二次函数中的分类讨论思想

金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 二次函数中的分二次函数中的分类讨论类讨论思想思想 一 例题分析归类 一 例题分析归类 一 正向型 一 正向型 是指已知二次函数和定义域区间 求其最值 对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决 这类问题的关键 此类问题包括以下四种情形 1 轴定 区间定 2 轴定 区间变 3 轴变 区 间定 4 轴变 区间变 1 1 轴定区间定轴定区间定 例 1 2008 年陕西卷 22 本小题满分 14 分 设函数 3222 1 21 f xxaxa xg xaxx 其中实数0a 若0a 求函数 f x的单调区间 当函数 yf x 与 yg x 的图象只有一个公共点且 g x存在最小值时 记 g x的最小值为 h a 求 h a的值域 若 f x与 g x在区间 2 a a 内均为增函数 求a的取值范围 2 2 轴定区间动轴定区间动 例 2 全国卷 设 a 为实数 函数 2 1 f xxxaaR 求 f x 的最小值 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 3 3 轴动区间定轴动区间定 评注 已知 2 0 f xaxbxc a 按对称轴与定义域区间的位置关系 由数形结合可得 f x在 m n上的最大值或最小值 例 3 求函数 axxy 在 1 1 x上的最大值 4 4 轴变区间变轴变区间变 例 4 已知 2 4 0 ya xa a 求 22 3 uxy 的最小值 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 二 逆向型 二 逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值 求函数或区间中的参数值 例 5 已知函数 2 21f xaxax 在区间 3 2 上的最大值为 4 求实数 a 的值 例 6 已知函数 2 2 x f xx 在区间 m n上的值域是 3 3 mn 求 m n 的值 练习 练习 1 2008 江西卷 21 已知函数 43224 11 0 43 f xxaxa xaa 1 求函数 yf x 的单调区间 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 2 若函数 yf x 的图像与直线1y 恰有两个交点 求a的取值范围 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 2 已知二次函数 2 21 1f xaxax 在区间 3 2 2 上的最大值为 3 求实数 a 的值 3 2008 山东卷 21 本小题满分 12 分 设函数 2132 x f xx eaxbx 已知2x 和1x 为 f x的极值点 求a和b的值 讨论 f x的单调性 设 32 2 3 g xxx 试比较 f x与 g x的大小 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 二次函数中的分二次函数中的分类讨论类讨论思想思想 例题答案 例题答案 例例 1 1 解 22 323 3 a fxxaxaxxa 又0a 当 3 a xax 或时 0fx 当 3 a ax 时 0fx f x在 a 和 3 a 内是增函数 在 3 a a 内是减函数 由题意知 3222 121xaxa xaxx 即 22 2 0 x xa 恰有一根 含重根 2 2a 0 即2 a 2 又0a 2 0 0 2 a 当0a 时 g x才存在最小值 0 2 a 2 11 g xa xa aa 1 0 2 h aaa a h a的值域为 2 1 2 当0a 时 f x在 a 和 3 a 内是增函数 g x在 1 a 内是增函 数 由题意得 0 3 1 a a a a a 解得a 1 当0a 时 f x在 3 a 和 a 内是增函数 g x在 1 a 内是增函数 由题意得 0 2 3 1 2 a a a a a 解得a 3 综上可知 实数a的取值范围为 3 1 例例 2 1 当xa 时 2 13 24 f xxa 若 1 2 a 则 min 13 24 f xfa 若 1 2 a 则 2 min 1f xf aa 2 当xa 时 2 13 24 f xxa 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 若 1 2 a 则 2 min 1f xf aa 若 1 2 a 则 min 13 24 f xfa 综上所述 当 1 2 a 时 min 3 4 f xa 当 11 22 a 时 2 min 1f xa 当 1 2 a 时 min 3 4 f xa 例例 3 解析 函数 4 2 2 2 aa xy 图象的对称轴方程为 2 a x 应分1 2 1 a 1 2 a 1 2 a 即22 a 2 a和2 a这三种情形讨论 下列三图分别为 1 2 a 由图可知 max 1 f xf 2 a 22 由图可知 max 2 a f xf 3 2 a时 由图可知 max 1 f xf 2 1 22 2 2 1 af a a f af y最大 即 2 1 22 4 2 1 2 aa a a aa y最大 例例 4 解析 将 2 4 ya xa 代入 u 中 得 即时 即时 所以 例例 5 解析 2 1 1 3 2 f xa xa x 1 若0 1 af x 不合题意 2 若0 a 则 max 2 81f xfa 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 由814a 得 3 8 a 3 若0a 时 则 max 1 1f xfa 由14a 得3a 综上知 3 8 a 或3a 例例 6 解析 1 讨论对称轴中 1 与 2 mn mn 的位置关系 若 则 max min 3 3 f xf nn f xf mm 解得 若1 2 mn n 则 max min 1 3 3 f xfn f xf mm 无解 若1 2 mn m 则 max min 1 3 3 f xfn f xf nm 无解 若 则 max min 3 3 f xf mn f xf nm 无解 综上 4 0mn 解析 2 由 2 11 1 22 f xx 知 11 3 26 nn 则 1 m n f x 在 m n上递增 所以 max min 3 3 f xf nn f xf mm 解得4 0mn 评注 解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值 缩小了 m n 的取值范围 避开了繁难的分 类讨论 解题过程简洁 明了 练习答案 练习答案 1 1 解 1 因为 322 2 2 fxxaxa xx xa xa 令 0fx 得 123 2 0 xa xxa 由0a 时 fx 在 0fx 根的左右的符号如下表所示 x 2 a 2a 2 0 a 0 0 a a a fx 0 0 0 f x A极小值A极大值A极小值A 所以 f x的递增区间为 2 0 aa 与 f x的递减区间为 2 0 aa 与 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 2 由 1 得到 4 5 2 3 f xfaa 极小值 4 7 12 f xf aa 极小值 4 0 f xfa 极大值 要使 f x的图像与直线1y 恰有两个交点 只要 44 57 1 312 aa 或 4 1a 即 4 12 7 a 或01a 2 2 分析 这是一个逆向最值问题 若从求最值入手 需分0a 与0a 两大类五种情形讨论 过程繁琐不 堪 若注意到 f x的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到 因此先计算这些点的函数值 再检 验其真假 过程简明 解 1 令 21 3 2 a f a 得 1 2 a 此时抛物线开口向下 对称轴为 且 3 2 2 2 故 1 2 a 不合题意 2 令 2 3f 得 1 2 a 此时抛物线开口向上 闭区间的右端点距离对称轴远些 故 1 2 a 符合题意 3 若 2 3 3 f 得 2 3 a 经检验 符合题意 综上 1 2 a 或 2 3 a 评注 本题利用特殊值检验法 先计算特殊点 闭区间的端点 抛物线的顶点 的函数值 再 检验其真假 思路明了 过程简洁 是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法 3 3 21 解 因为 122 e 2 32 x fxxxaxbx 1 e 2 32 x xxxaxb 又2x 和1x 为 f x的极值点 所以 2 1 0ff 因此 620 3320 ab ab 解方程组得 1 3 a 1b 因为 1 3 a 1b 所以 1 2 e1 x fxx x 令 0fx 解得 1 2x 2 0 x 3 1x 因为当 2 x 01 时 0fx 当 2 0 1 x 时 0fx 所以 f x在 2 0 和 1 上是单调递增的 在 2 和 01 上是单调递减的 由 可知 2132 1 e 3 x f xxxx 故 21321 e e xx f xg xxxxx 令 1 exh xx 则 1 e1 x