高二数学同步辅导教材(第2讲)

1 高二数学同步辅导教材高二数学同步辅导教材 第第 2 2 讲讲 一 本讲进度一 本讲进度 6 2 算术平均数与几何平均数 二 本讲主要内容二 本讲主要内容 基本不等式 a b 0 时 的运用 2 ba ab 三 学习指导三 学习指导 1 本节给出的两个基本不等式为 a b R 时 a2 b2 2ab 当且仅当 a b 时 号成立 a b 0 时 a b 2 当且仅当 a b 时 号成立 这两个公式的结构完全一致 但适用范围ab 不同 若在非负实数范围之内 两个公式均成立 此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式及公 式的变形 ab ab 对不等式 ab 还有更一般的表达式 ab 2 ba 22 2 2 ba 2 ba 22 2 ba 22 由高一学习可知 称为 a b 的等差中项 称为 a b 的等比中项 故算术平均数与几何 2 ba ab 平均数的定理又可叙述为 两个正数的等比中项不大于它们的等差中项 同学们可在二元基本不等式的基础上类比推出三元基本不等式 当 a b c 0 时 a b c 3 abc 当且仅当 a b c 时 等号成立 乃至 n 元基本不等式 当 ai 0 i 1 2 n 时 a1 a2 an n n21 aaa 二元基本不等式的其它表达形式也应记住 当 a 0 b 0 时 2 a 2 等 b a a b a 1 当字母范围为负实数时 有时可利用转化思想转化为正实数情形 如 a1 0 b 1 求证 logab logba 2 解题思路分析 由对数函数可知 logba 0 因此由的结构特点联想到用基本不等 blog 1 alog a b blog 1 blog a a 式去缩小 但条件显然不满足 应利用相反数的概念去转化 logab0 2 2 blog 1 blog a a blog 1 blog a a logab 2 bloga 即 logab logba 2 当且仅当 loga2b 1 logab 1 时 等号成立 此时 ab 1 blog 1 blog a a 例 2 已知 x y z 均为正数 且 xyz x y z 1 求证 x y y z 2 解题思路分析 这是一个含条件的不等式的证明 欲证不等式的右边为常数 2 联想到二元基本不等式及条件等式 中的 1 下面关键是凑出因式 xyz 和 x y z 对因式 x y y z 展开重组即可 x y y z xy xz y2 yz xy y2 yz xz y x y z xz 将 y x y z xz 分别看成是两个因式 得用二元基本不等式 y x y z xz 2 2 2xz zyx y zyx xyz 当且仅当时等号成立 1 zyx xyz xz zyx y 讲评 通过本题的证明 同学们应该知道基本不等式中的 a b 不仅指数 字母 单项式 还指多 项式 这是数学中的整体思想的一个体现 例 3 1 已知 x 1 求 3x 1 的最小值 1x 4 2 已知 x y 为正实数 且 1 求的最大值 2 y x 2 2 2 y1x 3 已知 x y 为正实数 3x 2y 10 求函数 W的最值 y2x3 4 已知 x 0 求函数 f x 4x 的最小值 2 x 9 5 已知 a b 0 求函数 y a 的最小值 b ba 1 6 求函数 y x 10 x 14 3x 0 x0 W2 3x 2y 2 10 3x 2y 20y2x3210y2x3 22 y2 x3 10 W 5220 4 函数式为和的形式 故考虑凑积为常数 分母为 x 的二次 为使积的结果在分式位置上出现 x2 应对 4x 均匀裂项 裂成两项即可 f x 2x 2x 2 x 9 3 3 2 36 x 9 x2x23 5 本题思路同 1 y a b b ba 1 3 b ba 1 b ba 3 3 6 配 x 项前面系数为 4 使得与后两项和式中的 x 相消 y 4x 10 x 14 3x 3 1 2 3 x314x10 x4 3 1 3 512 3 24 3 1 3 7 因式为积的形式 设法凑和为常数 注意到 1 为常数 应对解析式平方 22 sincos y 0 y2 cos2 sinsin 2 1 cossinsincossin 22222224 27 4 3 cos2sinsin 2 1 3 222 4 y 3 9 2 例 4 已知 a b 为正实数 2b ab a 30 求函数 y 的最小值 ab 1 解题思路分析 这是一个二元函数的最值问题 通常有两个途径 一是通过消元 转化为一元函数问题 再用单调 性或基本不等式求解 对本题来说 这种途径是可行的 二是直接用基本不等式 对本题来说 因已知 条件中既有和的形式 又有积的形式 不能一步到位求出最值 考虑用基本不等式放缩后 再通过解不 等式的途径进行 法一 1b b230 a 1b b30b2 b 1b b230 ab 2 由 a 0 得 0 b 15 令 t b 1 1 t1 时 m c 1 1 c 解题思路分析 分母与分子是一次与二次的关系 通过换元法可转化为基本不等式型 令 则 t tcx 2 c t 1 t t 1t y 2 2 当且仅当 t 1 时等号成立 t 1 t 5 当 c 1 时 1 t 1 在函数定义域 内 ymin 2cc 当 c 1 时 1 1 等号条件不能成立 转而用函数单调性求解 cc 易证函数在 上递增 t 1 t c t x 0 时 ymin c c 1 1 c c 1 c 评论 求函数 a 0 b 0 x c c 0 的最小值时 有下列结论bx x a y 1 若 c 当且仅当 x 时 b a b a ab2ymin 2 若 c 当且仅当 x c 时 b a bc c a ymin 例 6 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200m2的三级污水处理池 平面图如图 如果池外 圈周壁建造单价为每米 400 元 中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元 池底建造单价为每平方米 80 元 池壁的厚度忽略不计 试设计污水池的长和宽 使总造价最低 并求出最低造价 解题思路分析 这是一道应用题 一般说来 涉及到 用料最省 造价最低 等实际问题时 考虑建立目标函数 求目标函数的最大值或最小值 在建立关于造价的目标函数时 造价是由池外圈周壁 中间隔墙造价 池底造价三部分组成 造价均与墙壁长度有关 应设相关墙壁长度为未知数 若设污水池长为 x 米 则宽为 米 x 200 水池外圈周壁长 米 x 200 2x2 中间隔墙长 米 x 200 2 池底面积 200 米 2 目标函数 200802 x 200 248 x 200 2x2 400y 1600 x 324 x 800 448001600 x 324 x1600 五 同步练习五 同步练习 一 选择题 1 设 a b R 且 a b a b 2 则下列不等式成立的是 A B 2 ba ab1 22 2 ba 1ab 22 C D 1 2 ba ab 22 1ab 2 ba 22 3 若 a b R 且 ab bc ca 1 则下列不等式成立的是 A a2 b2 c2 2 B a b c 2 3 C D a b c c 1 b 1 a 1 323 4 x 0 y 0 则下列不等式中等号不成立的是 6 A 2 B 4 x 1 x 1 x 1 x y 1 y x 1 x C 4 D y 1 x 1 yx 2 2 ylgxlg 2 ylgxlg 22 5 在下列函数中 最小值为 2 的是 A x 0 B 1 x 10 5 x x 5 y xlg 1 xlgy C y 3x 3 x x R D 0 x1 y 1 lgx lgy 4 则 lgx lgy 的最大值是 A 2 B C D 4 2 1 4 1 8 设 a 0 b 0 a b 则下列各式中最小的是 A B C D ba 1 ab2 1 ab2 1 22 ba 1 9 函数 x 0 的最小值是 xsin 1 xsiny 4 A 2 B C D 不存在22 2 3 10 已知 x 0 y 0 x y 4 则下列不等式成立的是 A B 1 C 2 D 1 yx 1 4 1 y 1 x 1 yx xy 1 二 填空题 11 若 x0 当 x 时 的最大值是 2x x y 2 13 0 x3 当 x 时 最小值是 3x 1 xy 15 若 x 0 当 x 时 有 值是 4 xsin 1 xsiny 三 解答题 16 正数 a b c 满足 a b c 1 求证 1 a 1 b 1 c 8abc 17 已知 a 0 b 0 ab a b 1 求 a b 的最小值 18 若直角三角形周长为 1 求它的面积最大值 19 已知 a b c n N 且 恒成立 求 n 的最大值 ca 1 ba 1 ca n 20 某房屋开发公司用 100 万元购得一块土地 该地可以建造每层 1000m2的楼房 楼房的总建筑 面积 即各层面积之和 每平方米平均建筑费用与建筑高度有关 楼房每升高一层 整幢楼房每平方米 建筑费用提高 5 已知建筑 5 层楼房时 每平方米建筑费用为 400 元 公司打算造一幢高于 5 层的楼 7 房 为了使该楼房每平方和的平均综合费用最低 综合费用是建筑费用与购地费用之和 公司应把楼 层建成几层 六 参考答案六 参考答案 一 选择题 1 B a b a 0 b 0 ab1 1 2 ba 2 2 ba 2 ba 22 2 ba 22 2 B 由 a b 0 得 a 2 aa 2 ba bbbab 3 a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca ab bc ca 2 ab bc ca 3 ab bc ca 3 4 A 令 t 则 t 2 在 2 上递增 即 x 1 x t 1 t t 1 t 2 5 2 1 2 x 1 x 1 x 1 x 不能取到最小值 2 2 5 x 1 x 1 x 1 x 5 C 当且仅当 x 0 时等号成立 x xxx 3 1 333y 2 3 1 32 x x xx 33 6 D 0 0 当且仅当 x y 时取得最小值 x 3 y 3 yx 33 3183232 5yx 2 5 7 D x y 1 lgx 0 lgy 0 lgx lgy 当且仅当 lgx lgy 2 x y 100 时等4 2 ylgxlg 2 号成立 8 A 比较分母 a b 大小即可 a b ab2ab2 22 ba ab2ab2ab2 ba ba ab2baba 22222 9 C 令 t sinx t 0 在 0 上递减 即时 2 2 t 1 ty 2 2 2 2 t 4 x 2 2 3 2 2 2 ymin 10 B x 0 y 0 时 y 1 x 1 2 2 yx y 1 x 1 yx 4 1 4 1 4 二 填空题 11 x0 y 4 2x 当且仅当624 2 6 x 3 x 2 62 x 1 624 2x x2 x 舍正 时 等号成立 x 3 2 3 2 6 12 x 0 当且仅当 x x2 2 x 舍 4 2 2 x 2 x 1 y 4 2 22 1 x 2 x2 1 x 2 2 负 时 等号成立 13 0 x0 y 4 1 8 1 4 1 x41 x4 4 1 2 x41x4 2 x41 x 16 1 当且仅当 4x 1 4x x 时等号成立 4 1 8 1 8 14 4 5 x 3 x 3 0 3 3 5 当且仅当 3x 1 3x y 3x 1 3x 2 x 3 2 1 x 4 或 x 2 舍 时等号成立 3x 1 3x 15 2 2 3 4 小 三 解答题 16 证明 a b c 1 1 a b c 1 b a c 1 c a b a 0 b 0 c 0 b c 2 0bc a c 2 0ac a b 2 0ac 将上面三式相乘得 b c a c a b 8abc 即 1 a 1 b 1 c 8abc 17 解 a 0 b 0 ab 2 2 ba 又 ab a b 1 a b 1 4 ba 2 令 t a b t2 4t 4 0 t 2 1 或 t 2 1 舍 22 当且仅当 a b 1 时等号成立 21 2 ba min 2 评注 本题亦可用消元思想求解 由 ab a b 1 得 b 1b 2 1 1b 1b a a b 1 b b 1 1b 2 2 1b 2 a 0 b 0 b 1 b 1 2 1b 2 222 a b 当且仅当 b 1 a 1 时等号成立 222 22 18 解 设直角三角形两直角边长分别为 a b 则条件为 目标函数为 S 1baba 22 求 S 的最大值 ab 2 1 令 ab t 则 a b a2 b2 2ab 2t t2ab2 22 ba t2 a b 22 ba t 22 t2t2 9 t 2 22 22 1 S 4 223 4 223 Smax 当且仅当 a b 时 取得最大值 2 22 19 解 a c 0 a cb 1 ba 1 ca n cb 1 ba 1 ca 令 cb 1 ba 1 ca y 则 n yn y min a c a b b c 0 cb ba 2 cb 1 ba 1 0 cb ba 1 2 4 cb 1 ba 1 ca ymin 4 n 4 又 n N nmax 4 20 解 设该楼建成 n 层 则整幢楼每平方米的建筑费用为 400 400 x 5 5 元 又每平方米购地费用为 元 x 1000 x1000 10100 4 故每平方米的平均综合费用 300 x 50 x 20 5 5x 400400 x 1000 y 当且仅当 x2 50 x 7 时 y 最小3002200300 x 50 x220 x 50 x 大楼应建成 7 层综合费用最低 七 附录七 附录 例 2 的解 x y y z xy xz y2 yz y x y z xz x 0 y 0 z 0 y x y z 0 xz 0 y x y z xz 2 zyx xyz2xz zyx y2 当且仅当时等号成立 1 zyx y 1xz 1 zyx xyz xz zyx y 例 3 的解 1