高中数学《直接证明与间接证明》学案1 新人教A版选修2-2

用心 爱心 专心1 归纳归纳 猜想猜想 证明证明 数学归纳法可以用来证明与自然数有关的代数恒等式 三角恒等式 不等式 整除性 问题及几何问题等 在学习合情推理时所猜得的结论 其可靠性的证明 常常也需要数学 归纳法来解决 这就形成了数学中的一类典型题目 即 归纳 猜想 证明 例 1 数列 n a满足 2 nn SnanN 1 计算 1 a 2 a 3 a 4 a 并由此猜想数列 n a的通项公式 2 用数学归纳法证明 1 中的猜想 分析 在用数学归纳法对 1 中的猜想证明时 关键是利用 k a求得 1k a 在此要注意 已知条件中等式的应用 由于它适用于所有自然数 因此可将其中的k换做1k 然后两 式相减 合并同类项即得到表达式 解析 1 1 1a 2 3 2 a 3 7 4 a 4 15 8 a 由此可猜想 1 21 2 n n n a 2 下面用数学归纳法证明 当1n 时 左边 1 1a 右边 1 1 1 21 1 2 猜想成立 假设nk 时猜想成立 即 1 21 2 k k k a 那么据已知2 kk Ska 11 21 kk Ska 由 可得 11 2 kkk aaa 11 1 11 212121 11 2222 kkk k k kkk a a 即当1nk 时猜想也成立 根据 可知 猜想对任何 nN 都成立 评注 高考对数学归纳法的考查时隐时现 有时隐蔽在递推数列中考查 应深刻理解与 把握 归纳 猜想 证明 的基本方法 注重其应用 用心 爱心 专心2 例 2 已知 11 1 23 n a 1 nN n 是否存在n的整式 q n 使得等式 12 aa 1 1 nn aq na 对于大于 1 的一切自然数n都成立 并证明你的结论 分析 假设存在 q n 去探索 q n等于多少 解析 当2n 时 由 12 21aqa 即 1 1211 2 q 解得 22q 当3n 时 由 123 31aaqa 即 111 11311 223 q 解得 33q 当4n 时 由 1234 41aaaqa 即 111 111 223 111 411 234 q 解得 44q 由此猜想 2 q nn nnN 下面用数学归纳法证明 当2 nnN 时 等式 12 aa 1 1 nn an a 成立 当2n 时 由以上经验可知等式成立 假设当nk 2 kkN 时等式成立 即 12 aa 1 1 kk ak a 则当 1nk 时 12 aa 1kk aa 11 kkk k aakak 111 k kak 1 1 1111 1 kk kaka k 当1nk 时 等式也成立 由 知 对于大于 1 的自然数n 存在整式 q nn 使得等式 12 aa 1 1 nn aq na 总成立 评注 这是一个探索性问题 整式 q n需要用经验归纳法来探求和发现 用观察 归纳 猜想的思维途径去概括 然后用数学归纳法给出严密的证明 例 3是否存在常数a b c使等式 用心 爱心 专心3 22222242 1122nnn nnanbnc 对一切正整数n成立 证明你 的结论 分析 先取n 1 2 3 探求a b c的值 然后用数学归纳法证明对一切的 nN a b c所确定的等式成立 解析 分别用n 1 2 3 代入解方程组 0 1643 81918 abc abc abc 解得 1 4 1 4 0 a b c 下面用数学归纳法证明 1 当1n 时 由上式可知等式成立 2 假设当nk 时等式成立 即 22222242 1122kkk kkakbkc 则当1nk 时 左端 22222 222 1112121111kkkkkkkk 222222 11221 212 21kkk kkkk 21kk 42 11 212 2121 44 kkkkkk 4211 11 44 kk 当1nk 时 等式也成立 由 1 2 得等式对一切 nN 都成立 评注 本题是探索性命题 它通过观察 归纳 猜想 证明完整的思路过程去探 索和发现问题 并证明所得结论的正确性 这是一种非常重要的思维能力 分析综合 巧结妙解 分析法和综合法是两种思路相反的证明与推理方法 综合法证明是 由因导果 分析 法证明是 执果索因 它们是两种思路截然相反的证明方法 分析法便于寻找解题思路 用心 爱心 专心4 而综合法便于叙述 因此要注意两种方法在解题中的联合运用 正如恩格斯所说的 没 有分析就没有综合 在数学的证明中不能把分析法和综合法绝对分开 例 1 设 2 0 f xaxbxc a 若函数 1 f x 与 f x的图像关于y轴对称 求证 1 2 f x 为偶函数 证明 1 要证 1 2 f x 为偶函数 只须证明其对称轴为0 x 即只须证 1 0 22 b a 只须证ab 由已知 抛物线 1 f x 的对称轴1 2 b x a 与抛物线的对称轴 2 b x a 关于y轴对称 1 22 bb aa 于是得ab 1 2 f x 为偶函数 证明 2 记 F x 1 2 f x 欲证 F x为偶函数 只须证 F x F x 即只须证 11 22 fxf x 由已知 函数 1 f x 与 f x的图象关于y轴对称 而函数 f x与 fx 的图象也 是关于y轴对称的 1 fxf x 于是有 11 22 fxfx 1 1 2 fx 1 2 f x 1 2 f x 为偶函数 评注 本题的证明过程把综合法和分析法较好的结合起来 前半部分用的是分析法 后半部分用的是综合法 本题也可以先用综合法后用分析法 用心 爱心 专心5 例 2设nN 求证 222 1113 1 2321 n nn 证明 把结论分解为两个部分考察 设 222 111 1 23 n x n 3 21 n n y n 则由 1 2 1 0 1 nn xx n 1 2 3 0 4 1 1 nn yy n 可知 数列 n x与 n y都是