平面向量易错题

1 平面向量易错题解析平面向量易错题解析 1 你熟悉平面向量的运算 和 差 实数与向量的积 数量积 运算性质和运算的几何意 义吗 2 你通常是如何处理有关向量的模 长度 的问题 利用 2 2 aa 22 yxa 3 你知道解决向量问题有哪两种途径 向量运算 向量的坐标运算 4 你弄清 与 了吗 0 2121 yyxxba0 1221 yxyxba 问题问题 两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别 1 在实数中 若 且 ab 0 则 b 0 但在向量的数量积中 若 且0 a 0a 不能推出 0 ba 0b 2 已知实数 且 则 a c 但在向量的数量积中没有 obcba bcab cacbba 3 在实数中有 但是在向量的数量积中 cbacba 这是因为左边是与共线的向量 而右边是与共线的 cbacba c a 向量 5 5 向量的平移公式 函数图象的平移公式你掌握了吗 6 6 正弦定理 余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗 三角形内的求值 化简和证明恒等 式有什么特点 1 1 向量有关概念 向量有关概念 1 向量的概念向量的概念 既有大小又有方向的量 注意向量和数量的区别 向量常用有向线 段来表示 注意不能说向量就是有向线段不能说向量就是有向线段 为什么 向量可以平移 如如已知 A 1 2 B 4 2 则把向量按向量 1 3 平移后得到的向量是 答 3 0 AB a 2 零向量零向量 长度为 0 的向量叫零向量 记作 注意零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的 0 3 单位向量单位向量 长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与共线的单位向量是AB AB AB 4 相等向量相等向量 长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量 相等向量有传递性 5 平行向量 也叫共线向量 平行向量 也叫共线向量 方向相同或相反的非零向量 叫做平行向量 记ab 作 规定零向量和任何向量平行规定零向量和任何向量平行 提醒提醒 相等向量一定是共线向量 但共线向量ab 不一定相等 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念 两个向量平行包含两个 向量共线 但两条直线平行不包含两条直线重合 平行向量无传递性平行向量无传递性 因为有 三0 点共线共线 ABC AB AC 6 相反向量相反向量 长度相等方向相反的向量叫做相反向量 的相反向量是 aa 如如下列命题 1 若 则 2 两个向量相等的充要条件是它们的起点相ab ab 2 同 终点相同 3 若 则是平行四边形 4 若是平行四边形 ABDC ABCDABCD 则 5 若 则 6 若 则 其中正确的是ABDC ab bc ac ab bc ac 答 4 5 2 2 向量的表示方法 向量的表示方法 1 几何表示法 用带箭头的有向线段表示 如 注意起点AB 在前 终点在后 2 符号表示法 用一个小写的英文字母来表示 如 等 abc 3 坐标表示法 在平面内建立直角坐标系 以与轴 轴方向相同的两个单位向量 xyi 为基底 则平面内的任一向量可表示为 称为向量的坐标 ja axiy jx y x ya 叫做向量的坐标表示 如果向量的起点在原点向量的起点在原点 那么向量的坐标与向量的终点a x ya 坐标相同 3 3 平面向量的基本定理平面向量的基本定理 如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对该平面内 的任一向量 a 有且只有一对实数 使 a e1 e2 如 如 1 1 若 1 2 1 2 1 1 ab 则 答 2 2 下列向量组中 能作为平面内所有 1 1 1 2 c c 13 22 ab 向量基底的是 A B C D 12 0 0 1 2 ee 12 1 2 5 7 ee 12 3 5 6 10 ee 答 B 3 3 已知分别是的边上的中线 且 12 13 2 3 24 ee AD BE ABC BC AC 则可用向量表示为 答 4 4 已知中 点 ADa BEb BC a b 24 33 ab ABC 在边上 且 则的值是 答 0 DBC DBCD2 ACsABrCDsr 4 4 实数与向量的积 实数与向量的积 实数与向量的积是一个向量 记作 它的长度和方向规 a a 定如下 当 0 时 的方向与的方向相同 当0 当 P 点 12 在线段 P P 的延长线上时 1 当 P 点在线段 P P 的延长线上时 12 21 10 若点 P 分有向线段所成的比为 则点 P 分有向线段所成的比为 如如若点分 12 PP 21 P P 1 P 所成的比为 则分所成的比为 答 AB 3 4 ABP 7 3 3 3 线段的定比分点公式 线段的定比分点公式 设 分有向线段所成的 111 P x y 222 P xy P x y 12 PP 比为 则 特别地 当 1 时 就得到线段 P P 的中点公式 12 12 1 1 xx x yy y 12 在使用定比分点的坐标公式时 应明确 的意义 12 12 2 2 xx x yy y x y 11 x y 22 xy 即分别为分点 起点 终点的坐标 在具体计算时应根据题设条件 灵活地确定起点 分点 和终点 并根据这些点确定对应的定比 如 如 1 1 若 M 3 2 N 6 1 且 则点 P 的坐标为 答 2 2 已知 1 M PM N 3 7 6 3 0 3 2 A aBa 直线与线段交于 且 则等于 答 或 1 2 yax ABM2AMMB a 6 11 11 平移公式平移公式 如果点按向量平移至 则 曲线 P x y ah k P x y xxh yyk 按向量平移得曲线 注意注意 1 1 函数按向量平移与 0f x y ah k 0f xh yk 平常 左加右减 有何联系 2 2 向量平移具有坐标不变性 可别忘了啊 如 如 1 1 按向量 把平移到 则按向量把点平移到点 答 a 2 3 1 2 a 7 2 2 2 函数的图象按向量平移后 所得函数的解析式是 则xy2sin a12cos xy 答 a 1 4 1212 向量中一些常用的结论 向量中一些常用的结论 1 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量 要注意运用 2 特别地 当同向或有同向或有 ababab a b 0 abab 当反向或有反向或有 当不不 abab a b 0 abab abab a b 共线共线 这些和实数比较类似 ababab 3 在中 若 则其重心的坐标为ABC 112233 A x yB xyC xy 如如若 ABC 的三边的中点分别为 2 1 3 4 123123 33 xxxyyy G 1 1 则 ABC 的重心的坐标为 答 2 4 3 3 为的重心 特别地为 1 3 PGPAPBPC GABC 0PAPBPCP 的重心 ABC 为的垂心 PA PBPB PCPC PAP ABC 向量所在直线过的内心 是的角平分线所在直 0 ACAB ABAC ABC BAC 线 的内心 0AB PCBC PACA PBP ABC 3 若 P 分有向线段所成的比为 点为平面内的任一点 则 12 PP M 特别地为的中点 12 1 MPMP MP P 12 PP 12 2 MPMP MP 4 向量中三终点共线存在实数使得 PA PB PC ABC 且 如如平面直角坐标系中 为坐标原点 已知两点 PAPBPC 1 O 1 3 A 若点满足 其中且 则点的轨迹 3 1 BC OC OBOA 21 R 21 1 21 C 是 答 直线 AB 例题 1 已知向量 且求 2 sin 2 cos 2 3 sin 2 3 cos xx bxxa 2 0 x 1 及 ba ba 2 若的最小值是 求实数的值 babaxf 2 2 3 错误分析 1 求出 后 而不知进一步化为 人为增加难度 ba x2cos22 xcos2 7 2 化为关于的二次函数在的最值问题 不知对对称轴方程讨论 xcos 1 0 答案 1 易求 xba2cos ba xcos2 2 babaxf 2xxcos222cos 1cos4cos2 2 xx 12cos2 2 2 x 2 0 x 1 0cos x 从而 当时 与题意矛盾 不合题意 0 1 min xf0 当时 10 2 1 2 3 12 2 min xf 当时 解得 不满足 1 2 3 41 min xf 8 5 1 综合可得 实数的值为 2 1 例题 2 在中 已知 且的一个内角为直角 求实数的值 ABC kACAB 1 3 2 ABC k 错误分析 是自以为是 凭直觉认为某个角度是直角 而忽视对诸情况的讨论 答案 1 若即 90 BAC ACAB 故 从而解得 0 ACAB 032 k 3 2 k 2 若即 也就是 而 90 BCAACBC 0 ACBC 故 解得 3 1 kABACBC 031 kk 2 133 k 3 若即 也就是而 故 90 ABCABBC 0 ABBC 3 1 kBC 解得 0332 k 3 11 k 综合上面讨论可知 或或 3 2 k 2 133 k 3 11 k 例题 4 已知向量 m 1 1 向量与向量夹角为 且 1 n m 4 3 m n 1 求向量 n 2 若向量与向量 1 0 的夹角为 向量 cosA 2cos2 其中 A C 为 ABC 的内 n q 2 p 2 c 8 角 且 A B C 依次成等差数列 试求 的取值范围 n p 解 1 设 x y n 则由 得 cos m n 4 3 m n nm nm 2 2 2 22 yx yx 由 1 得 x y 1 m n 联立 两式得或 0 1 或 1 0 1 0 y x 0 1 y x n 2 得 0 n q 2 n q 若 1 0 则 1 0 故 1 0 0 1 n n q n n 2B A C A B C B C 3 A 3 2 cosA 2cos2 cosA cosC n p 1 2 c n p CA 22 coscos 2 2cos1 2 2cos1CA 1 2 2cos2cos CA 1 2 2 3 4 cos 2cos AA 1 2 2sin 2 3 2 2cos 2cos A A A 1 2 2sin 2 3 2cos 2 1 AA 1 2 3 2cos A 0 A 0 2A 1 cos 2A 0 4 2 当 m 0 时 2mcos2 0 即 f f ba dc 当 m 0 时 2mcos2 0 即 f f ba dc 例题 6 已知 A B C 为 ABC 的内角 且 f A B sin22A cos22B sin2A cos2B 23 1 当 f A B 取最小值时 求 C 2 当 A B 时 将函数 f A B 按向量平移后得到函数 f A 2cos2A 求 2 p p 解 1 f A B sin22A sin2A cos22B cos2B 13 4 3 4 1 sin2A 2 sin2B 2 1 2 3 2 1 当 sin2A sin2B 时取得最小值 2 3 2 1 A 30 或 60 2B 60 或 120 C 180 B A 120 或 90 2 f A B sin22A cos22 A 2 2 2 2cos2sin3 AA 22cos2sin32cos2sin 22 AAAA 3 3 3 2cos 23 3 2cos 2 AA p 3 2 3 k 例题 7 已知向量 m 为常数 且 不共线 若向量 1 1 1 2 x mx bmxa a ba 的夹角落为锐角 求实数 x 的取值范围 bab 解 要满足为锐角 只须 0 且 ba ba ba R ba x mx mx 1 2 1 22 mx xmxmx 0 1 mx x 即x mx 1 0 10 1 当 m 0 时 x 0 或 m x 1 2 m 0 时 x mx 1 0 0 1 x m x或 3 m 0 时只要 x 0 时 1 0 m x x 0 时 0 x x 0 1 用 k 表示 a b 2 求 a b 的最小值 并求此时 a b 的夹角的大小 解 1 要求用 k 表示 a b 而已知 ka b a kb 故采用两边平方 得3 ka b 2 a kb 23 k2a2 b2 2ka b 3 a2 k2b2 2ka b 8k a b 3 k2 a2 3k2 1 b2 a b k kk 8 13 3 2222 ba a cos sin b cos sin a2 1 b2 1 a b k kk 8 133 22 k k 4 1 2 2 k2 1 2k 即 a b 的最小值为 k k 4 1 2 k k 4 2 2 1 2 1 又 a b a b cos a b 1 1 1 cos 2 1 60 此时 a 与 b 的夹角为 60 错误原因 向量运算不够熟练 实际上与代数运算相同 有时可以在含有向量的式子左右两 边平方 且有 a b 2 a b 2 a2 b2 2a b 或 a 2 b 2 2a b 例题 9 已知向量 cos sin a cos sin b 2 5 5 ab 求的值 cos 若 且 求的值 0 2 0 2 5 sin 13 sin 11 解 cossincossinab coscossinsinab 2 5 5 ab 222 5 coscossinsin 5 即 4 22cos 5 3 cos 5 0 0 0 22 3 cos 5 4 sin 5 5 sin 13 12 cos 13 sinsinsincoscossin 4 123533 5 1351365 例题 10 已知 O 为坐标原点 点 E F 的坐标分别为 1 0 1 0 动点 A M N 满足 AEm EF 1m 0MN AF 1 2 ONOAOF AMME 求点 M 的轨迹 W 的方程 点在轨迹 W 上 直线 PF 交轨迹 W 于点 Q 且 若 0 2 m PyPFFQ 求实数的范围 12 m 解 0MN AF 1 2 ONOAOF MN 垂直平分 AF 又 点 M 在 AE 上 AMME 2AMMEAEm EFm MAMF 2 MEMFmEF 点 M 的轨迹 W 是以 E F 为焦点的椭圆 且半长轴 半焦距 am 1c 2222 1bacm 点 M 的轨迹 W 的方程为 22 22 1 1 xy mm 1m 12 设 11 Q x y 0 2 m PyPFFQ 1 01 1 1 2 m x yy 1 10 1 1 2 1 m x yy 由点 P Q 均在椭圆 W 上 消去并整理 得 2 0 2 2 2 0 2222 1 1 41 1 1 1 2 1 y m ym mm 0 y 2 2 1 1 mm m 由及 解得 2 2 1 12 1 mm m 1m 12m 基础练习题 1 设平面向量 2 1 1 若与的夹角为钝角 则 的取值范围是 abab A B 2 2 2 1 2 C D 2 1 2 1 答案 A 点评 易误选 C 错因 忽视与反向的情况 ab 2 O 是平面上一定点 A B C 是平面上不共线的三个点 动点 P 满足 则 P 的轨迹一定通过 ABC 的 0 AC AC AB AB OAOP A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 正确答案 B 错误原因 对理解不够 不清楚 0 AC AC AB AB OAOP AB AB 与 BAC 的角平分线有关 AC AC 3 若向量 cos sin 与不共线 则与一定满足 ab sin cosabab 13 A 与的夹角等于 B abab C D a ba bab 正确答案 C 错因 学生不能把 的终点看成是上单位圆上的点 用四边形法则来处ab 理问题 4 已知 O A B 三点的坐标分别为 O 0 0 A 3 0 B 0 3 是 P 线段 AB 上且 tAP 0 t 1 则 的最大值为 ABOAOP A 3B 6C 9D 12 正确答案 C 错因 学生不能借助数形结合直观得到当 OP cos 最大时 即为最OAOP 大 5 在中 则的值为 ABC 60 8 5CbaCABC A 20 B C D 20 320320 错误分析 错误认为 从而出错 60 CCABC 答案 B 略解 由题意可知 120 CABC 故 CABC 20 2 1 85 cos CABCCABC 6 已知向量 2cos 2sin 0 1 则 与 的夹角为 a 2 bab A B C D 3 2 2 2 正确答案 A 错因 学生忽略考虑与夹角的取值范围在 0 ab 7 如果 那么 0a ba ca 且 A B C D 在方向上的投影相等bc bc bc b c a 正确答案 D 错误原因 对向量数量积的性质理解不够 8 已知向量则向量的夹角范围 2 0 2 2 2cos 2sin OBOCCAaa OA OB 是 A 12 5 12 B 0 4 C 4 5 12 D 5 12 2 14 正确答案 A 错因 不注意数形结合在解题中的应用 9 设 x1 y1 x2 y2 则下列与共线的充要条件的有 abab 存在一个实数 使 或 abbaabab 2 1 2 1 y y x x abab A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 C 点评 正确 易错选 D 10 以原点 O 及点 A 5 2 为顶点作等腰直角三角形 OAB 使 则的坐标 90 AAB 为 A 2 5 B 2 5 或 2 5 C 2 5 D 7 3 或 3 7 正解 正解 B 设 则由 yxAB 2222 25 yxABOA 而又由得 ABOA 025 yx 由 联立得 5 25 2 yxyx或 或52 5 2 AB 误解 误解 公式记忆不清 或未考虑到联立方程组解 11 设向量 则是的 条件 2211 yxbyxa 2 1 2 1 y y x x ba A 充要 B 必要不充分 C 充分不必要 D 既不充分也不必要 正解 正解 C 若则 若 有可能或为 0 故选 C 2 1 2 1 y y x x bayxyx 0 1221 ba 2 x 2 y 误解 误解 此式是否成立 未考虑 选 A ba 0 1221 yxyx 2 1 2 1 y y x x 12 在OAB 中 若 sin5 cos5 sin2 cos2 OBOA5 OBOA 则 OAB S 15 A B C D 3 2 3 35 2 35 正解 正解 D LV 为与的夹角 5 OBOA5cos VOBOAOAOB 5cossin5 cos5 sin2 cos2 2 22 2 V 2 1 cos V 2 3 sin V 2 35 sin 2 1 VOBOAS OAB 误解 误解 C 将面积公式记错 误记为VOBOAS OAB sin 13 设平面向量 若与的夹角为钝角 则的取值范围是 a 1 1 2 Rb ab A A B 2 C D 22 2 1 2 1 2 1 错解 C 错因 忽视使用时 其中包含了两向量反向的情况0 ba 正解 A 14 设是任意的非零平面向量且互不共线 以下四个命题 cba 0 baccbaabab 若不平行 垂直不与cbacacb cbaba与则 其中正确命题的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 正确答案 B 错误原因 本题所述问题不能全部搞清 15 若向量 且 的夹角为钝角 则的取值范围是a xx 2 b 2 3x abx 错误分析 只由的夹角为钝角得到而忽视了不是夹角为钝角ba 0 ba 0 ba ba 的充要条件 因为的夹角为时也有从而扩大的范围 导致错误 ba 180 0 ba x 正确解法 的夹角为钝角 ab xxxba23 0432 2 xx 解得或 1 0 x 3 4 x 16 又由共线且反向可得 2 ba 3 1 x 由 1 2 得的范围是x 3 1 3 4 0 3 1 答案 3 1 3 4 0 3 1 16 已知平面上三点 A B C 满足 的值等于ABCACABCBCABCABCAB 则 5 4 3 C A 25 B 24 C 25 D 24 17 已知 AB 是抛物线的任一弦 F 为抛物线的焦点 l 为准线 m 是过点 A 0 2 2 ppyx 且以向量为方向向量的直线 1 0 v 1 若过点 A 的抛物线的切线与 y 轴相交于点 C 求证 AF CF 2 若异于原点 直线 OB 与 m 相交于点 P 求点 P 的轨迹方BApOBOA 0 2 程 3 若 AB 过焦点 F 分别过 A B 的抛物线两切线相交于点 T 求证 且 T BTAT 在直线 l 上 解 1 设 A 因为导数 11 yx p x k p x y AC 1 所以 则直线 AC 的方程 0 0 11 1 1 yCxxx p x yy 得令 由抛物线定义知 AF 又 CF 故 AF CF 1 y 2 p 2 p 1 y 1 y 2 p 2 设 2211 yxPyxByxA 由0 4 0 0 2 2 2 21 21 2 2121 2 p p xx xxpyyxxpOBOA 得 2 21 2pxx 直线 OB 方程 2 2 x p x y 直线 m 的方程 1 xx 17 由 得 y p 故点 P 的轨迹方程为 y p x 0 3 设则 002211 yxTyxByxA p x k p x k B