 y2 4x 4y 6 0 的一条对称轴 过点 A 0 k 作斜 率为 1 的直线 m 则直线 m 被圆 C 所截得的弦长为 A B C D 2 6 祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家 他在实践的基础上提出了体积计算的 原理 幂势既同 则积不容异 意思是 如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面 积恒等 那么这两个几何体的体积相等 此即祖暅原理 利用这个原理求球的体积时 需 要构造一个满足条件的几何体 已知该几何体三视图如图所示 用一个与该几何体的下底 面平行相距为 h 0 h 2 的平面截该几何体 则截面面积为 第 2 页 共 28 页 A 4 B h2 C 2 h 2 D 4 h 2 7 函数 f x cosx 的图象大致是 8 已知 a b 0 c 0 下列不等关系中正确的是 A ac bc B ac bc C loga a c logb b c D 9 执行如图所示的程序框图 若输入 p 2017 则输出 i 的值为 第 3 页 共 28 页 A 335 B 336 C 337 D 338 10 已知 F 是双曲线 E 1 a 0 b 0 的右焦点 过点 F 作 E 的一条渐近线的 垂线 垂足为 P 线段 PF 与 E 相交于点 Q 记点 Q 到 E 的两条渐近线的距离之积为 d2 若 FP 2d 则该双曲线的离心率是 A B 2 C 3 D 4 11 已知棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 球 O 与该正方体的各个面相切 则平面 ACB1 截此球所得的截面的面积为 A B C D 12 已知函数 f x x 0 e 为自然对数的底数 关于 x 的方程 0 有 四个相异实根 则实数 的取值范围是 A 0 B 2 C e D 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 20 分 将答案填在答题纸上分 将答案填在答题纸上 13 已知向量 1 2 x 3 若 则 14 5的二项展开式中 含 x 的一次项的系数为 用数字作答 15 若实数 x y 满足不等式组 目标函数 z kx y 的最大值为 12 最小值为 0 则实数 k 16 已知数列 an 满足 nan 2 n 2 an n2 2n 其中 a1 1 a2 2 若 an an 1对 n N 恒成立 则实数 的取值范围是 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 4 页 共 28 页 17 12 分 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 2a csinA acosC 1 求 C 2 若 c 求 ABC 的面积 S 的最大值 18 12 分 如图 四边形 ABCD 为菱形 四边形 ACEF 为平行四边形 设 BD 与 AC 相交于 点 G AB BD 2 AE EAD EAB 1 证明 平面 ACEF 平面 ABCD 2 若 AE 与平面 ABCD 所成角为 60 求二面角 B EF D 的余弦值 19 某市为了鼓励市民节约用电 实行 阶梯式 电价 将该市每户居民的月用电量划分为 三档 月用电量不超过 200 度的部分按 0 5 元 度收费 超过 200 度但不超过 400 度的部分 按 0 8 元 度收费 超过 400 度的部分按 1 0 元 度收费 1 求某户居民用电费用 y 单位 元 关于月用电量 x 单位 度 的函数解析式 2 为了了解居民的用电情况 通过抽样 获得了今年 1 月份 100 户居民每户的用电量 统计分析后得到如图所示的频率分布直方图 若这 100 户居民中 今年 1 月份用电费用不 超过 260 元的点 80 求 a b 的值 第 5 页 共 28 页 3 在满足 2 的条件下 若以这 100 户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电 量的概率 且同组中的数据用该组区间的中点值代替 记 Y 为该居民用户 1 月份的用电费 用 求 Y 的分布列和数学期望 20 12 分 已成椭圆 C 1 a b 0 的左右顶点分别为 A1 A2 上下顶点分别 为 B2 B1 左右焦点分别为 F1 F2 其中长轴长为 4 且圆 O x2 y2 为菱形 A1B1A2B2的 内切圆 1 求椭圆 C 的方程 2 点 N n 0 为 x 轴正半轴上一点 过点 N 作椭圆 C 的切线 l 记右焦点 F2在 l 上的 射影为 H 若 F1HN 的面积不小于n2 求 n 的取值范围 21 12 分 已知函数 f x xlnx e 为自然对数的底数 1 求曲线 y f x 在 x e 2处的切线方程 2 关于 x 的不等式 f x x 1 在 0 上恒成立 求实数 的值 3 关于 x 的方程 f x a 有两个实根 x1 x2 求证 x1 x2 2a 1 e 2 选修选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 22 在直角坐标系中 xOy 中 已知曲线 E 经过点 P 1 其参数方程为 为参数 以原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1 求曲线 E 的极坐标方程 2 若直线 l 交 E 于点 A B 且 OA OB 求证 为定值 并求出这个定 值 第 6 页 共 28 页 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 23 已知 f x x a g x x 3 x 记关于 x 的不等式 f x g x 的解集为 M 1 若 a 3 M 求实数 a 的取值范围 2 若 1 1 M 求实数 a 的取值范围 第 7 页 共 28 页 2017 年广东省深圳市高考数学一模试卷 理科 年广东省深圳市高考数学一模试卷 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 60 分分 在每小题给出的四个选项中 只在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 若集合 A 2 4 6 8 B x x2 9x 18 0 则 A B A 2 4 B 4 6 C 6 8 D 2 8 考点 交集及其运算 分析 求出 B 中不等式的解集确定出 B 找出 A 与 B 的交集即可 解答 解 A 2 4 6 8 B x x2 9x 18 0 x x 3 x 6 0 x 3 x 6 A B 4 6 故选 B 2 若复数 a R 为纯虚数 其中 i 为虚数单位 则 a A 2B 3C 2D 3 考点 复数代数形式的乘除运算 分析 直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 根据已知条件列出方程组 求解 即可得答案 解答 解 复数 a R 为纯虚数 解得 a 2 故选 C 3 袋中装有大小相同的四个球 四个球上分别标有数字 2 3 4 6 现从中随机选取 第 8 页 共 28 页 三个球 则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是 A B C D 考点 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 分析 现从中随机选取三个球 基本事件总数 n 4 所选的三个球上的数字能构成等 差数列包含的基本事件的个数 由此能求出所选的三个球上的数字能构成等差数列的概 率 解答 解 袋中装有大小相同的四个球 四个球上分别标有数字 2 3 4 6 现从中随机选取三个球 基本事件总数 n 4 所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有 2 3 4 2 4 6 共有 2 个 所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是 p 故选 B 4 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn a 3n 1 b 则 A 3B 1C 1D 3 考点 等比数列的通项公式 分析 由等比数列 an 的前 n 项和求出前 3 项 由此能求出利用等比数列 an 中 能求出 解答 解 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn a 3n 1 b a1 S1 a b a2 S2 S1 3a b a b 2a a3 S3 S2 9a b 3a b 6a 等比数列 an 中 2a 2 a b 6a 第 9 页 共 28 页 解得 3 故选 A 5 直线 l kx y 4 0 k R 是圆 C x2 y2 4x 4y 6 0 的一条对称轴 过点 A 0 k 作斜 率为 1 的直线 m 则直线 m 被圆 C 所截得的弦长为 A B C D 2 考点 直线与圆的位置关系 分析 求出圆的标准方程可得圆心和半径 由直线 l kx y 4 0 经过圆 C 的圆心 2 2 求得 k 的值 可得点 A 的坐标 求出圆心到直线的距离 即可得出结论 解答 解 圆 C x2 y2 4x 4y 6 0 即 x 2 2 y 2 2 2 表示以 C 2 2 为圆心 半径等于的圆 由题意可得 直线 l kx y 4 0 经过圆 C 的圆心 2 2 故有 2k 2 4 0 k 3 点 A 0 3 直线 m y x 3 圆心到直线的距离 d 直线 m 被圆 C 所截得的弦长为 2 故选 C 6 祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家 他在实践的基础上提出了体积计算的 原理 幂势既同 则积不容异 意思是 如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面 积恒等 那么这两个几何体的体积相等 此即祖暅原理 利用这个原理求球的体积时 需 要构造一个满足条件的几何体 已知该几何体三视图如图所示 用一个与该几何体的下底 面平行相距为 h 0 h 2 的平面截该几何体 则截面面积为 第 10 页 共 28 页 A 4 B h2C 2 h 2D 4 h 2 考点 由三视图求面积 体积 分析 由题意 首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥 得到截面为圆 明确其半径 求面积 解答 解 由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥 底面半径为 2 高为 2 设截面 的圆半径为 r 则 得到 r h 所以截面圆的面积为 h2 故选 B 7 函数 f x cosx 的图象大致是 A B C D 考点 函数的图象 第 11 页 共 28 页 分析 先判断函数的奇偶性 再判断函数值 问题得以解决 解答 解 f x cos x cosx f x f x 为奇函数 函数 f x 的图象关于原点对称 当 x 0 时 cosx 0 0 f x 0 在 0 上恒成立 故选 C 8 已知 a b 0 c 0 下列不等关系中正确的是 A ac bcB ac bc C loga a c logb b c D 考点 不等式的基本性质 分析 根据不等式的性质求出 a b c b a c 以及 a c b c 0 从而求出答案 解答 解 a b 0 c 0 c 0 a c b c 0 ac bc 故 a b c b a c 故 故选 D 9 执行如图所示的程序框图 若输入 p 2017 则输出 i 的值为 第 12 页 共 28 页 A 335 B 336 C 337 D 338 考点 程序框图 分析 根据题意 模拟程序框图的运行过程 即可得出输出 i 的值 解答 解 模拟程序的运行 可得程序框图的功能是统计 1 到 2017 这些数中能同时被 2 和 3 整除的数的个数 i 由于 2017 336 6 1 故程序框图输出的 i 的值为 336 故选 B 10 已知 F 是双曲线 E 1 a 0 b 0 的右焦点 过点 F 作 E 的一条渐近线的 垂线 垂足为 P 线段 PF 与 E 相交于点 Q 记点 Q 到 E 的两条渐近线的距离之积为 d2 若 FP 2d 则该双曲线的离心率是 A B 2C 3D 4 第 13 页 共 28 页 考点 双曲线的简单性质 分析 E 上任意一点 Q x y 到两条渐近线的距离之积为 d1d2 d2 F c 0 到渐近线 bx ay 0 的距离为 b 2d 求出可 求双曲线的离心率 解答 解 E 上任意一点 Q x y 到两条渐近线的距离之积为 d1d2 d2 F c 0 到渐近线 bx ay 0 的距离为 b 2d e 2 故选 B 11 已知棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 球 O 与该正方体的各个面相切 则平面 ACB1 截此球所得的截面的面积为 A B C D 考点 球的体积和表面积 分析 求出平面 ACB1截此球所得的截面的圆的半径 即可求出平面 ACB1截此球所得的 截面的面积 解答 解 由题意 球心与 B 的距离为 B 到平面 ACB1的距离为 球的半径为 1 球心到平面 ACB1的距离为 平面 ACB1截此球所得的 截面的圆的半径为 平面 ACB1截此球所得的截面的面积为 故选 A 第 14 页 共 28 页 12 已知函数 f x x 0 e 为自然对数的底数 关于 x 的方程 0 有 四个相异实根 则实数 的取值范围是 A 0 B 2 C e D 考点 根的存在性及根的个数判断 分析 求导数 确定函数的单调性 可得 x 2 时 函数取得极大值 关于 x 的方程 0 有四个相异实根 则 t 0 的一根在 0 另一根在 之间 即可得出结论 解答 解 由题意 f x x 0 或 x 2 时 f x 0 函数单调递减 0 x 2 时 f x 0 函数单调递增 x 2 时 函数取得极大值 关于 x 的方程 0 有四个相异实根 则 t 0 的一根在 0 另一根 在 之间 e 故选 C 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 20 分 将答案填在答题纸上分 将答案填在答题纸上 13 已知向量 1 2 x 3 若 则 5 考点 平面向量的坐标运算 分析 可得 0 解得 x 再利用向量模的计算公式即可得出 解答 解 x 6 0 解得 x 6 5 5 第 15 页 共 28 页 5 故答案为 5 14 5的二项展开式中 含 x 的一次项的系数为 5 用数字作答 考点 二项式系数的性质 分析 写出二项展开式的通项 由 x 的指数等于 1 求得 r 值 则答案可求 解答 解 5的二项展开式中 通项公式为 Tr 1 1 r 令 1 得 r 1 二项式 5的展开式中含 x 的一次项系数为 1 5 故答案为 5 15 若实数 x y 满足不等式组 目标函数 z kx y 的最大值为 12 最小值为 0 则实数 k 3 考点 简单线性规划 分析 先画出可行域 得到角点坐标 利用 k 与 0 的大小 分类讨论 结合目标函数的 最值求解即可 解答 解 实数 x y 满足不等式组的可行域如图 得 A 1 3 B 1 2 C 4 0 第 16 页 共 28 页 当 k 0 时 目标函数 z kx y 的最大值为 12 最小值为 0 不满足题意 当 k 0 时 目标函数 z kx y 的最大值为 12 最小值为 0 当直线 z kx y 过 C 4 0 时 Z 取得最大值 12 当直线 z kx y 过 A 3 1 时 Z 取得最小值 0 可得 k 3 满足题意 当 k 0 时 目标函数 z kx y 的最大值为 12 最小值为 0 当直线 z kx y 过 C 4 0 时 Z 取得最大值 12 可得 k 3 当直线 z kx y 过 B 1 2 时 Z 取得最小值 0 可得 k 2 无解 综上 k 3 故答案为 3 16 已知数列 an 满足 nan 2 n 2 an n2 2n 其中 a1 1 a2 2 若 an an 1对 n N 恒成立 则实数 的取值范围是 0 考点 数列递推式 分析 把已知递推式变形 可得数列 的奇数项与偶数项均是以 为公差的等差数列 分类求其通项公式 代入 an an 1 分离参数 求解 解答 解 由 nan 2 n 2 an n2 2n n n 2 第 17 页 共 28 页 得 数列 的奇数项与偶数项均是以 为公差的等差数列 a1 1 a2 2 当 n 为奇数时 当 n 为偶数时 当 n 为奇数时 由 an an 1 得 即 n 1 2 若 n 1 R 若 n 1 则 0 当 n 为偶数时 由 an an 1 得 即 3n 2 即 0 综上 的取值范围为 0 故答案为 0 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 2a csinA acosC 1 求 C 2 若 c 求 ABC 的面积 S 的最大值 第 18 页 共 28 页 考点 正弦定理 余弦定理 分析 1 由正弦定理 三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 sin C 1 结 合 C 的范围 可得 C 的值 2 由余弦定理 基本不等式可求 ab 1 进而利用三角形面积公式可求 ABC 面积的最 大值 解答 本题满分为 12 分 解 1 2a csinA acosC 由正弦定理可得 2sinA sinCsinA sinAcosC 2 分 sinA 0 可得 2 sinC cosC 解得 sin C 1 C 0 可得 C C 可得 C 6 分 2 由 1 可得 cosC 由余弦定理 基本不等式可得 3 b2 a2 ab 3ab 即 ab 1 当且仅当 b a 时取等号 8 分 S ABC absinC ab 可得 ABC 面积的最大值为 12 分 18 如图 四边形 ABCD 为菱形 四边形 ACEF 为平行四边形 设 BD 与 AC 相交于点 G AB BD 2 AE EAD EAB 1 证明 平面 ACEF 平面 ABCD 2 若 AE 与平面 ABCD 所成角为 60 求二面角 B EF D 的余弦值 第 19 页 共 28 页 考点 二面角的平面角及求法 平面与平面垂直的判定 分析 1 连接 EG 由四边形 ABCD 为菱形 可得 AD AB BD AC DG GB 可证 EAD EAB 进一步证明 BD 平面 ACEF 则平面 ACEF 平面 ABCD 2 法一 过 G 作 EF 的垂线 垂足为 M 连接 MB MG MD 可得 EAC 为 AE 与面 ABCD 所成的角 得到 EF 平面 BDM 可得 DMB 为二面角 B EF D 的平面角 在 DMB 中 由余弦定理求得 BMD 的余弦值 进一步得到二面角 B EF D 的余弦值 法二 在平面 ABCD 内 过 G 作 AC 的垂线 交 EF 于 M 点 由 1 可知 平面 ACEF 平 面 ABCD 得 MG 平面 ABCD 则直线 GM GA GB 两两互相垂直 分别以 GA GB GM 为 x y z 轴建立空间直角坐标系 G xyz 分别求出平面 BEF 与平面 DEF 的一个法向量 由 两法向量所成角的余弦值可得二面角 B EF D 的余弦值 解答 1 证明 连接 EG 四边形 ABCD 为菱形 AD AB BD AC DG GB 在 EAD 和 EAB 中 AD AB AE AE EAD EAB EAD EAB ED EB 则 BD EG 又 AC EG G BD 平面 ACEF BD 平面 ABCD 平面 ACEF 平面 ABCD 2 解法一 过 G 作 EF 的垂线 垂足为 M 连接 MB MG MD 易得 EAC 为 AE 与面 ABCD 所成的角 第 20 页 共 28 页 EAC 60 EF GM EF BD EF 平面 BDM DMB 为二面角 B EF D 的平面角 可求得 MG DM BM 在 DMB 中 由余弦定理可得 cos BMD 二面角 B EF D 的余弦值为 解法二 如图 在平面 ABCD 内 过 G 作 AC 的垂线 交 EF 于 M 点 由 1 可知 平面 ACEF 平面 ABCD MG 平面 ABCD 直线 GM GA GB 两两互相垂直 分别以 GA GB GM 为 x y z 轴建立空间直角坐标系 G xyz 可得 EAC 为 AE 与平面 ABCD 所成的角 EAC 60 则 D 0 1 0 B 0 1 0 E F 设平面 BEF 的一个法向量为 则 取 z 2 可得平面 BEF 的一个法向量为 同理可求得平面 DEF 的一个法向量为 cos 第 21 页 共 28 页 二面角 B EF D 的余弦值为 19 某市为了鼓励市民节约用电 实行 阶梯式 电价 将该市每户居民的月用电量划分为 三档 月用电量不超过 200 度的部分按 0 5 元 度收费 超过 200 度但不超过 400 度的部分 按 0 8 元 度收费 超过 400 度的部分按 1 0 元 度收费 1 求某户居民用电费用 y 单位 元 关于月用电量 x 单位 度 的函数解析式 2 为了了解居民的用电情况 通过抽样 获得了今年 1 月份 100 户居民每户的用电量 统计分析后得到如图所示的频率分布直方图 若这 100 户居民中 今年 1 月份用电费用不 超过 260 元的点 80 求 a b 的值 3 在满足 2 的条件下 若以这 100 户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电 量的概率 且同组中的数据用该组区间的中点值代替 记 Y 为该居民用户 1 月份的用电费 用 求 Y 的分布列和数学期望 第 22 页 共 28 页 考点 离散型随机变量的期望与方差 频率分布直方图 离散型随机变量及其分布列 分析 1 利用分段函数的性质即可得出 2 利用 1 结合频率分布直方图的性质即可得出 3 由题意可知 X 可取 50 150 250 350 450 550 结合频率分布直方图的性质即可 得出 解答 解 1 当 0 x 200 时 y 0 5x 当 200 x 400 时 y 0 5 200 0 8 x 200 0 8x 60 当 x 400 时 y 0 5 200 0 8 200 1 0 x 400 x 140 所以 y 与 x 之间的函数解析式为 y 2 由 1 可知 当 y 260 时 x 400 则 P x 400 0 80 结合频率分布直方图可知 0 1 2 100b 0 3 0 8 100a 0 05 0 2 a 0 0015 b 0 0020 3 由题意可知 X 可取 50 150 250 350 450 550 当 x 50 时 y 0 5 50 25 P y 25 0 1 当 x 150 时 y 0 5 150 75 P y 75 0 2 当 x 250 时 y 0 5 200 0 8 50 140 P y 140 0 3 当 x 350 时 y 0 5 200 0 8 150 220 P y 220 0 2 当 x 450 时 y 0 5 200 0 8 200 1 0 50 310 P y 310 0 15 当 x 550 时 y 0 5 200 0 8 200 1 0 150 410 P y 410 0 05 故 Y 的概率分布列为 Y257514022 0 310410 P0 10 20 30 20 150 05 所以随机变量 Y 的数学期望 EY 25 0 1 75 0 2 140 0 3 220 0 2 310 0 15 410 0 05 170 5 第 23 页 共 28 页 20 已成椭圆 C 1 a b 0 的左右顶点分别为 A1 A2 上下顶点分别为 B2 B1 左右焦点分别为 F1 F2 其中长轴长为 4 且圆 O x2 y2 为菱形 A1B1A2B2的内切 圆 1 求椭圆 C 的方程 2 点 N n 0 为 x 轴正半轴上一点 过点 N 作椭圆 C 的切线 l 记右焦点 F2在 l 上的 射影为 H 若 F1HN 的面积不小于n2 求 n 的取值范围 考点 椭圆的简单性质 分析 1 由题意求得 a 直线 A2B2的方程为 利用点到直线的距离公式 即可 求得 b 的值 求得椭圆 C 的方程 2 设直线方程 代入椭圆方程 由 0 求得 m 和 n 的关系 利用三角形的面积公式 求得 m 的取值范围 代入即可求得 n 的取值范围 解答 解 1 由题意知 2a 4 所以 a 2 所以 A1 2 0 A2 2 0 B1 0 b B2 0 b 则 直线 A2B2的方程为 即 bx 2y 2b 0 所以 解得 b2 3 故椭圆 C 的方程为 2 由题意 可设直线 l 的方程为 x my n m 0 联立 消去 x 得 3m2 4 y2 6mny 3 n2 4 0 由直线 l 与椭圆 C 相切 得 6mn 2 4 3 3m2 4 n2 4 0 化简得 3m2 n2 4 0 设点 H mt n t 由 1 知 F1 1 0 F2 1 0 则 1 第 24 页 共 28 页 解得 t 所以 F1HN 的面积 n 1 丨 丨 代入 3m2 n2 4 0 消去 n 化简得 丨 m 丨 所以 丨 m 丨 n2 3m2 4 解得 丨 m 丨 2 即 m2 4 从而 4 又 n 0 所以 n 4 故 n 的取值范围为 4 21 已知函数 f x xlnx e 为自然对数的底数 1 求曲线 y f x 在 x e 2处的切线方程 2 关于 x 的不等式 f x x 1 在 0 上恒成立 求实数 的值 3 关于 x 的方程 f x a 有两个实根 x1 x2 求证 x1 x2 2a 1 e 2 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 利用导数研究曲线上某点切线方程 分析 1 求出函数的导数 计算 f e 2 和 f e 2 的值 求出切线方程即可 2 求出函数 g x 的导数 得到函数的单调区间 求出函数的极小值 从而求出 的 值即可 3 记 h x f x x e 2 xlnx x e 2 求出 h x 的最小值 得到 a 1 f x2 x2 1 得到 x1 x2 x2 x1 从而证出结论 解答 解 1 对函数 f x 求导得 f x lnx 1 f e 2 lne 2 1 1 又 f e 2 e 2lne 2 2e 2 曲线 y f x 在 x e 2处的切线方程为 y 2e 2 x e 2 第 25 页 共 28 页 即 y x e 2 2 记 g x f x x 1 xlnx x 1 其中 x 0 由题意知 g x 0 在 0 上恒成立 下面求函数 g x 的最小值 对 g x 求导得 g x lnx 1 令 g x 0 得 x e 1 当 x 变化时 g x g x 变化情况列表如下 x 0 e 1 e 1 e 1 g x 0 g x 递减极小值递增 g x min g x 极小值 g e 1 1 e 1 e 1 1 e 1 e 1 0 记 G e 1 则 G 1 e 1 令 G 0 得 1 当 变化时 G G